下學(xué)期 4.8 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)3
4.8 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第三課時）
（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺、投影儀.
（二）教學(xué)目標(biāo)
1.理解 ， 的周期性概念，會求周期.
2.初步掌握用定義證明 的周期為 的一般格式.
（三）教學(xué)過程
1.設(shè)置情境
自然界里存在著許多周而復(fù)始的現(xiàn)象，如地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，物理學(xué)中的單擺運動和彈簧振動、圓周運動等.數(shù)學(xué)里從正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可知，角 的終邊每轉(zhuǎn)一周又會與原來的位置重合，故 ， 的值也具有周而復(fù)始的變化規(guī)律.為定量描述這種周而復(fù)始的變化規(guī)律，今天，我們來學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)概念——函數(shù)的周期性（板書課題）
2.探索研究
（1）周期函數(shù)的定義
引導(dǎo)學(xué)生觀察下列圖表及正弦曲線
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
－1 |
0 |
1 |
0 |
－1 |
0 |
正弦函數(shù)值當(dāng)自變量增加或減少一定的值時，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn).
聯(lián)想誘導(dǎo)公式 ，若令 則 ，由這個例子，我們可以歸納出周期函數(shù)的定義：
對于函數(shù) ，如果存在一個非零常數(shù) ，使得當(dāng) 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 ，那么函數(shù) 叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期.
如 ， ，…及 ， …都是正弦函數(shù)的周期.
注意：周期函數(shù)定義中 有兩點須重視，一是 是常數(shù)且不為零；二是等式必須對定義域中的每一個值時都成立.
師：請同學(xué)們思考下列問題：①對于函數(shù) ， 有 能否說 是正弦函數(shù) 的周期.
生：不能說 是正弦函數(shù) 的周期，這個等式雖成立，但不是對定義域的每一個值都使等式 成立，所以不符合周期函數(shù)的定義.
② 是周期函數(shù)嗎？為什么
生：若是周期函數(shù)，則有非零常數(shù) ，使 ，即 ，化簡得 ，∴ （不非零），或 （不是常數(shù)），故滿足非零常數(shù) 不存在，因而 不是周期函數(shù).
思考題：若 為 的周期，則對于非零整數(shù) ， 也是 的周期.（課外思考）
（2）最小正周期的定義
師：我們知道…， ， ， ， …都是正弦函數(shù)的周期，可以證明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期.
一般地，對于一個周期函數(shù) ，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做 的最小正周期.
今后若涉及的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期.
依據(jù)定義， 和 的最小正周期為 .
（3）例題分析
【例1】求下列函數(shù)的周期：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） ， .
分析：由周期函數(shù)的定義，即找非零常數(shù) ，使 .
解：（1）因為余弦函數(shù)的周期是 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，余弦函數(shù)的值才能重復(fù)取得，函數(shù) ， 的值也才能重復(fù)取得，從而函數(shù) ， 的周期是 .
即 ，∴
（2）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數(shù) ， 的周期是 ，就是說，變量 只要并且至少要增加到 ，函數(shù) ， 的值才能重復(fù)取得，而 所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數(shù)值就能重復(fù)取得，從而函數(shù) ， 的周期是 .
即
∴
（3）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數(shù) ， 的周期是 ，由于 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即 是能使等式 成立的最小正數(shù)，從而函數(shù) ， 的周期是 .
而
∴
師：從上例可以看出，這些函數(shù)的周期僅與自變量 的系數(shù)有關(guān)，其規(guī)律如何？你能否求出函數(shù) ， 及函數(shù) ， （其中 ， ， 為常數(shù)，且 ， ）的周期？
生：
∴ .
同理可求得 的周期 .
【例2】求證：
（1） 的周期為 ；
（2） 的周期為 ；
（3） 的周期為 .
分析：依據(jù)周期函數(shù)定義 證明.
證明：（1）
∴ 的周期為 .
（2）
∴ 的周期為 .
（3）
∴ 的周期為 .
3.演練反饋（投影）
（1）函數(shù) 的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
（2） 的周期是_________
（3）求 的最小正周期.
參考答案：
（1）C；（2） ∴
（3）欲求 的周期，一般是把三角函數(shù) 化成易求周期的函數(shù) 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多個化一個，高次化一次”，將所給函數(shù)化成單角單函數(shù).
由
4.總結(jié)提煉
（1）三角函數(shù)所特有的性質(zhì)是周期性，周期與最小正周期是不同概念，研究三角函數(shù)的周期時，如未特別聲明，一般是指它的最小正周期.
（2）設(shè) ， .若 為 的周期，則必有：① 為無限集，② ；③ 在 上恒成立.
（3）只有 或 型的三角函數(shù)周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用.如 ，就不能說它的周期為 .
（四）板書設(shè)計
課題 1.周期函數(shù)定義 兩點注意： 思考問題① ② 2.最小正周期定義 例1 | 例2 的周期 的周期 練習(xí)反饋 總結(jié)提煉 |
思考題：設(shè) 是定義在 上的以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng) 時， ，求 上的表達(dá)式
參考答案：