角的平分線（精選11篇）

角的平分線 篇1

　　知識結構

　　重點與難點分析：

　　本節內容的重點是角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。性質定理和它的逆定理為證線段相等、角相等，開辟了新的途徑，簡化了證明過程。

　　本節內容的難點是：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。學生對證明兩個三角形全等的問題已經很熟悉了，所以證題時，不習慣直接應用定理，仍然去找全等三角形，結果相當于重新證明了一次定理。對于原命題和逆命題，學生對條件和結論容易混淆，特別是沒有明顯的提示語言時，更易找不準條件和結論，這就成了教學的難點。

　　教法建議：

　　整堂課圍繞“以復習為基礎，以過程為主線，以思維為中心，以訓練為手段”開展教學。注重學生的參與度，通過提問、板演、討論等多種形式，讓學生直接參加課堂活動，將教與學融為一體。具體說明如下：

　　（1）做好鋪墊

　　新課引入前，作一個具體畫圖的練習：已知角畫出它的角平分線；然后在平分線上任取一點，作出這一點到角兩邊的距離。這樣做一是復習了角平分線的定義和點到直線距離的定義；二是為本節課的學習奠定了圖形基礎。

　　（2）主動獲取

　　利用上面的圖形，觀察這兩個距離的關系，并證明自己的結論。對基礎條件比較好的同學會很容易得出結論并能用文字敘述出來。對基礎稍差一些的同學生得出結論并不難但讓他們用文字敘述出來可能不是很準確，此時教師要做指導。這一環節的教學注意讓學生通過觀察、分析、推理等活動，主動提出此定理。

　　（3）激蕩思維

　　在上面定理的基礎上，讓學找出此定理的條件與結論，并交換條件與結論得到一個新的命題，然后驗證此命題的正確性如何?學生通過推理證明不難得到是一個真命題。此時順理成章地引出教材中的定理2。最后注意強調：兩個定理的區別與聯系；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關系及寫出一個命題的逆命題的方法步驟。這一環節完全是由學生給出定理的文字表述及證明過程。

　　（4）推向深入

　　進行必要的例題講解，然后進行有層次階梯性訓練，以達到熟練地運用定理證明有關問題。教學時，要注意引導學生分析問題解決問題的思考方法。同時讓學生總結積累證明線段相等、角相等的常見方法。

　　教學目標 ：

　　1、知識目標：

　　（1）掌握角平分線的性質定理和逆定理；

　　（2）能夠運用性質定理和逆定理證明兩個角相等或兩條線段相等；

　　（3）能夠判定兩個命題是否為互逆命題，并能寫出一個命題的逆命題.

　　2、能力目標：

　　（1）通過“判斷題”的練習，提高學生的辨析能力；

　　（2）通過公理的初步應用，培養學生的邏輯推理能力及創新的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征。

　　教學重點：角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。

　　教學難點 ：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。。

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：談話法

　　教學過程 ：

　　1、新課引入

　　投影顯示

　　問題：（1）畫一個；

　　（2）在這條平分線上任取一點P，標出P點到角兩邊的距離。

　　（3）說出這兩段距離的關系并證明。

　　2、定理的獲得

　　讓學生用文字語言敘述出定理的內容

　　角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角兩邊距離相等。

　　強調說明：

　　（1）、定理的條件及結論的符號表示；

　　（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。使用的前提是有，關鍵是圖中是否有“垂直”。

　　3、運用逆向思維，導出定理的逆定理

　　問題：將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，并判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論用文字敘述內容，老師作必要的提示。

　　逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個上。

　　強調：a逆定理的作用：證明角相等

　　b、二定理的區別與聯系：性質定理說明了角平分線上點的純粹性，即：只要是角平分線上的點，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在角平分線上，而絕不會漏掉一個。實際應用中，前者用來證明線段相等，后者用來證明角相等（角平分線）

　　4、原命題與逆命題

　　a、概念

　　b、寫出互逆命題的關鍵。

　　c、原使命與逆使命的真假性并無一定的依存關系。

　　5、定理的應用(投影四個例題)

　　例1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

　　求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

　　學生先分析，教師巡視并適當點撥。

　　投影顯示學生的證明過程，師生共同糾正補充完善。

　　投影規范的書寫格式:

　　（見書中例題）

　　此題設想：（1）語言要規范。例“過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F”這一段話一定要在證明中寫出。

　　（2）幾何證明中，常見“同理”二字，講清“同理”適用的條件以免以后亂用。

　　例2、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點P.

