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圓周角

圓周角


第一課時(shí) (一)

教學(xué)目標(biāo) 

(1)理解的概念,掌握的兩個(gè)特征、定理的內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用;

(2)繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力;

(3)滲透由“特殊到一般”,由“一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)重點(diǎn)的概念和定理

教學(xué)難點(diǎn) :定理的證明中由“一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法和完全歸納法的數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):(在教師指導(dǎo)下完成)

(一)的概念

1、復(fù)習(xí)提問(wèn):

(1)什么是圓心角?

答:頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

(2)圓心角的度數(shù)定理是什么?

答:圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).(如右圖)

2、引題:

如果頂點(diǎn)不在圓心而在圓上,則得到如左圖的新的角∠ACB,它就是.(如右圖)(演示圖形,提出的定義)

定義:頂點(diǎn)在圓周上,并且兩邊都和圓相交的角叫做

3、概念辨析:

教材P93中1題:判斷下列各圖形中的是不是,并說(shuō)明理由.

學(xué)生歸納:一個(gè)角是的條件:①頂點(diǎn)在圓上;②兩邊都和圓相交.

(二)的定理

1、提出的度數(shù)問(wèn)題

問(wèn)題:的度數(shù)與什么有關(guān)系?

經(jīng)過(guò)電腦演示圖形,讓學(xué)生觀察圖形、分析與圓心角,猜想它們有無(wú)關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生在建立關(guān)系時(shí)注意弧所對(duì)的的三種情況:圓心在的一邊上、圓心在內(nèi)部、圓心在外部.

(在教師引導(dǎo)下完成)

(1)當(dāng)圓心在的一邊上時(shí),與相應(yīng)的圓心角的關(guān)系:(演示圖形)觀察得知圓心在上時(shí),是圓心角的一半.

提出必須用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法去證明.

證明:(圓心在上)

(2)其它情況,與相應(yīng)圓心角的關(guān)系:

當(dāng)圓心在外部時(shí)(或在內(nèi)部時(shí))引導(dǎo)學(xué)生作輔助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心在一邊上的情況,從而運(yùn)用前面的結(jié)論,得出這時(shí)仍然等于相應(yīng)的圓心角的結(jié)論.

證明:作出過(guò)C的直徑(略)

定理: 一條弧所對(duì)的

周角等于它所對(duì)圓心角的一半.

說(shuō)明:這個(gè)定理的證明我們分成三種情況.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類方法;在證明中,后兩種都化成了第一種情況,這體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的化歸思想.(對(duì)A層學(xué)生滲透完全歸納法)

(三)定理的應(yīng)用

1、例題: 如圖   OA、OB、OC都是圓O的半徑, ∠AOB=2∠BOC.

求證:∠ACB=2∠BAC

讓學(xué)生自主分析、解得,教師規(guī)范推理過(guò)程.

說(shuō)明:①推理要嚴(yán)密;②符號(hào)應(yīng)用要嚴(yán)格,教師要講清.

2、鞏固練習(xí):

(1)如圖,已知圓心角∠AOB=100°,求∠ACB、∠ADB的度數(shù)?

(2)一條弦分圓為1:4兩部分,求這弦所對(duì)的的度數(shù)?

說(shuō)明:一條弧所對(duì)的有無(wú)數(shù)多個(gè),卻這條弧所對(duì)的的度數(shù)只有一個(gè),但一條弦所對(duì)的的度數(shù)只有兩個(gè).

(四)總結(jié)

知識(shí):(1)定義及其兩個(gè)特征;(2)定理的內(nèi)容.

思想方法:一種方法和一種思想:

在證明中,運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的分類方法和“化歸”思想.分類時(shí)應(yīng)作到不重不漏;化歸思想是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一系列的簡(jiǎn)單問(wèn)題或已證問(wèn)題.

(五)作業(yè)  教材P100中 習(xí)題A組6,7,8

第二、三課時(shí) (二、三)

教學(xué)目標(biāo) 

(1)掌握定理的三個(gè)推論,并會(huì)熟練運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明;

(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及解決問(wèn)題的能力及邏輯推理能力;

(3)培養(yǎng)添加輔助線的能力和思維的廣闊性.

教學(xué)重點(diǎn):定理的三個(gè)推論的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn) :三個(gè)推論的靈活應(yīng)用以及輔助線的添加.

