角的平分線

知識(shí)結(jié)構(gòu)

重點(diǎn)與難點(diǎn)分析：

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)定理，逆定理及它們的應(yīng)用。性質(zhì)定理和它的逆定理為證線段相等、角相等，開辟了新的途徑，簡(jiǎn)化了證明過程。

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是：a、角平分線定理和逆定理的應(yīng)用；b、這兩個(gè)定理的區(qū)別；c、寫命題的逆命題。學(xué)生對(duì)證明兩個(gè)三角形全等的問題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時(shí)，不習(xí)慣直接應(yīng)用定理，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理。對(duì)于原命題和逆命題，學(xué)生對(duì)條件和結(jié)論容易混淆，特別是沒有明顯的提示語言時(shí)，更易找不準(zhǔn)條件和結(jié)論，這就成了教學(xué)的難點(diǎn)。

教法建議：

整堂課圍繞“以復(fù)習(xí)為基礎(chǔ)，以過程為主線，以思維為中心，以訓(xùn)練為手段”開展教學(xué)。注重學(xué)生的參與度，通過提問、板演、討論等多種形式，讓學(xué)生直接參加課堂活動(dòng)，將教與學(xué)融為一體。具體說明如下：

（1）做好鋪墊

新課引入前，作一個(gè)具體畫圖的練習(xí)：已知角畫出它的角平分線；然后在平分線上任取一點(diǎn)，作出這一點(diǎn)到角兩邊的距離。這樣做一是復(fù)習(xí)了角平分線的定義和點(diǎn)到直線距離的定義；二是為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了圖形基礎(chǔ)。

（2）主動(dòng)獲取

利用上面的圖形，觀察這兩個(gè)距離的關(guān)系，并證明自己的結(jié)論。對(duì)基礎(chǔ)條件比較好的同學(xué)會(huì)很容易得出結(jié)論并能用文字?jǐn)⑹龀鰜怼��?duì)基礎(chǔ)稍差一些的同學(xué)生得出結(jié)論并不難但讓他們用文字?jǐn)⑹龀鰜砜赡懿皇呛軠?zhǔn)確，此時(shí)教師要做指導(dǎo)。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)注意讓學(xué)生通過觀察、分析、推理等活動(dòng)，主動(dòng)提出此定理。

（3）激蕩思維

在上面定理的基礎(chǔ)上，讓學(xué)找出此定理的條件與結(jié)論，并交換條件與結(jié)論得到一個(gè)新的命題，然后驗(yàn)證此命題的正確性如何?學(xué)生通過推理證明不難得到是一個(gè)真命題。此時(shí)順理成章地引出教材中的定理2。最后注意強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)定理的區(qū)別與聯(lián)系；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關(guān)系及寫出一個(gè)命題的逆命題的方法步驟。這一環(huán)節(jié)完全是由學(xué)生給出定理的文字表述及證明過程。

（4）推向深入

進(jìn)行必要的例題講解，然后進(jìn)行有層次階梯性訓(xùn)練，以達(dá)到熟練地運(yùn)用定理證明有關(guān)問題。教學(xué)時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生分析問題解決問題的思考方法。同時(shí)讓學(xué)生總結(jié)積累證明線段相等、角相等的常見方法。

教學(xué)目標(biāo) ：

1、知識(shí)目標(biāo)：

（1）掌握角平分線的性質(zhì)定理和逆定理；

（2）能夠運(yùn)用性質(zhì)定理和逆定理證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等；

（3）能夠判定兩個(gè)命題是否為互逆命題，并能寫出一個(gè)命題的逆命題.

2、能力目標(biāo)：

（1）通過“判斷題”的練習(xí)，提高學(xué)生的辨析能力；

（2）通過公理的初步應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及創(chuàng)新的能力.