　　求證：P在∠A的平分線上

　　證明：（略）

　　設想：（1）證明“點在線上”這類問題的解決方法

　　（2）“一般解題方法”的運用

　　（3）投影顯示學生的書寫步驟，檢查學生數學語言是否規范。

　　例3、寫出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題

　　（1）全等三角形的對應角相等；

　　（2）對頂角相等；

　　（3）如果，那么；

　　（4）直角三角形的兩個銳角互余.

　　例4、已知：如圖3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點

　　求證：∠BDP＝∠CDP

　　證明：（略）

　　設想：一般解題方法的教學。

　　6、課堂小結：教師引導學生總結

　　(1)角平分線的性質定理及逆定理；

　　(2)二定理的關系；

　　(3)一般解題方法

　　讓學生自由表述，其它學生補充，自己將知識系統化，以自己的方式進行建構。

　　5、布置作業 ：

　　(a)書面作業 P80＃9

　　(b)思考題：

　　(1)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

　　求證：∠A+∠C＝

　　（2）求證三角形的三條內角平分線交于一點。

　　板書設計 ：

　　探究活動

　　如圖，公路南有一學校在鐵路的東側，到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且與兩路交叉處O的距離為400米，在圖上標出學校的位置，并說明理由（比例尺1：10000）。

　　提示：解決這類問題的方法是把實際應用問題轉化為數學問題，然后用數學知識解決。

　　解：把公路、鐵路看作兩條相交直線，畫出它們交，在上，從頂點量出表示實際400米長的線段便可確定學校的位置。表示實際400米長的線段為：0.04米＝4cm

角的平分線 篇2

　　知識結構

　　重點與難點分析：

　　本節內容的重點是角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。性質定理和它的逆定理為證線段相等、角相等，開辟了新的途徑，簡化了證明過程。

　　本節內容的難點是：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。學生對證明兩個三角形全等的問題已經很熟悉了，所以證題時，不習慣直接應用定理，仍然去找全等三角形，結果相當于重新證明了一次定理。對于原命題和逆命題，學生對條件和結論容易混淆，特別是沒有明顯的提示語言時，更易找不準條件和結論，這就成了教學的難點。

　　教法建議：

　　整堂課圍繞“以復習為基礎，以過程為主線，以思維為中心，以訓練為手段”開展教學。注重學生的參與度，通過提問、板演、討論等多種形式，讓學生直接參加課堂活動，將教與學融為一體。具體說明如下：

　　（1）做好鋪墊

　　新課引入前，作一個具體畫圖的練習：已知角畫出它的角平分線；然后在平分線上任取一點，作出這一點到角兩邊的距離。這樣做一是復習了角平分線的定義和點到直線距離的定義；二是為本節課的學習奠定了圖形基礎。

　　（2）主動獲取

　　利用上面的圖形，觀察這兩個距離的關系，并證明自己的結論。對基礎條件比較好的同學會很容易得出結論并能用文字敘述出來。對基礎稍差一些的同學生得出結論并不難但讓他們用文字敘述出來可能不是很準確，此時教師要做指導。這一環節的教學注意讓學生通過觀察、分析、推理等活動，主動提出此定理。

　　（3）激蕩思維

　　在上面定理的基礎上，讓學找出此定理的條件與結論，并交換條件與結論得到一個新的命題，然后驗證此命題的正確性如何?學生通過推理證明不難得到是一個真命題。此時順理成章地引出教材中的定理2。最后注意強調：兩個定理的區別與聯系；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關系及寫出一個命題的逆命題的方法步驟。這一環節完全是由學生給出定理的文字表述及證明過程。

　　（4）推向深入

　　進行必要的例題講解，然后進行有層次階梯性訓練，以達到熟練地運用定理證明有關問題。教學時，要注意引導學生分析問題解決問題的思考方法。同時讓學生總結積累證明線段相等、角相等的常見方法。

　　教學目標：

　　1、知識目標：

　　（1）掌握角平分線的性質定理和逆定理；

　　（2）能夠運用性質定理和逆定理證明兩個角相等或兩條線段相等；

　　（3）能夠判定兩個命題是否為互逆命題，并能寫出一個命題的逆命題.

