下學期 4.8正弦函數、余弦函數的圖像和性質1

4.8  正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第一課時）

（一）教學具準備

直尺、圓規、投影儀.

（二）教學目標 

1.了解作正、余弦函數圖像的四種常見方法.

2.掌握五點作圖法，并會用此方法作出 上的正弦曲線、余弦曲線.

3.會作正弦曲線的圖像并由此獲得余弦曲線圖像.

（三）教學過程 （可用課件輔助教學）

1.設置情境

引進弧度制以后， 就可以看做是定義域為 的實變量函數.作為函數，我們首先要關注其圖像特征.本節課我們一起來學習作正、余弦函數圖像的方法.

2.探索研究

（1）復習正弦線、余弦線的概念

前面我們已經學習過三角函數線的概念及作法，請同學們回憶一下什么叫正弦線？什么叫余弦線？（師畫圖1）

設任意角 的終邊與單位圓相交于點 ，過點作 軸的垂線，垂足為 ，則有向線段 叫做角 的正弦線，有向線段 叫做角 的余弦線.

（2）在直角坐標系中如何作點

由單位圓中的正弦線知識，我們只要已知一個角 的大小，就能用幾何方法作出對應的正弦值 的大小來，請同學們思考一下，如何用幾何方法在直角坐標系中作出點 ？

教師引導學生用圖2的方法畫出點 .

我們能否借助上面作點 的方法在直角坐標系中作出正弦函數 ， 的圖像呢？

 ①用幾何方法作 ， 的圖像

我們知道，作函數的圖像的步驟是：列表、描點、連結；如果我們用列表法得出各點的坐標，就會因各點的縱坐標都是查三角函數表得到的數值不夠精確，使得描點后畫出的圖像誤差也大，為克服這一不足，我們用前面作點 的幾何方法來描點，從而使圖像的精確度有了提高.

（邊畫圖邊講解），我們先作 在 上的圖像，具體分為如下五個步驟：

a.作直角坐標系，并在直角坐標系中 軸左側畫單位圓.

b.把單位圓分成12等份（等份越多，畫出的圖像越精確）.過單位圓上的各分點作 軸的垂線，可以得到對應于0， ， ， ，…， 角的正弦線.

c.找橫坐標：把 軸上從0到 （ ）這一段分成12等分.

d.找縱坐標：將正弦線對應平移，即可指出相應12個點.

e.連線：用平滑的曲線將12個點依次從左到右連接起來，即得 ， 的圖像.

②作正弦曲線 ， 的圖像.

圖為終邊相同的角的三角函數值相等，所以函數 ， ， 且 的圖像與函數 ， 的圖像的形狀完全一樣，只是位置不同，于是我們只要將函數 ， 的圖像向左、右平移（每次 個單位長度），就可以得到正弦函數數 ， 的圖像，如圖1.

正弦函數 ， 的圖像叫做正弦曲線.

③五點法作 ， 的簡圖

師：在作正弦函數 ， 的圖像時，我們描述了12個點，但其中起關鍵作用的是函數 ， 與 軸的交點及最高點和最低點這五個點，你能依次它們的坐標嗎？

生：（0，0）， ， ， ，

師：事實上，只要指出這五個點， ， 的圖像的形狀就基本確定了，以后我們常先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連結起來，就得到函數的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖.

④用變換法作余弦函數 ， 的圖像

因為 ，所以 ， 與 是同一個函數，即余弦函數的圖像可以通過正弦曲線向左平移 個長度單位角得到，余弦函數的圖像叫做余弦曲線，如圖2，師：請同學們說出在函數 ， 的圖像上，起關鍵作用的五個點的坐標.

生：（0，1）， ， ， ，

3.例題分析

【例1】畫出下列函數的簡圖：

（1） ， ；

（2） ， .

解：（1）按五個關鍵點列表

利用五點法作出簡圖3

師：請說出函數 與 的圖像之間有何聯系？

生：函數 ， 的圖像可由 ， 的圖像向上平移1個單位得到.

（2）按五個關鍵點列表

利用五點法作出簡圖4

師： ， 與 ， 的圖像有何聯系？

生：它們的圖像關于 軸對稱.

練習：

（1）說出 ， 的單調區間；

（2）說出 ， 的奇偶性.

參考答案：（1）由 ， 圖像知、 ， 為其單調遞增區間， 為其單調遞減區間

（2）由 ， 圖像知 是偶函數.

4.總結提煉

（1）本課介紹了四種作 ， 圖像的方法，其中五點作圖法最常用，要牢記五個關鍵點的選取特點.

（2）用平移誘變法，由 這不是新問題，在函數一章學習平移作圖時，就使用過，請同學們作比較.應該說明的是由 平移量是不惟一的，方向也可左可右.

5.演練反饋，（投影）

（1）在同一直角坐標系下，用五點法分別作出下列函數的圖像

① ， ② ，

（2）觀察正弦曲線和余弦曲線，寫出滿足下列條件的 的區間.

① ， ② ， ③ ， ④

（3）畫出下列函數的簡圖

① ，   ② ，   ③ ，

參考答案：

（1）

（2）① ， ，   ② 、 ，

③    ④

（3）

（五）板書設計 

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