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一節(jié)習題課的嘗試

一節(jié)習題課的嘗試

深圳市竹林中學/甘繼鳳摘自:《初中數(shù)學教藝網(wǎng)》八年級數(shù)學(下)北師大版第六章第216頁布置了兩道習題,即A組第6題和B組第2題。編者在這里設置了兩級引導學生探究的好臺階,提供了教師發(fā)掘教材的好機會。可是,很多師生只是把它們作為兩道習題,一解而過,而沒有去探究、去挖掘,沒有從這里體會數(shù)學曲徑通幽處的奧妙,無異于入寶山而空手歸。而我也是大姑娘上轎----頭一回嘗試去這樣上習題課。走上講臺,我像以往一樣,面帶微笑,眼睛掃視了一遍課室。接著我先疏通有關知識,然后,出示了這樣一道題:如圖(1),直線MA∥NB,點P在MA和NB之間,求證:∠APB=∠MAP+∠NBP。學生很快就作出來了。接著,我又問當點P在MA和NB之外時[如圖(2)]又會有什么結果?沒一會,學生就得出了結論:∠MAP=∠NBP+∠APB(證明略)。我又問當點P位置不同時,你們還能就本題作出什么猜想?同學們這時議論紛紛。有同學提出來:當點P在MA和NB之間[如圖(3)]時,有∠MAP+∠PBN+∠APB=360°。有同學補充道:當點P在MA和NB之外時[如圖(4)],有∠NBP=∠MAP+∠APB。師:很好。請同學們對比圖(2)與圖(4),看看它們有什么相同和不同?生:雖然兩個結論形式上不一樣,但它們沒有本質的不同。師:可看作是同一種類型嗎?。生:我想應該可以。師:那我們就把它們歸結為一種類型好了。課上到這里,同學們認為這道習題也差不多了。我話鋒一轉,請同學們再想一想如果在MA和NB之間有兩個點P1、P2呢?你又會發(fā)現(xiàn)什么樣的結論呢?同學們有的盯著黑板,有的低頭思考,個個若有所思。這時有同學悄悄說道(雖然聲音很小,但我還是聽見了):好像有兩種不同的情況。那請你們想一想,每種情況下有什么結論?同學們又議論開了,積極性好像比開始更高了。過了幾分鐘后,有同學舉手回答:P1、P2兩點有兩種不同的位置關系,如圖(5)和圖(6)所示:在圖(5)中,添加了如圖所示的輔助線(用虛線表示)有∠AP1P2+∠P1P2B--∠MAP1--∠NBP2=180°。以下虛線都表示輔助線,限于篇幅,證明過程這里略寫。在圖(6)中,有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠NBP2=540°我說:很好!P1、P2兩點的位置還有沒有別的情況呢?這時,有同學補充道:P1、P2兩點的位置還可能是如圖(7)或圖(8)所示,在圖(7)中,有∠NBP2+∠P1P2B+∠MAP1-∠AP1P2=180°在圖(8)中,有∠MAP1+∠AP1P2+∠NBP2-∠P1P2B=180°師:非常好!這兩種情況有沒有共同地方?一陣沉默以后,有學生答道:從式子的結構看形式是一樣的。那么,P1、P2兩點的位置除了在MA和NB之間外,還有沒有其他情況呢?我又問道。學生又是議論紛紛,過了一會兒有學生說:P1、P2兩點的位置還可能是如圖(9)所示,這時有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B-∠NBP2=180°。當點P1、P2在NB下面時,也有同樣的結論。一堂課到這里時間也差不多了,所得結果早已超出了我的想象。雖然這節(jié)課只講了兩道題,但從這兩道題上學生所學到的數(shù)學方法與知識遠不是兩道題這么簡單。同學們積極參與,通過動腦、動手、自主探究、互相合作,獲得了知識,進一步感受到了分類、歸納、對比等數(shù)學方法的魅力。這正是新課標的目的與要求。快下課了,我要同學們簡單歸納這節(jié)課的收獲就準備下課,可看到同學們似乎還意猶未盡,為了進一步激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情,我又提出:如果增加到3個點、4個點……n個點,情況又會是怎樣的呢?有興趣的同學不妨試試看。幾天后,幾個對數(shù)學非常感興趣的“尖子生”說他們已經(jīng)探索出了規(guī)律。現(xiàn)把他們的思想整理后在這里與大家交流。隨著點的增多,并考慮到規(guī)律性,主要分為三種類型:第一種:如圖(1)和圖(5)所示的這一類型。MA和NB之間有3個點(1、2個點的情況上面已討論)P1、P2、P3時,如圖(10),這時有:AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B-∠MAP1-∠NBP3=360°=(3-1)180°MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時,如圖(11)這時有:AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B-∠MAP1-∠NBP4=540°=(4-1)180°……依此類推,當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn(順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形)時,有∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn-1PnB-∠MAP1-∠NBPn=(n-1)180°(Ⅰ),顯然當n=1、2時(Ⅰ)式都成立。第二種:如圖(3)和圖(6)所示的這一類型。MA和NB之間有3個點(1、2個點的情況上面已討論)P1、P2、P3時,如圖(12),有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B+∠NBP3=720°=(3+1)180°MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時,如圖(13),有MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B+∠NBP4=900°=(4+1)180°……依此類推,當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn(順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形)時,有MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn-1PnB+∠NBPn=(n+1)180°(Ⅱ)顯然當n=1、2時(Ⅱ)式都成立。第三種:如圖(4)和圖(9)所示的這一類型。當MA和NB之外有3個點P1、P2、P3時,如圖(14),有MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B-∠NBP3=360°=(3-1)180°MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時,如圖(15)有:MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B-∠NBP4=540°=(4-1)180°……依此類推,當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn(順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形)時,有MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn-1PnB-∠NBPn=(n-1)180°(Ⅲ),顯然當n=1、2時(Ⅲ)式都成立。以上是我在教學中的一些收獲。雖然只是初次嘗試,甚至學生的探究結論還是不很完善,但我已經(jīng)非常滿足了!面對我們這些很一般的孩子能有這樣的“成果”,這已遠遠超出我的想象了,對我來說看著這些孩子一天天成長、成熟、進步,心里真是比吃了蜜還甜。從這節(jié)習題課的教學中讓我深深體會到,只要老師深入挖掘教材,在課堂上合理創(chuàng)設問題情境,充分調(diào)動學生的學習積極性,敢于大膽嘗試,也許孩子們會給我們帶來更多的驚喜!讓老師和同學們都能親身經(jīng)歷成功的感覺,何樂而不為?!
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