　　2、能力目標：

　　（1）通過“判斷題”的練習，提高學生的辨析能力；

　　（2）通過公理的初步應用，培養學生的邏輯推理能力及創新的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征。

　　教學重點：角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。

　　教學難點：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。。

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：談話法

　　教學過程：

　　1、新課引入

　　投影顯示

　　問題：（1）畫一個；

　　（2）在這條平分線上任取一點P，標出P點到角兩邊的距離。

　　（3）說出這兩段距離的關系并證明。

　　2、定理的獲得

　　讓學生用文字語言敘述出定理的內容

　　角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角兩邊距離相等。

　　強調說明：

　　（1）、定理的條件及結論的符號表示；

　　（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。使用的前提是有，關鍵是圖中是否有“垂直”。

　　3、運用逆向思維，導出定理的逆定理

　　問題：將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，并判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論用文字敘述內容，老師作必要的提示。

　　逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個上。

　　強調：a逆定理的作用：證明角相等

　　b、二定理的區別與聯系：性質定理說明了角平分線上點的純粹性，即：只要是角平分線上的點，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在角平分線上，而絕不會漏掉一個。實際應用中，前者用來證明線段相等，后者用來證明角相等（角平分線）

　　4、原命題與逆命題

　　a、概念

　　b、寫出互逆命題的關鍵。

　　c、原使命與逆使命的真假性并無一定的依存關系。

　　5、定理的應用(投影四個例題)

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角的平分線 篇3

　　知識結構

　　重點與難點分析：

　　本節內容的重點是角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。性質定理和它的逆定理為證線段相等、角相等，開辟了新的途徑，簡化了證明過程。

　　本節內容的難點是：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。學生對證明兩個三角形全等的問題已經很熟悉了，所以證題時，不習慣直接應用定理，仍然去找全等三角形，結果相當于重新證明了一次定理。對于原命題和逆命題，學生對條件和結論容易混淆，特別是沒有明顯的提示語言時，更易找不準條件和結論，這就成了教學的難點。

　　教法建議：

　　整堂課圍繞“以復習為基礎，以過程為主線，以思維為中心，以訓練為手段”開展教學。注重學生的參與度，通過提問、板演、討論等多種形式，讓學生直接參加課堂活動，將教與學融為一體。具體說明如下：

　　（1）做好鋪墊

　　新課引入前，作一個具體畫圖的練習：已知角畫出它的角平分線；然后在平分線上任取一點，作出這一點到角兩邊的距離。這樣做一是復習了角平分線的定義和點到直線距離的定義；二是為本節課的學習奠定了圖形基礎。

　　（2）主動獲取

　　利用上面的圖形，觀察這兩個距離的關系，并證明自己的結論。對基礎條件比較好的同學會很容易得出結論并能用文字敘述出來。對基礎稍差一些的同學生得出結論并不難但讓他們用文字敘述出來可能不是很準確，此時教師要做指導。這一環節的教學注意讓學生通過觀察、分析、推理等活動，主動提出此定理。

　　（3）激蕩思維

　　在上面定理的基礎上，讓學找出此定理的條件與結論，并交換條件與結論得到一個新的命題，然后驗證此命題的正確性如何?學生通過推理證明不難得到是一個真命題。此時順理成章地引出教材中的定理2。最后注意強調：兩個定理的區別與聯系；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關系及寫出一個命題的逆命題的方法步驟。這一環節完全是由學生給出定理的文字表述及證明過程。

　　（4）推向深入

　　進行必要的例題講解，然后進行有層次階梯性訓練，以達到熟練地運用定理證明有關問題。教學時，要注意引導學生分析問題解決問題的思考方法。同時讓學生總結積累證明線段相等、角相等的常見方法。

　　教學目標 ：

　　1、知識目標：

　　（1）掌握角平分線的性質定理和逆定理；

　　（2）能夠運用性質定理和逆定理證明兩個角相等或兩條線段相等；

　　（3）能夠判定兩個命題是否為互逆命題，并能寫出一個命題的逆命題.