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):

(一)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

問(wèn)題1畫(huà)一個(gè)圓,以B、C為弧的端點(diǎn)能畫(huà)多少個(gè)?它們有什么關(guān)系?

問(wèn)題2在⊙O中,若 = ,能否得到∠C=∠G呢?根據(jù)什么?反過(guò)來(lái),若土∠C=∠G ,是否得到 = 呢?

(二)分析、研究、交流、歸納

讓學(xué)生分析、研究,并充分交流.

注意:①問(wèn)題解決,只要構(gòu)造圓心角進(jìn)行過(guò)渡即可;②若 = ,則∠C=∠G;但反之不成立.

老師組織學(xué)生歸納:

推論1:同弧或等弧所對(duì)的相等;在同圓或等圓中,相等的所對(duì)的弧也相等.

重視:同弧說(shuō)明是“同一個(gè)圓”; 等弧說(shuō)明是“在同圓或等圓中”.

問(wèn)題: “同弧”能否改成“同弦”呢?同弦所對(duì)的一定相等嗎?(學(xué)生通過(guò)交流獲得知識(shí))

問(wèn)題3(1)一個(gè)特殊的圓弧——半圓,它所對(duì)的是什么樣的角?

(2)如果一條弧所對(duì)的是90°,那么這條弧所對(duì)的圓心角是什么樣的角?

學(xué)生通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題的解決,在教師引導(dǎo)下得推論2:

推論2半圓(或直徑)所對(duì)的是直角;90°的所對(duì)的弦直徑.

指出:這個(gè)推論是圓中一個(gè)很重要的性質(zhì),為在圓中確定直角、成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件,要熟練掌握.

啟發(fā)學(xué)生根據(jù)推論2推出推論3:

推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角是直角三角形.

指出:推論3是下面定理的逆定理:在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半.

(三)應(yīng)用、反思

例1、如圖,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圓直徑.

求證:AB·AC=AE·AD.

對(duì)A層同學(xué),讓學(xué)生自主地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,進(jìn)行生生交流,師生交流;其他層次的學(xué)生在教師引導(dǎo)下完成.

交流:①分析解題思路;②作輔助線的方法;③解題推理過(guò)程(要規(guī)范).

解(略)

教師引導(dǎo)學(xué)生思考:(1)此題還有其它證法嗎? (2)比較以上證法的優(yōu)缺點(diǎn).

指出:在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí),常常需要添加輔助線,構(gòu)成直徑上的,以便利用直徑上的是直角的性質(zhì).

變式練習(xí)1:如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠1=∠2.

求證:AB·AC=AE·AD.

變式練習(xí)2:如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,弦AE平分
∠BAC交BC于D.

求證:AB·AC=AE·AD.

指出:這組題目比較典型,圓和相似三角形有密切聯(lián)系,證明圓中某些線段成比例,常常需要找出或通過(guò)輔助線構(gòu)造出相似三角形.

例2:如圖,已知在⊙O中,直徑AB為10厘米,弦AC為6厘米,∠ACB的平分線交⊙O于D;

求BC,AD和BD的長(zhǎng).

解:(略)

說(shuō)明:充分利用直徑所對(duì)的為直角,解直角三角形.

練習(xí):教材P96中1、2

(四)小結(jié)(指導(dǎo)學(xué)生共同小結(jié))

知識(shí):本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了定理的三個(gè)推論.這三個(gè)推論各具特色,作用各異,在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛,應(yīng)熟練掌握.

能力:在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí),常常需要添加輔助線,構(gòu)成直徑所對(duì)的或構(gòu)成相似三角形,這種基本技能技巧一定要掌握.

(五)作業(yè) 

教材P100.習(xí)題A組9、10、12、13、14題;另外A層同學(xué)做P102B組3,4題.

探究活動(dòng)

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半”,但當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外(如圖①稱圓外角)或在圓內(nèi)(如圖②稱圓內(nèi)角),它的度數(shù)又和什么有關(guān)呢?請(qǐng)?zhí)骄?

提示:(1)連結(jié)BC,可得∠E= ( 的度數(shù)— 的度數(shù))

(2)延長(zhǎng)AE、CE分別交圓于B、D,則∠B= 的度數(shù),

∠C= 的度數(shù),

∴∠AEC=∠B+∠C= ( 的度數(shù)+ 的度數(shù)).



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