華應龍執教的“莫比烏絲圈”
“莫比烏絲圈”是北師大版五年級上冊的教學內容。教材中的“莫比烏絲圈”也就是很多趣味數學讀物上提到的莫比烏斯帶。莫比烏斯帶也叫莫比烏斯圈。莫比烏斯帶是德國數學家莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時偶然發現的一個副產品。莫比烏斯帶已被作為“了解并欣賞有趣的圖形”之一寫進了新的數學課程。
教學實錄：
一、變魔術
師：（出示一張白紙條）請拿出這樣的白紙條，這張紙條有幾條邊？幾個面
生：（齊）四條邊、兩個面。
師：一個正面、一個反面。現在我 會變魔術，我能把它變成只有兩條邊、兩個面。
(師微笑著把紙條變成紙圈。)
師：是不是兩條邊、兩個面?
生：是!
師：你會嗎?
生：會!
師：我看那位同學的笑很特別，什么意思?
生：(笑著說)這沒什么神奇的!
師：是啊，地球人都知道。奇妙的是我還能把它變成一條邊、一個面。
(生瞪大眼睛，興趣一下子被激發起來了。有同學在想，有同學在試。)
師：非常好，有同學在大膽嘗試，有五六位同學已經做出來了。太棒了！是不是這樣的?
(師把紙條放在背后操作，做成莫比烏斯圈。)
師：不想讓你們看到!(師出示莫比烏斯圈)想想吧，是怎么做的?
二、做紙圈
師：(看到大多數同學都做成了)同學們可以互相幫助。看到同學們快樂的笑臉，我真高興！我們可以這樣做： (師演示)先做成一個普通的紙圈，然后將一端剪開翻180°，再用膠水粘牢。是不是一條邊、一個面?怎樣檢驗呢?
(生用手指沿著紙條的邊和面各畫了一圈。)
生：是一條邊、一個面!
師：我們一起動手，都來檢驗一下吧。拿出一支水彩筆，在紙圈的中間畫一條線，看看它是不是一個面。
生：真是一個面，怎么回事?
師：像這樣沒有里面和外面之分，只有一個面的，數學上叫單側曲面。那么普通的紙圈有里外之分就叫——
生：雙側曲面。
師：這樣一個怪怪的紙圈叫什么名字呢?有人知道嗎?
生：莫比烏斯圈。
師：真不簡單!你是怎么知道的?
生：看《十萬個為什么》知道的。
師：是啊，我小時候也特別喜歡看《十萬個為什么》。為什么叫莫比烏斯圈呢?我來告訴同學們，德國有一位數學家叫莫比烏斯，1858年，一次偶然的機會，他發現了這樣一個奇妙的紙圈。所以，人們就把這樣的紙圈叫莫比烏斯圈。
三、沿1/2線剪
師：我們的魔術還可以往下做，怎么做呢?剛才你不是在這個紙圈中間畫了一條線嗎?想一想，如果我們沿著中間這條線把這個紙圈剪開的話，會怎樣呢
生：我覺得這個圈會變成兩個圈。
生：我覺得會變成兩個莫比烏斯圈。
生：會不會變成三個圈?
師：(看到有學生想剪了)要知道究竟，怎樣辦呢?
生：剪剪看。
師：是啊，實踐出真知!
生：在我剪完之后，不像剛才同學們說的那樣是兩個圈，是連在一起的。
生：我這個也是連在一起的。
師：那是一個圈還是兩個圈?
生：(齊)一個圈。
師：不過，這個圈中間有點扭起來了。我們都認為從中間剪開應該是兩個圈呀，怎么會變成一個圈呢?奇怪!哪位同學能說說你的猜想?
生：因為莫比烏斯圈有一條邊、一個面，所以我覺得剪開以后是一個大圈!
生：因為是粘著的，我覺得剪完后是一個整體。
師：剛才兩位同學發表了很好的意見，其實每位同學都可以猜想。究竟為什么呢?你們可以繼續研究。
(生在玩弄他剪出的長紙條o)
師：有新發現了，這位同學說說你的發現。
生：我也不知道怎么剪出了一張紙條。
生：他沒認真看老師的示范，先從邊上剪進去的。
師：對，我們是說沿中線剪開。要小心求證，不然我們還以為你有新發現了。不過，這也確實是個新發現啊o(師出示剪成的大圈)那么它還像剛才那樣，只有一個面嗎?
生：(齊)一個面。
師：這是我們認為的，要準確回答，該怎么辦?
生：用筆畫線。
師：請拿起筆來，在紙帶中間畫一畫，看一看究竟是一個面還是兩個面。
(生動手檢驗后，紛紛說一個面。)
師：我們看到的兩個面是不是都被畫上了線?