　　2、能力目標：

　　（1）通過“判斷題”的練習，提高學生的辨析能力；

　　（2）通過公理的初步應用，培養學生的邏輯推理能力及創新的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征。

　　教學重點：角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。

　　教學難點 ：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。。

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：談話法

　　教學過程 ：

　　1、新課引入

　　投影顯示

　　問題：（1）畫一個；

　　（2）在這條平分線上任取一點P，標出P點到角兩邊的距離。

　　（3）說出這兩段距離的關系并證明。

　　2、定理的獲得

　　讓學生用文字語言敘述出定理的內容

　　角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角兩邊距離相等。

　　強調說明：

　　（1）、定理的條件及結論的符號表示；

　　（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。使用的前提是有，關鍵是圖中是否有“垂直”。

　　3、運用逆向思維，導出定理的逆定理

　　問題：將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，并判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論用文字敘述內容，老師作必要的提示。

　　逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個上。

　　強調：a逆定理的作用：證明角相等

　　b、二定理的區別與聯系：性質定理說明了角平分線上點的純粹性，即：只要是角平分線上的點，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在角平分線上，而絕不會漏掉一個。實際應用中，前者用來證明線段相等，后者用來證明角相等（角平分線）

　　4、原命題與逆命題

　　a、概念

　　b、寫出互逆命題的關鍵。

　　c、原使命與逆使命的真假性并無一定的依存關系。

　　5、定理的應用(投影四個例題)

　　例1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

　　求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

　　學生先分析，教師巡視并適當點撥。

　　投影顯示學生的證明過程，師生共同糾正補充完善。

　　投影規范的書寫格式:

　　（見書中例題）

　　此題設想：（1）語言要規范。例“過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F”這一段話一定要在證明中寫出。

　　（2）幾何證明中，常見“同理”二字，講清“同理”適用的條件以免以后亂用。

　　例2、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點P.

　　求證：P在∠A的平分線上

　　證明：（略）

　　設想：（1）證明“點在線上”這類問題的解決方法

　　（2）“一般解題方法”的運用

　　（3）投影顯示學生的書寫步驟，檢查學生數學語言是否規范。

　　例3、寫出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題

　　（1）全等三角形的對應角相等；

　　（2）對頂角相等；

　　（3）如果，那么；

　　（4）直角三角形的兩個銳角互余.

　　例4、已知：如圖3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點

　　求證：∠BDP＝∠CDP

　　證明：（略）

　　設想：一般解題方法的教學。

　　6、課堂小結：教師引導學生總結

　　(1)角平分線的性質定理及逆定理；

　　(2)二定理的關系；

　　(3)一般解題方法

　　讓學生自由表述，其它學生補充，自己將知識系統化，以自己的方式進行建構。

　　5、布置作業 ：

　　(a)書面作業 P80＃9

　　(b)思考題：

　　(1)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

　　求證：∠A+∠C＝

　　（2）求證三角形的三條內角平分線交于一點。

　　板書設計 ：

　　探究活動

　　如圖，公路南有一學校在鐵路的東側，到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且與兩路交叉處O的距離為400米，在圖上標出學校的位置，并說明理由（比例尺1：10000）。

　　提示：解決這類問題的方法是把實際應用問題轉化為數學問題，然后用數學知識解決。

　　解：把公路、鐵路看作兩條相交直線，畫出它們交，在上，從頂點量出表示實際400米長的線段便可確定學校的位置。表示實際400米長的線段為：0.04米＝4cm

角的平分線 篇4

　　知識結構

　　重點與難點分析：

　　本節內容的重點是角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。性質定理和它的逆定理為證線段相等、角相等，開辟了新的途徑，簡化了證明過程。

　　本節內容的難點是：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。學生對證明兩個三角形全等的問題已經很熟悉了，所以證題時，不習慣直接應用定理，仍然去找全等三角形，結果相當于重新證明了一次定理。對于原命題和逆命題，學生對條件和結論容易混淆，特別是沒有明顯的提示語言時，更易找不準條件和結論，這就成了教學的難點。

　　教法建議：

　　整堂課圍繞“以復習為基礎，以過程為主線，以思維為中心，以訓練為手段”開展教學。注重學生的參與度，通過提問、板演、討論等多種形式，讓學生直接參加課堂活動，將教與學融為一體。具體說明如下：

