第一冊等可能性事件的概率

等可能性事件的概率
【教學目的】
通過等可能事件概率的講解，使學生得到一種較簡單的、較現實的計算事件概率的方法。
1.了解基本事件；等可能事件的概念；
2.理解等可能事件的概率的定義，能運用此定義計算等可能事件的概率
【教學重點】
熟練、準確地應用排列、組合知識，是順利求出等可能事件概率的重要方法。1.等可能事件的概率的意義：如果在一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是 ，如果事件A包含m個結果，那么事件A的概率P(A)=  。2.等可能事件A的概率公式的簡單應用。
【教學難點 】
等可能事件概率的計算方法。試驗中出現的結果個數n必須是有限的，每個結果出現的可能性必須是相等的。
【教學過程 】
一、 復習提問
1.下面事件：①在標準大氣壓下，水加熱到800C時會沸騰。②擲一枚硬幣，出現反面。③實數的絕對值不小于零；是不可能事件的有
A.  ②        B. ①           C. ①②          D. ③
2.下面事件中：①連續擲一枚硬幣，兩次都出現正面朝上；②異性電荷，相互吸引；③在標準大氣壓下，水在10C結冰。是隨機事件的有
A. ②        B. ③           C. ①         D.②③
3.下列命題是否正確，請說明理由
①“當x∈R時，sinx＋cosx≤1”是必然事件；
②“當x∈R時，sinx＋cosx≤1”是不可能然事件；
③“當x∈R時，sinx＋cosx＜2”是隨機事件；
④“當x∈R時，sinx＋cosx＜2”是必然事件；
3.某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次擊中10環，有3次擊中9環，有4次擊中8環，有1次未中靶，試計算此人中靶的頻率，假設此人射擊1次，問中靶的概率大約是多少？
4.上拋一個刻著1、2、3、4、5、6字樣的正六面體方塊出現字樣為“3”的事件的概率是多少？出現字樣為“0”的事件的概率為多少？上拋一個刻著六個面都是“P”字樣的正方體方塊出現字樣為“P”的事件的概率為多少？
二、 新課引入
隨機事件的概率，一般可以通過大量重復試驗求得其近似值。但對于某些隨機事件，也可以不通過重復試驗，而只通過對一次試驗中可能出現的結果的分析來計算其概率。這種計算隨機事件概率的方法，比經過大量重復試驗得出來的概率，有更簡便的運算過程；有更現實的計算方法。這一節課程的學習，對有關排列、組合的基本知識和基本思考問題的方法有較高的要求。
三、 進行新課
上面我們已經說過：隨機事件的概率，一般可以通過大量重復試驗求得其近似值。但對于某些隨機事件，也可以不通過重復試驗，而只通過對一次試驗中可能出現的結果的分析來計算其概率。
例如，擲一枚均勻的硬幣，可能出現的結果有：正面向上，反面向上。由于硬幣是均勻的，可以認為出現這兩種結果的可能發生是相等的。即可以認為出現“正面向上”的概率是1/2，出現“反面向上”的概率也是1/2。這與前面表1中提供的大量重復試驗的結果是一致的。
又如拋擲一個骰子，它落地時向上的數的可能是情形1,2，3,4，5,6之一。即可能出現的結果有6種。由于骰子是均勻的，可以認為這6種結果出現的可能發生都相等，即出現每一種結果的概率都是1/6。這種分析與大量重復試驗的結果也是一致的。
現在進一步問：骰子落地時向上的數是3的倍數的概率是多少？
由于向上的數是3,6這2種情形之一出現時，“向上的數是3的倍數”這一事件（記作事件A）發生。因此事件A的概率P（A）＝2/6＝1/3
定義1 基本事件：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。
通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成。如果一次試驗中可能出現的結果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等。那么每一個基本的概率都是 。如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率P（A）＝ 。亦可表示為P（A）＝  。
四、 課堂舉例：
【例題1】有10個型號相同的杯子，其中一等品6個，二等品3個，三等品1個.從中任取1個，取到各個杯子的可能性是相等的。由于是從10個杯子中任取1個，共有10種等可能的結果。又由于其中有6個一等品，從這10個杯子中取到一等品的結果有6種。因此，可以認為取到一等品的概率是 。同理，可以認為取到二等品的概率是3/10，取到三等品的概率是 。這和大量重復試驗的結果也是一致的。