生：(恍然大悟)不是，只畫了一面，沒有畫到另一面。
師：那這個紙圈是不是單側曲面呢?
生：不是。
師：是個雙側曲面。所以有時候研究問題不能只在腦子里想象，還要親自去做一做。做完以后，還得小心看準了。現在紙帶中間又畫了一線條，如果再沿著這條線剪開，想一想，又會是什么結果呢?
生：還是一個圈。
生：我覺得是兩個圈。
師：大家做做看。
(生動手操作，師也動手操作。)
生：是兩個套著的圈，真奇怪!
師：這次同學們猜兩個圈還真是兩個圈，不過這兩個圈是——
生：是套著的。
師：對，是套在一起的。真奇妙!現在，你們有什么想法嗎?
生：老師，還能剪。
師：還想再剪是嗎?如果再剪會怎么樣呢?我還真沒試過。還有其他想法嗎
生：我覺得這太神奇了，可是我想知道這是怎么回事。
師：(贊許地點了點頭)還有其他想法嗎?
生：我覺得這個圈本來應該分開的，為什么會慢慢地又纏在一起了?
師：這樣的紙圈確實有很多奧秘，值得我們去研究。
四、沿1/3線剪
師：我們繼續來感受這個紙圈的神奇，好嗎?請同學們拿出那張黃紙條，在黃紙條上畫三等分線。請把中間的部分涂上你喜歡的顏色，兩面都涂。
師：好，現在你們有什么想法?
生：能沿著線把這個莫比烏斯圈剪開嗎?
師：可以的。如果我們沿著三等分線把這個莫比烏斯圈剪開的話，需要剪幾次呢?
生：(齊)兩次。
師：剪完以后會是什么樣子呢?
生：我覺得剪完后可能會是三個圈套在一起。
生：我覺得會變成一個大圈。
師：真佩服你的想象力。那究竟會怎么樣，還是動手去做一做。
生：剪一次就可以了。
師：明明是兩條線，怎么剪一次就可以了?
師：剪成了幾個圈?
生：兩個。
生：一個大圈套著一個小圈。
生：小圈是單側曲面，大圈是雙側曲面。
五、自主玩
師：剛才我們將一張普通的紙條擰、粘、剪，感受到了莫比烏斯圈的變幻莫測、神奇無比。我想接下來的時間就完全交給同學們了，現在發揮你們的聰明才智，自己去想象、設計、制作。請拿出另一張白色紙條。剛才我們是擰了180°，想一想還可以怎么擰。剛才我們是沿1/2、1/3線剪的，現在想一想怎么剪。哪位同學有特別好的創意，老師將獎給他紅色紙條繼續設計。
(屏幕上出示經典的莫比烏斯圈圖案，生創作，師巡視，詢問夸獎，發放獎品。)
師：剛才是我們各自在創造，現在小組內的同學相互交流欣賞。說說你是怎么做的，怎么旋轉的，怎么剪開的。是兩個套在一起的圈。
生：我幫他糾正一下，把紙條一端旋轉360°做成的紙圈不是莫比烏斯圈。
師：那它是什么?
生：它是一個雙側曲面的圈。
生：這兩個圈的大小一樣。
生：我得到一個結論：把紙條一端旋轉180°的奇數倍做的圈是單側曲面，而旋轉180°的偶數倍做成的圈是雙側曲面。
師：真棒!他不但動手做，還動腦想了。那這個規律到底對不對呢?除了多次實驗，還要從理論上去證明。現在，我提議大家為他的大膽猜想鼓掌!共剪了兩次，但結果也是兩個套在一起的、大小一樣的雙側曲面的紙圈。
師：剛才我們已經創造和分享了莫比烏斯圈的神奇。我想肯定還有很多同學想繼續去探究，咱們現在暫停。
六、發明應用
師：在咱們西城區有一個莫比烏斯爬梯，有人玩過嗎?
生：我玩的時候上上下下有十圈，累得我滿頭大汗，最后還是回到原地。
師：哈哈哈!原來你們只是覺得好玩，現在你們知道是怎么回事了嗎?
生：知道了!
師：莫比烏斯圈不但好玩還好用呢。想想看，莫比烏斯圈可以在哪些地方用上呢?
生：家里有胖孩子的，媽媽就可以設計一個莫比烏斯跑道，讓她的兒子減肥。
生：有的過山車就是這樣的。
生：我覺得可以把樓梯建成莫比烏斯圈的形狀。
師：很大膽的一個猜想，說不定有朝一日，我們的樓梯就像他講的那樣，我上去一會兒又下來了。
生：我覺得環線地鐵也可以是莫比烏斯圈樣的。
師：多好的想法!問題是當地鐵沿著莫比烏斯軌道轉著轉著的時候，會轉到哪兒去呢?
