一節(jié)習題課的嘗試
深圳市竹林中學/甘繼鳳摘自：《初中數(shù)學教藝網(wǎng)》八年級數(shù)學（下）北師大版第六章第216頁布置了兩道習題，即A組第6題和B組第2題。編者在這里設置了兩級引導學生探究的好臺階，提供了教師發(fā)掘教材的好機會。可是，很多師生只是把它們作為兩道習題，一解而過，而沒有去探究、去挖掘，沒有從這里體會數(shù)學曲徑通幽處的奧妙，無異于入寶山而空手歸。而我也是大姑娘上轎----頭一回嘗試去這樣上習題課。走上講臺，我像以往一樣，面帶微笑，眼睛掃視了一遍課室。接著我先疏通有關知識，然后，出示了這樣一道題：如圖（1），直線MA∥NB，點P在MA和NB之間，求證：∠APB=∠MAP+∠NBP。學生很快就作出來了。接著，我又問當點P在MA和NB之外時[如圖（2）]又會有什么結果？沒一會，學生就得出了結論：∠MAP=∠NBP+∠APB（證明略）。我又問當點P位置不同時,你們還能就本題作出什么猜想？同學們這時議論紛紛。有同學提出來：當點P在MA和NB之間[如圖（3）]時，有∠MAP+∠PBN+∠APB=360°。有同學補充道：當點P在MA和NB之外時[如圖（4）]，有∠NBP=∠MAP+∠APB。師：很好。請同學們對比圖（2）與圖（4），看看它們有什么相同和不同？生：雖然兩個結論形式上不一樣，但它們沒有本質的不同。師：可看作是同一種類型嗎？。生：我想應該可以。師：那我們就把它們歸結為一種類型好了。課上到這里，同學們認為這道習題也差不多了。我話鋒一轉，請同學們再想一想如果在MA和NB之間有兩個點P1、P2呢？你又會發(fā)現(xiàn)什么樣的結論呢？同學們有的盯著黑板，有的低頭思考，個個若有所思。這時有同學悄悄說道（雖然聲音很小，但我還是聽見了）：好像有兩種不同的情況。那請你們想一想，每種情況下有什么結論？同學們又議論開了，積極性好像比開始更高了。過了幾分鐘后，有同學舉手回答：P1、P2兩點有兩種不同的位置關系,如圖（5）和圖（6）所示：在圖（5）中，添加了如圖所示的輔助線（用虛線表示）有∠AP1P2+∠P1P2B--∠MAP1--∠NBP2=180°。以下虛線都表示輔助線，限于篇幅，證明過程這里略寫。在圖（6）中，有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠NBP2=540°我說：很好！P1、P2兩點的位置還有沒有別的情況呢？這時，有同學補充道：P1、P2兩點的位置還可能是如圖（7）或圖（8）所示，在圖（7）中，有∠NBP2+∠P1P2B+∠MAP1－∠AP1P2=180°在圖（8）中，有∠MAP1+∠AP1P2+∠NBP2－∠P1P2B=180°師：非常好！這兩種情況有沒有共同地方？一陣沉默以后，有學生答道：從式子的結構看形式是一樣的。那么，P1、P2兩點的位置除了在MA和NB之間外，還有沒有其他情況呢？我又問道。學生又是議論紛紛，過了一會兒有學生說：P1、P2兩點的位置還可能是如圖（9）所示,這時有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B－∠NBP2=180°。當點P1、P2在NB下面時，也有同樣的結論。一堂課到這里時間也差不多了，所得結果早已超出了我的想象。雖然這節(jié)課只講了兩道題，但從這兩道題上學生所學到的數(shù)學方法與知識遠不是兩道題這么簡單。同學們積極參與，通過動腦、動手、自主探究、互相合作，獲得了知識，進一步感受到了分類、歸納、對比等數(shù)學方法的魅力。這正是新課標的目的與要求。快下課了，我要同學們簡單歸納這節(jié)課的收獲就準備下課，可看到同學們似乎還意猶未盡，為了進一步激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，我又提出：如果增加到3個點、4個點……n個點，情況又會是怎樣的呢？有興趣的同學不妨試試看。幾天后，幾個對數(shù)學非常感興趣的“尖子生”說他們已經(jīng)探索出了規(guī)律。現(xiàn)把他們的思想整理后在這里與大家交流。隨著點的增多，并考慮到規(guī)律性，主要分為三種類型：第一種：如圖（1）和圖（5）所示的這一類型。當MA和NB之間有3個點（1、2個點的情況上面已討論）P1、P2、P3時，如圖（10），這時有：∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B－∠MAP1－∠NBP3=360°=（3－1）180°當MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時，如圖（11）這時有：∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B－∠MAP1－∠NBP4=540°=（4－1）180°……依此類推，當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn（順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,有∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn－1PnB－∠MAP1－∠NBPn=（n－1）180°(Ⅰ)，顯然當n=1、2時(Ⅰ)式都成立。第二種：如圖（3）和圖（6）所示的這一類型。當MA和NB之間有3個點（1、2個點的情況上面已討論）P1、P2、P3時，如圖（12），有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B+∠NBP3=720°=（3+1）180°當MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時，如圖（13），有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B+∠NBP4=900°=（4+1）180°……依此類推，當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn（順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn－1PnB+∠NBPn=（n+1）180°(Ⅱ)顯然當n=1、2時(Ⅱ)式都成立。第三種：如圖（4）和圖（9）所示的這一類型。當MA和NB之外有3個點P1、P2、P3時，如圖（14），有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B－∠NBP3=360°=（3－1）180°當MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時，如圖（15）有：∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B－∠NBP4=540°=（4－1）180°……依此類推，當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn（順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn－1PnB－∠NBPn=（n－1）180°(Ⅲ)，顯然當n=1、2時(Ⅲ)式都成立。以上是我在教學中的一些收獲。雖然只是初次嘗試，甚至學生的探究結論還是不很完善，但我已經(jīng)非常滿足了！面對我們這些很一般的孩子能有這樣的“成果”，這已遠遠超出我的想象了，對我來說看著這些孩子一天天成長、成熟、進步，心里真是比吃了蜜還甜。從這節(jié)習題課的教學中讓我深深體會到，只要老師深入挖掘教材，在課堂上合理創(chuàng)設問題情境，充分調(diào)動學生的學習積極性，敢于大膽嘗試，也許孩子們會給我們帶來更多的驚喜！讓老師和同學們都能親身經(jīng)歷成功的感覺，何樂而不為？！