3、情感目標(biāo)：

（1）通過自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受；

（2）通過知識(shí)的縱橫遷移感受數(shù)學(xué)的辯證特征。

教學(xué)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理，逆定理及它們的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn) ：a、角平分線定理和逆定理的應(yīng)用；b、這兩個(gè)定理的區(qū)別；c、寫命題的逆命題。。

教學(xué)用具：直尺，微機(jī)

教學(xué)方法：談話法

教學(xué)過程 ：

1、新課引入

投影顯示

問題：（1）畫一個(gè)；

（2）在這條平分線上任取一點(diǎn)P，標(biāo)出P點(diǎn)到角兩邊的距離。

（3）說出這兩段距離的關(guān)系并證明。

2、定理的獲得

讓學(xué)生用文字語言敘述出定理的內(nèi)容

角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等。

強(qiáng)調(diào)說明：

（1）、定理的條件及結(jié)論的符號(hào)表示；

（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。使用的前提是有，關(guān)鍵是圖中是否有“垂直”。

3、運(yùn)用逆向思維，導(dǎo)出定理的逆定理

問題：將定理的條件與結(jié)論“換位”得到一個(gè)新命題，說出這個(gè)新命題的內(nèi)容，并判斷命題是真命題還是假命題？學(xué)生分析、討論用文字?jǐn)⑹鰞?nèi)容，老師作必要的提示。

逆定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)上。

強(qiáng)調(diào)：a逆定理的作用：證明角相等

b、二定理的區(qū)別與聯(lián)系：性質(zhì)定理說明了角平分線上點(diǎn)的純粹性，即：只要是角平分線上的點(diǎn)，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點(diǎn)，都一定在角平分線上，而絕不會(huì)漏掉一個(gè)。實(shí)際應(yīng)用中，前者用來證明線段相等，后者用來證明角相等（角平分線）

4、原命題與逆命題

a、概念

b、寫出互逆命題的關(guān)鍵。

c、原使命與逆使命的真假性并無一定的依存關(guān)系。

5、定理的應(yīng)用(投影四個(gè)例題)
例1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

學(xué)生先分析，教師巡視并適當(dāng)點(diǎn)撥。

投影顯示學(xué)生的證明過程，師生共同糾正補(bǔ)充完善。

投影規(guī)范的書寫格式:

（見書中例題）

此題設(shè)想：（1）語言要規(guī)范。例“過點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F”這一段話一定要在證明中寫出。

（2）幾何證明中，常見“同理”二字，講清“同理”適用的條件以免以后亂用。

例2、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點(diǎn)P.

求證：P在∠A的平分線上

證明：（略）

設(shè)想：（1）證明“點(diǎn)在線上”這類問題的解決方法

（2）“一般解題方法”的運(yùn)用

（3）投影顯示學(xué)生的書寫步驟，檢查學(xué)生數(shù)學(xué)語言是否規(guī)范。

例3、寫出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題

（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

（2）對(duì)頂角相等；

（3）如果，那么；

（4）直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

例4、已知：如圖3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點(diǎn)

求證：∠BDP＝∠CDP

證明：（略）

設(shè)想：一般解題方法的教學(xué)。

6、課堂小結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

(1)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理；

(2)二定理的關(guān)系；

(3)一般解題方法

讓學(xué)生自由表述，其它學(xué)生補(bǔ)充，自己將知識(shí)系統(tǒng)化，以自己的方式進(jìn)行建構(gòu)。

5、布置作業(yè) ：

(a)書面作業(yè) P80＃9

(b)思考題：

(1)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

求證：∠A+∠C＝

（2）求證三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。

板書設(shè)計(jì) ：

探究活動(dòng)

如圖，公路南有一學(xué)校在鐵路的東側(cè)，到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且與兩路交叉處O的距離為400米，在圖上標(biāo)出學(xué)校的位置，并說明理由（比例尺1：10000）。

提示：解決這類問題的方法是把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)解決。

解：把公路、鐵路看作兩條相交直線，畫出它們交，在上，從頂點(diǎn)量出表示實(shí)際400米長(zhǎng)的線段便可確定學(xué)校的位置。表示實(shí)際400米長(zhǎng)的線段為：0.04米＝4cm