公約數與最大公約數

一、情景導入

課件：出示長30分米，寬24分米的長方形。

師：同學們，今天老師請大家幫一個忙，老師有一間廚房要鋪地磚，看大屏幕，這就是廚房的形狀，長30分米，寬24分米，請同學們幫助老師選一選用多大的正方形地磚鋪地，才能鋪得既整齊又節約呢？告訴老師正方形的邊長是幾？

生：1、2、3、6分米。

師：如果老師還想鋪快點，你認為哪一種方法最好？

生：6分米。

師：同學們是怎樣想到用邊長1、2、3、6分米的正方形在磚鋪地磚鋪地的？

生：這些數既是30的約數又是24的約數。

師：同學們的回答是正確的，為什么正確呢？這就是我們這節課將要探討的內容。

板書：最大公約數

二、新課

師：同學們8的約數有哪些？

生：1、2、4、8。

師：12的約數有哪些？

生：1、2、3、4、6、12。

師：請同學們觀察一下哪些是8和12公有的約數？

生：1、2、4。

師：我們把8和12公有的約數1、2、4叫做8和12的公約數。

師：這些公約數中，誰最大？

生：4。

師：4就是8和12的最大公約數。

師：通過剛才的探索，你能說說什么是公約數，什么是最大公約數。

生：說概念。

師：好，12個數公有的約數叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

師：好，看大屏幕，請同學們齊讀一遍。

師：當然8除的公約數外，8還有獨有的約數8，12還有獨有的約數，3、6、12。

師：下面請同學們找出15和18的公約數，再找出它的最大公約數。

師：15的約數有哪些？

生：……

師：18的約數有哪些？

生：1、2、3、6、9、18。

師：15和18的公約數有哪些？

生：1、3。

師：15和18的最大公約數是幾？

生：3。

師：除公約數外，15獨有的約數是多少？

生：5、15。

師：18獨有的約數是幾？

生：2、6、9、18。

師：下面請同學們找出5和7、7和9、8和9的公約數和最大公約數。

生：找到了。

師：好，誰來說5和7的公約數和最大公約數？

生：……

師：好，誰來說7和9的公約數和最大公約數？

生：……

師：誰來說8和9？

生：……

師：請同學們仔細觀察一下，5和7，7和9、8和9它的公約數有什么特點？

生：公約數都是1。公約數只有一個。

師：我們把公約數只有1的兩個數叫做互質數，好，請同學們齊讀一遍。

生：（讀）

師：誰能舉一組互質數。

生：……

師：好，請同學們想一想質數和互質數有什么不同？

生：……

師：質數只對一個數來說，互質數是對兩個數來說的。

師：上面我們用到舉例法找出了兩個數的最大公約數，你們覺得這種方法麻煩嗎？

生：麻煩。

師：那有沒有簡便的方法來求兩個數的最大公約數呢？下面我們就一起來探討，請同學們先用列舉法找出18和30的最大公約數，再把18和30分解質因數有什么聯系？

師：好，開始。

（推導）

師：誰來說說你們組探討的結果。

……

生：18和30的最大公約數6等于18和30公有質因數2和3的乘積。

師：18分解質因數是：

生：18＝2×3×3

師：30分解質因數是：

生：30＝2×3×5

師：18和30的最大公約數就等于公有質因數2和3的乘積。

師：誰能說說為什么可以這樣算？

公約數要包含兩個公有的質因數。

生：最大公約數能整除這兩個數，所以必須包含這些公有的質因數的乘積。

師：好，18和30的公約數，既能整除18又能整除30，所以18和30的公約數不必須包含18和30公有的質因數，而最大公約數是公約數中最大的一個，它就必須包含全部公有的質因數，所以最大公約數等于全部公有質因數的乘積。