有關(guān)0的困惑
1.0是自然數(shù)嗎?
從歷史上看,國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界對(duì)于0是不是自然數(shù)歷來(lái)是有爭(zhēng)議的,建國(guó)以來(lái),我國(guó)的中小學(xué)教材一直規(guī)定自然數(shù)不包括0。
目前,國(guó)外的數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定0是自然數(shù)。為了國(guó)際交流的方便,1993年頒布的《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》(gb 3100~3102-93)《量和單位》(11-2.9)第311頁(yè),規(guī)定自然數(shù)包括0。
所以近幾年進(jìn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材,根據(jù)上述國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修訂。規(guī)定為是自然數(shù)。就象規(guī)定我們平時(shí)說(shuō)的分鐘、小時(shí)在書寫時(shí)要寫成分、時(shí)一樣,與我們長(zhǎng)期的習(xí)慣不一致,老師們感到別扭也是可以理解的。有的出版物沒(méi)有按規(guī)定改,是它們的原因,我們不能抱怨現(xiàn)在“遵了紀(jì),又守了法”的小學(xué)教材。
2.研究倍數(shù)為什么把0排除在外?
在約數(shù)、倍數(shù)等概念中都不包括0。在小學(xué)階段討論倍數(shù)問(wèn)題時(shí),為什么把0排除在外?因?yàn)槿舭?,說(shuō)0是任何數(shù)的倍數(shù),那么2,8的最小公倍數(shù)是多少?任意兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)都是0了,研究最小公倍數(shù)的就沒(méi)有意義了。不把0排除在外會(huì)帶給我們很多麻煩。
3.“0是否為2的倍數(shù)?”、“2是否為0.2的倍數(shù)?”、“0是否為偶數(shù)?”、“0.2是否為偶數(shù)?”
老師們問(wèn)到的“0是否為2的倍數(shù)?”、“2是否為0.2的倍數(shù)?”、“0是否為偶數(shù)?”、“0.2是否為偶數(shù)?”這些都是與因、倍數(shù)有關(guān)。
討論奇偶性這樣的問(wèn)題,要看范圍,有的老師說(shuō)到初中會(huì)說(shuō)0是偶數(shù),其實(shí)初中也不系統(tǒng)研究數(shù)的奇偶性,有的教材只是在學(xué)習(xí)了代數(shù)式之后,給出奇偶性的一般的表示方法:2 n和2n+1,由此可知,像0,-2,-4也是偶數(shù),但不是我們小學(xué)研究的范圍。雖然在初中給出一般形式,但很多初中生或老師也會(huì)有很多人不知道-2,-4也是偶數(shù),人們關(guān)注的不是-2,-4是什么,而是更關(guān)注共性的東西。另外,說(shuō)0,-2,-4也是偶數(shù),是人們的一種規(guī)定,而這種規(guī)定實(shí)在不是什么重要的問(wèn)題,因?yàn)檫@種規(guī)定的初始并不是針對(duì)0和負(fù)數(shù)而規(guī)定的。
在數(shù)學(xué)上,所有2的倍數(shù)所組成的集合稱為偶數(shù),0是2的倍數(shù),所以0也是偶數(shù),-2,-4,等也是偶數(shù)(同樣,這是在數(shù)學(xué)中的規(guī)定);0.2不是2的倍數(shù),所以0.2不是偶數(shù),在小學(xué)階段,由于討論倍數(shù)問(wèn)題時(shí),并不包含0,因此,在小學(xué)階段,也不討論0是否為偶數(shù)這樣的問(wèn)題。作為老師知道是可以的,但不要考這樣的問(wèn)題,也請(qǐng)老師們向上級(jí)的有關(guān)教研部門反映情況。
(附:下文較難懂,可以不看:
在數(shù)學(xué)上,如果a是b的倍數(shù),則a,b這兩個(gè)數(shù)要滿足下列三個(gè)條件:
(1)a,b都是整數(shù);
(2)b≠0;
(3)存在一個(gè)整數(shù)q,滿足a=b×q。
由上述的條件限制可以看出,因?yàn)?=2×0, 0是整數(shù),所以,0是2的倍數(shù),顯然,0也是任意整數(shù)的倍數(shù),但這是在數(shù)學(xué)上的規(guī)定,在小學(xué)階段學(xué)生不好理解,所以我們?cè)谛W(xué)階段將0除外。而2不是0.2的倍數(shù),因?yàn)?.2不是整數(shù)。)
4、“甲是乙的倍數(shù)” 與日常生活中談?wù)摰摹凹琢渴且伊康膸妆丁币饬x有什么不同?
在小學(xué)階段討論“甲是乙的倍數(shù)”時(shí),指的是甲、乙兩個(gè)正整數(shù),滿足甲數(shù)除以乙數(shù)的商數(shù)也是正整數(shù),且余數(shù)為0,這與日常生活中談?wù)摰摹凹琢渴且伊康膸妆丁币饬x不同,日常生活中所指的幾倍是數(shù)量上的多少倍,甲量或乙量并不一定要是整數(shù),兩者間也不一定要滿足整數(shù)倍的關(guān)系,例如我們常說(shuō)1公斤甲物的重量是2公斤乙物的0.5倍,但是1不是2的倍數(shù),我們也常說(shuō)2米的繩長(zhǎng)是0.5米繩長(zhǎng)的4倍,但是2也不是0.5的倍數(shù),因?yàn)?.5不是整數(shù)。