【例題2】從52張撲克牌中任意抽取一張（記作事件A），那么不論抽到哪一張都是機會均等的，也就是等可能性的，不論抽到哪一張花色是紅心的牌（記作事件B）也都是等可能性的；又不論抽到哪一張印有“A”字樣的牌（記作事件C）也都是等可能性的。所以各個事件發生的概率分別為P（A）＝ =1，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ＝
在一次試驗中，等可能出現的n個結果組成一個集合I，這n個結果就是集合I的n個元素。各基本事件均對應于集合I的含有1個元素的子集，包含m個結果的事件A對應于I的含有m個元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個數（記作card（A））與集合I的元素個數（記作card（I））的比值。即P（A）＝ ＝
例如，上面擲骰子落地時向上的數是3的倍數這一事件A的概率P（A）＝ ＝ ＝
【例3】  先后拋擲兩枚均勻的硬幣，計算：
    (1)兩枚都出現正面的概率；
    (2)一枚出現正面、一枚出現反面的概率。
    分析：拋擲一枚硬幣，可能出現正面或反面這兩種結果。因而先后拋擲兩枚硬幣可能出現的結果數，可根據乘法原理得出。由于硬幣是均勻的，所有結果出現的可能性都相等。又在所有等可能的結果中，兩枚都出現正面這一事件包含的結果數是可以知道的，從而可以求出這個事件的概率。同樣，一枚出現正面、一枚出現反面這一事件包含的結果數是可以知。道的，從而也可求出這個事件的概率。
 解：由乘法原理，先后拋擲兩枚硬幣可能出現的結果共有2×2＝4種，且這4種結果出現的可能性都相等。
 (1)記“拋擲兩枚硬幣，都出現正面”為事件A，那么在上面4種結果中，事件A包含的結果有1種，因此事件A的概率
P（A）=1/4
答：兩枚都出現正面的概率是1/4。
 (2)記“拋擲兩枚硬幣，一枚出觀正面、一枚出現反面”為事件B。那么事件B包含的結果有2種，因此事件B的概率
P（B）=2/4=1/2
答：一枚出現正面、一枚出現反面的概率是1/2。
【例4】  在100件產品中，有95件合格品，5件次品。從中任取2件，計算：
(1)2件都是合格品的概率；
(2)2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品、1件是次品的概率。
分析：從100件產品中任取2件可能出現的結果數，就是從、100個元素中任取2個的組合數。由于是任意抽取，這些結果出現的可能性都相等。又由于在所有產品中有95件合格品、5件次品，取到2件合格品的結果數，就是從95個元素中任取2個的組合數；取到2件次品的結果數，就是從5個元素中任取2個的組合數；取到1件合格品、1件次品的結果數，就是從95個元素中任取1個元素的組合數與從5個元素中任取1個元素的組合數的積，從而可以分別得到所求各個事件的概率。
解：(1)從100件產品中任取2件，可能出現的結果共有 種，且這些結果出現的可能性都相等。又在 種結果中，取到2件合格品的結果有 種。記“任取2件，都是’合格品”為事件A，那么事件A的概率
P（A）=  /  =893/990
答：2件都是合格品的概率為893/990
(2)記“任取2件，都是次品”為事件B。由于在 種結果中，取到2件次品的結果有C52種，事件B的概率
P（B）=  /  =1/495
答：2件都是次品的概率為1/495
(3)記“任取2件，1件是合格品、I件是次品”為C。由于在 種結果中，取到1件合格品、l件次品的結果有  種，事件C的概率
P（C）=   /  =19/198
答：1件是合格品、1件是次品的概率為19/198
【例5】  某號碼鎖有6個撥盤，每個撥盤上有從0到9共十個數字，當6個撥盤上的數字組成某一個六位數字號碼(開鎖號碼)時，鎖才能打開。如果不知道開鎖號碼，試開一次就把鎖打開的概率是多少?
分析：號碼鎖每個撥盤上的數字，從0到9共有十個。6個撥盤上的各一個數字排在—起，就是一個六位數字號碼。根據乘法原理，這種號碼共有10的6次方個。由于不知道開鎖號碼，試開時采用每一個號碼的可能性都相等。又開鎖號碼只有一個，從而可以求出試開一次就把鎖打開的概率。
解：號碼鎖每個撥盤上的數字有10種可能的取法。根據乘法原理，6個撥盤上的數字組成的六位數字號碼共有10的6次方個。又試開時采用每一個號碼的可能性都相等，且開鎖號碼只有一個，所以試開一次就把鎖打開的概率
P=1/1000000
答：試開一次就把鎖打開的概率是1/1000000
五、課堂小結：用本節課的觀點求隨機事件的概率時，首先對于在試驗中出現的結果的可能性認為是相等的；其次是對于通過一個比值的計算來確定隨機事件的概率，并不需要通過大量重復的試驗。因此，從方法上來說這一節課所提到的方法，要比上一節所提到的方法簡便得多，并且更具有實用價值。
六、課堂練習
1.(口答)在40根纖維中，有12根的長度超過30毫米。從中任取1根，取到長度超過30毫米的纖維的概率是多少?
2.在10支鉛筆中，有8支正品和2支副品。從中任取2支，恰好都取到正品的概率是多少?
七、布置作業 ：課本第120頁習題10.5第2――－6題