　　（1）做好鋪墊

　　新課引入前，作一個具體畫圖的練習：已知角畫出它的角平分線；然后在平分線上任取一點，作出這一點到角兩邊的距離。這樣做一是復習了角平分線的定義和點到直線距離的定義；二是為本節課的學習奠定了圖形基礎。

　　（2）主動獲取

　　利用上面的圖形，觀察這兩個距離的關系，并證明自己的結論。對基礎條件比較好的同學會很容易得出結論并能用文字敘述出來。對基礎稍差一些的同學生得出結論并不難但讓他們用文字敘述出來可能不是很準確，此時教師要做指導。這一環節的教學注意讓學生通過觀察、分析、推理等活動，主動提出此定理。

　　（3）激蕩思維

　　在上面定理的基礎上，讓學找出此定理的條件與結論，并交換條件與結論得到一個新的命題，然后驗證此命題的正確性如何?學生通過推理證明不難得到是一個真命題。此時順理成章地引出教材中的定理2。最后注意強調：兩個定理的區別與聯系；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關系及寫出一個命題的逆命題的方法步驟。這一環節完全是由學生給出定理的文字表述及證明過程。

　　（4）推向深入

　　進行必要的例題講解，然后進行有層次階梯性訓練，以達到熟練地運用定理證明有關問題。教學時，要注意引導學生分析問題解決問題的思考方法。同時讓學生總結積累證明線段相等、角相等的常見方法。

　　教學目標：

　　1、知識目標：

　　（1）掌握角平分線的性質定理和逆定理；

　　（2）能夠運用性質定理和逆定理證明兩個角相等或兩條線段相等；

　　（3）能夠判定兩個命題是否為互逆命題，并能寫出一個命題的逆命題.

　　2、能力目標：

　　（1）通過“判斷題”的練習，提高學生的辨析能力；

　　（2）通過公理的初步應用，培養學生的邏輯推理能力及創新的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征。

　　教學重點：角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。

　　教學難點：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。。

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：談話法

　　教學過程：

　　1、新課引入

　　投影顯示

　　問題：（1）畫一個；

　　（2）在這條平分線上任取一點P，標出P點到角兩邊的距離。

　　（3）說出這兩段距離的關系并證明。

　　2、定理的獲得

　　讓學生用文字語言敘述出定理的內容

　　角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角兩邊距離相等。

　　強調說明：

　　（1）、定理的條件及結論的符號表示；

　　（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。使用的前提是有，關鍵是圖中是否有“垂直”。

　　3、運用逆向思維，導出定理的逆定理

　　問題：將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，并判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論用文字敘述內容，老師作必要的提示。

　　逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個上。

　　強調：a逆定理的作用：證明角相等

　　b、二定理的區別與聯系：性質定理說明了角平分線上點的純粹性，即：只要是角平分線上的點，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在角平分線上，而絕不會漏掉一個。實際應用中，前者用來證明線段相等，后者用來證明角相等（角平分線）

　　4、原命題與逆命題

　　a、概念

　　b、寫出互逆命題的關鍵。

　　c、原使命與逆使命的真假性并無一定的依存關系。

　　5、定理的應用(投影四個例題)

　　例1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

　　求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

　　學生先分析，教師巡視并適當點撥。

　　投影顯示學生的證明過程，師生共同糾正補充完善。

　　投影規范的書寫格式:

　　（見書中例題）

　　此題設想：（1）語言要規范。例“過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F”這一段話一定要在證明中寫出。

　　（2）幾何證明中，常見“同理”二字，講清“同理”適用的條件以免以后亂用。

　　例2、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點P.

　　求證：P在∠A的平分線上

　　證明：（略）

　　設想：（1）證明“點在線上”這類問題的解決方法

　　（2）“一般解題方法”的運用

　　（3）投影顯示學生的書寫步驟，檢查學生數學語言是否規范。

　　例3、寫出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題

　　（1）全等三角形的對應角相等；

　　（2）對頂角相等；

　　（3）如果，那么；

　　（4）直角三角形的兩個銳角互余.