生：可以做一個莫比烏斯圈的能循環的磁帶，聽時，不用拿出磁帶，a、b兩面都能聽。
師：多有價值的創意，應該申請專利。唉，只可惜這個創意我們稍微遲了一點，已經被一個日本人申請了。
生：水流可以用莫比烏斯圈讓它循環。
師：哈哈……把水重新利用一下，好想法，謝謝這位女同學!她的想法，讓我想到針式打印機的色帶，它就是讓墨水流到用莫比烏斯圈原理做成的色帶上，充分利用了色帶的表面。
七、說收獲與遺憾
師：很可惜我們的時間到了，上了今天這節課你有什么收獲或遺憾?
生：通過這節課我知道了什么是莫比烏斯圈。
生：我的遺憾是沒有想出日常生活中可以用上莫比烏斯圈只有一條邊、一個面。
生：我知道莫比烏斯圈了，遺憾的是我不能多剪幾次。
師：那是怪華老師沒有給大家更多的時間，這樣，課下再試試好不好?
生：(首先想到用莫比烏斯圈原理做成磁帶的男孩)唉——我媽媽早生我幾年就好了。
(全班同學都笑了。)
師：好了，同學們，大家通過今天這節課的學習，是不是對莫比烏斯圈還有很多疑問呢?還有很多為什么沒能解答，有的問題華老師也不怎么清楚。我告訴大家，數學中有一門專門研究莫比烏斯圈的學問叫拓撲學。 (師板書：拓撲學)課下，有興趣的同學可以繼續去研究，好不好?中國科技館的大廳里就聳立著一巨型的三葉扭結，這個三葉扭結就是根據莫比烏斯圈的原理設計的。它每天不停地旋轉著，美妙的曲線，讓我們享受著數學的神奇和無限的遐想……
名師的課，值得學習：
1、 對導入的處理
華老師的課，開始時老師表演了一個魔術，剪斷信封而其中的繩子不斷。他的用意在于引導學生觀察與質疑，并且直到最后，他也沒給出答案，這與他的整節課的設計思路是有關系的，他的課，觀察與質疑貫穿了始終。數學課不能僅僅是游戲課，不能上成手工課，質疑、嘗試、操作、交流、小結這樣的思考過程，是必須始終居于要位的。
2、對質疑的引導
課堂的整個過程，華老師以到位的教學智慧，引導學生提出問題，并且最終得以“是不是一條邊”“是不是一個面”“為什么會變成一條邊”“為什么會變成一個面”“有什么用處”這樣的有層次而富有思考性的5個問題串起了整節課。在學生一時提不出更好的問題時，他沒有急躁，而是耐心地傾聽和等待，使得有思考價值的問題得以出現。
3、對“準備”的思考
華老師上這節課，其實有不少地方是挺“粗糙”的。例如他是回到自己四年前工作的學校來上示范課，選用了自己當時教過的學生，由于這一點，他一直努力地喚醒學生的往昔回憶，并盡量喚出學生的名字。但是，前者由于學生的年齡，當年應當只是一二年級的孩子吧，對師生之情能夠有多少回憶呢？總之反應平平。后者，則出現了多次錯誤，指鹿為馬的場景一再上演，那么這是不是弄巧成拙呢？這準備應當說是挺不夠的了，當然名師往往如驚鴻掠影，來去匆匆，沒有辦法做足夠的準備。最讓我感動的是華老師對突發事件的回應，顯得那么從容。當華老師正準備說話時，話筒突然發出刺耳的長音，這是很多公開課上都曾出現的，多數老師都置之不理，等其結束。只有華老師接著說：“這就是我發出的聲音，很渾厚吧。”孩子們都笑了，氣氛也頓時愉悅了許多。在課即將結束的時候，又出現的狀況，電腦突然死機了，換做很多老師，都會手足無措，只顧自己擺弄電腦，學生也只有傻坐著。“死了就死了吧”一句簡單的話卻讓課堂繼續著精彩。對比起來，平時年輕老師上課，反而是在這些方面做了充分準備的。但是，我們對學生可能的生成，教學要點的安排，引導的方式技巧卻準備得很不夠，思考局限于低的水平，離“成竹在胸、游刃有余”真是差之甚遠。所以說，在對技術工具的注重之外，年輕的教師還應當要加強對一節課的數學內涵、思維方式及至引導技巧的思考。