子集、全集、補(bǔ)集·典型例題
能力素質(zhì)
例1 判定以下關(guān)系是否正確
(2){1，2，3}＝{3，2，1}
(4)0∈{0}
分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
解 根據(jù)子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正確的，后兩個都是錯誤的.
說明：含元素0的集合非空.
例2 列舉集合{1，2，3}的所有子集.
分析 子集中分別含1，2，3三個元素中的0個，1個，2個或者3個.
含有1個元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2個元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；
含有3個元素的子集有{1，2，3}.共有子集8個.
________.
分析 a中必含有元素a，b，又a是{a，b，c，d}真子集，所以滿足條件的a有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}.
答 共3個.
說明：必須考慮a中元素受到的所有約束.
[ ]
分析 作出4圖形.
答 選c.
說明：考慮集合之間的關(guān)系，用圖形解決比較方便.
點擊思維
例5 設(shè)集合a＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈r}，b＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈r}，則下列關(guān)系式中正確的是
[ ]
分析 問題轉(zhuǎn)化為求兩個二次函數(shù)的值域問題，事實上
x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，
y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它們的值域是相同的，因此a＝b.
答 選a.
說明：要注意集合中誰是元素.
m與p的關(guān)系是
[ ]
a.m＝ up b.m＝p
分析 可以有多種方法來思考，一是利用逐個驗證(排除)的方法；二是利用補(bǔ)集的性質(zhì)：m＝ un＝ u( up)＝p；三是利用畫圖的方法.
答 選b.
說明：一題多解可以鍛煉發(fā)散思維.
例7 下列命題中正確的是
[ ]
a. u( ua)＝{a}
分析 d選擇項中a∈b似乎不合常規(guī)，而這恰恰是惟一正確的選擇支.
是由這所有子集組成的集合，集合a是其中的一個元素.
∴a∈b.
答 選d.
說明：選擇題中的選項有時具有某種誤導(dǎo)性，做題時應(yīng)加以注意.
例8 已知集合a＝{2，4，6，8，9}，b＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合c是這樣一個集合：其各元素都加2后，就變?yōu)閍的一個子集；若各元素都減2后，則變?yōu)閎的一個子集，求集合c.
分析 逆向操作：a中元素減2得0，2，4，6，7，則c中元素必在其中；b中元素加2得3，4，5，7，10，則c中元素必在其中；所以c中元素只能是4或7.
答 c＝{4}或{7}或{4，7}.
說明：逆向思維能力在解題中起重要作用.
學(xué)科滲透
例9 設(shè)s＝{1，2，3，4}，且m＝{x∈s|x2－5x＋p＝0}，若 sm＝{1，4}，則p＝________.
分析 本題滲透了方程的根與系數(shù)關(guān)系理論，由于 sm＝{1，4}，
∴m＝{2，3}則由韋達(dá)定理可解.
答 p＝2×3＝6.
說明：集合問題常常與方程問題相結(jié)合.
例10 已知集合s＝{2，3，a2＋2a－3}，a＝{|a＋1|，2}， sa＝{a＋3}，求a的值.