下學期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

4.7二倍角的正弦、余弦、正切（第二課時）

（一）教學具準備
投影儀

（二）教學目標 
1.應用倍角公式解決本章開頭的一個應用問題.
2.活用倍角公式，推求半角公式.

（三）教學過程 
1.設置情境
請同學看教材第3頁上的一段文字，它敘述的是一個生活中的實際問題：
“如圖1，是一塊以點 為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫出一個內接矩形 辟為綠地，使其一邊 落在半圓的直徑上，另兩點 、 落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑為 ，如何選擇關于點 對稱的點 、 的位置，可以使矩形 的面積最大？”根據教材提示應用所學的倍角公式，同學們能嘗試解答它嗎？
2.探索研究
分析：要使矩形 的面積最大，就必須想辦法把面積表示出來，不妨利用我們所學的三角知識，從角的方面進行考慮，設 ，則 ， ，所以 可以用 表示.
解：設   則  

∵   ∴
當 時，    即 ，
這時  ，
答：點 、 分別位于點 的左、右方 處時 取得最大值 .
變式：把一段半徑為 的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？
生：根據上題的結果可知這時圓內接矩形為內接正方形時面積最大.
以上是倍角公式在實際生活中的運用，請同學們觀察以下例題，并分析、思考后能否得出證明.
3.例題分析
【例1】求證：
（1） ；（2） ；
（3） .
思考，討論.
我們知道公式 中 是任意的，所以我們可以用 來替換 ，這樣就得到


即            

上面三式左邊都是平方形式，當 的值已知， 角的終邊所在象限已知時，就可以將右邊開方，從而求得：
         
以上兩式相除又得：

這三個式子稱之為半角公式，“±”號的取舍得由 終邊所在象限確定.

【例2】求證：
.
分析：從例1引出例2， ，右邊是同一個三角函數，并且還要附上正負號，而所要證明的式子右邊有兩個三角函數，不帶正負號.故我們不能利用上法，得另想辦法.
師：（邊敘述邊板書）


∴
上式不含根號也不必考慮“±”號選取，通常用于化簡或證明三角恒等式，同樣可作半角公式運用.

【例3】已知： ，求 ， ， .
解：


說明：①例1中（1）、（2）兩式使用頻率極高，正、逆使用都非常普遍.習慣從左到右，常稱“擴角降冪公式”，從右到左常謂“縮角升冪公式”，
②半角公式是二倍角公式的另一種表達方式，倍半關系是相對的.
練習（投影）
1.已知：       （ ），
求：（1） ；（2） .
2.若 ，求： 的值.
3.求： 的值.

參考答案：
解：1.∵
兩邊平方得              ∴
又∵         ∴
∴          ∴
2.∵     ∴
原式
（3）




另解：設  ……………………①
……………………②
①＋②得 …………………………③
①－②得 ……④
③＋④得     ∴
4.總結提煉
（1）本節課我們由倍角公式出發解決了實際應用問題，得出結論“在一個圓的所有內接矩形中，以內接正方形的面積為最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，從而推導出半角公式，公式“±”號的選取決定于 終邊所在的象限，例2的應用也很廣泛，大家可根據題目的條件選擇使用較為方便的形式.
（2）從半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來表示.
（3）若給出的 是象限角，則可根據下表決定符號.

若給出的 是區間角，則先求 所在區間再確定符號.
若沒有給出確定符號的條件，則應在根號前保留“±”號.

（五）板書設計