數學教案－由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組

第一課時

一、教學目標 

1.使學生知道二元二次方程的概念、二元二次方程組的概念；

2.使學生掌握由代入法解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.

3. 通過二元二次方程組解法的教學，向學生滲透“消元”、“降次”的數學思想方法，從而提高分析問題和解決問題的能力；

4. 通過二元二次方程組解法的剖析，對學生進行事物間可以相互轉化的辨證唯物主義思想的教育；

5. 通過方程組的學習，滲透方程組解的對稱美.

二、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學重點：了解二元二次方程、二元二次方程組的概念，會用代入法解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組.

2.教學難點 ：理解解二元二次方程組的基本思想.

3.教學疑點：關于學生對二元二次方程組概念的理解.由于教材中關于二元二次方程組的概念的給出，是通過具體實例的形象定義，因此，部分學生可能認為只有由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的或由兩個二元二次方程組成的方程組才叫二元二次方程組，其實不然.關于這一點，可利用課后輔導向學生做一簡單的說明.

4.解決辦法：關鍵是消元，化二元為一元，本節主要是用代入消元.

三、教學過程 

1.復習提問

（1）舉例說明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程組？

（2）解二元一次方程組的基本思路是什么？

（3）解二元一次方程組有哪幾種方法？

問題1、2的設計是為了學生能用類比的方法學習二元二次方程、二元二次方程組的概念和二元二次方程組的解法.

2.新課講解

我們已經學過二元一次方程和二元一次方程組，會用代入消元法或加減消元法解二元一次方程組，這節課，我們將學習二元二次方程及二元二次方程組的概念和二元二次方程組的解法.

關于新課的導入  ，使學生對于本課所要學習的知識一目了解，并且能使學生懂得通過哪些舊知識來學習新內容.

（1）二元二次方程及二元二次方程組

觀察方程 ，此方程的特點：①含有兩個未知數；②是整式方程；③含有未知數的項的最高次數是2.

定義①：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程叫做二元二次方程.

二元二次方程的一般形式是： （a、b、c不同時為零）.其中 叫做二次項， 叫做一次項， 叫做常數項.

定義②：由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程及兩個二元二次方程組成的方程組是我們所研究的二元二次方程組.例如：

都是二元二次方程組.

（2）由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的解法.

我們已經學過二元一次方程組的解法，所謂解二元一次方程組就是求方程組中兩個方程的公共解，同樣，解二元二次方程組也就是求方程組中兩個方程的公共解.

解二元二次方程組的基本思想是消元和降次，消元就是化二元為一元，降次就是把二次降為一次，因此可以通過消元和降次把二元二次方程組轉化為二元一次方程組、一元二次方程甚至一元一次方程.

對于由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組來說，代入消元法是解這類方程組的基本方法.

例1  解方程組

分析：由于方程組是由一個二元一次方程和二元二次方程組成的，所以通過代入可以達到消元的目的，通過②得 再代入①可以求出 的值，從而得到方程組的解.

解：由②，得

把③代入①，整理，得

解這個方程，得

.

把 代入③，得 ；

把 代入③，得 .

所以原方程的解是

說明：本題在師生共同分析后，讓學生獨立完成，教師指導學生解題過程.

鞏固練習：教材P57  1、2

四、總結、擴展

關于本節的小結，教師引導學生共同總結.

本節課我們學習了二元二次方程、二元二次方程組的定義及常見的二元二次方程組的兩種類型，理解了解二元二次方程組的基本思想是消元和降次，使之轉化為二元一次方程或一元一次方程；對于一個二元一次方程組和一個二元二次方程組成的二元二次方程組，一般采用代入消元法解.

學生學完了用代入法解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組后，教師和學生可以共同總結這種類型方程組的解題步驟：

1.將方程組中的二元一次方程變形為一個未知數用另一個未知數表示的代數式.

2.將所得的代數式代入二元二次方程中得到一個一元二次方程或一元一次方程.

3.解一元二次方程或一元一次方程.

4.將所求的值代入由1所得的式子求出另一未知數.

5.寫出方程組的解.

五、布置作業 

教材P58  1，2.

六、板書設計