　　例4、已知：如圖3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點

　　求證：∠BDP＝∠CDP

　　證明：（略）

　　設想：一般解題方法的教學。

　　6、課堂小結：教師引導學生總結

　　(1)角平分線的性質定理及逆定理；

　　(2)二定理的關系；

　　(3)一般解題方法

　　讓學生自由表述，其它學生補充，自己將知識系統化，以自己的方式進行建構。

　　5、布置作業 ：

　　(a)書面作業 P80＃9

　　(b)思考題：

　　(1)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

　　求證：∠A+∠C＝

　　（2）求證三角形的三條內角平分線交于一點。

　　板書設計：

　　探究活動

　　如圖，公路南有一學校在鐵路的東側，到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且與兩路交叉處O的距離為400米，在圖上標出學校的位置，并說明理由（比例尺1：10000）。

　　提示：解決這類問題的方法是把實際應用問題轉化為數學問題，然后用數學知識解決。

　　解：把公路、鐵路看作兩條相交直線，畫出它們交，在上，從頂點量出表示實際400米長的線段便可確定學校的位置。表示實際400米長的線段為：0.04米＝4cm

角的平分線 篇5

　　知識結構

　　重點與難點分析：

　　本節內容的重點是角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。性質定理和它的逆定理為證線段相等、角相等，開辟了新的途徑，簡化了證明過程。

　　本節內容的難點是：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。學生對證明兩個三角形全等的問題已經很熟悉了，所以證題時，不習慣直接應用定理，仍然去找全等三角形，結果相當于重新證明了一次定理。對于原命題和逆命題，學生對條件和結論容易混淆，特別是沒有明顯的提示語言時，更易找不準條件和結論，這就成了教學的難點。

　　教法建議：

　　整堂課圍繞“以復習為基礎，以過程為主線，以思維為中心，以訓練為手段”開展教學。注重學生的參與度，通過提問、板演、討論等多種形式，讓學生直接參加課堂活動，將教與學融為一體。具體說明如下：

　　（1）做好鋪墊

　　新課引入前，作一個具體畫圖的練習：已知角畫出它的角平分線；然后在平分線上任取一點，作出這一點到角兩邊的距離。這樣做一是復習了角平分線的定義和點到直線距離的定義；二是為本節課的學習奠定了圖形基礎。

　　（2）主動獲取

　　利用上面的圖形，觀察這兩個距離的關系，并證明自己的結論。對基礎條件比較好的同學會很容易得出結論并能用文字敘述出來。對基礎稍差一些的同學生得出結論并不難但讓他們用文字敘述出來可能不是很準確，此時教師要做指導。這一環節的教學注意讓學生通過觀察、分析、推理等活動，主動提出此定理。

　　（3）激蕩思維

　　在上面定理的基礎上，讓學找出此定理的條件與結論，并交換條件與結論得到一個新的命題，然后驗證此命題的正確性如何?學生通過推理證明不難得到是一個真命題。此時順理成章地引出教材中的定理2。最后注意強調：兩個定理的區別與聯系；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關系及寫出一個命題的逆命題的方法步驟。這一環節完全是由學生給出定理的文字表述及證明過程。

　　（4）推向深入

　　進行必要的例題講解，然后進行有層次階梯性訓練，以達到熟練地運用定理證明有關問題。教學時，要注意引導學生分析問題解決問題的思考方法。同時讓學生總結積累證明線段相等、角相等的常見方法。

　　教學目標 ：

　　1、知識目標：

　　（1）掌握角平分線的性質定理和逆定理；

　　（2）能夠運用性質定理和逆定理證明兩個角相等或兩條線段相等；

　　（3）能夠判定兩個命題是否為互逆命題，并能寫出一個命題的逆命題.

　　2、能力目標：

　　（1）通過“判斷題”的練習，提高學生的辨析能力；

　　（2）通過公理的初步應用，培養學生的邏輯推理能力及創新的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征。

　　教學重點：角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。

　　教學難點 ：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。。

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：談話法

　　教學過程 ：

　　1、新課引入

　　投影顯示

　　問題：（1）畫一個；

　　（2）在這條平分線上任取一點P，標出P點到角兩邊的距離。

　　（3）說出這兩段距離的關系并證明。

　　2、定理的獲得

　　讓學生用文字語言敘述出定理的內容

　　角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角兩邊距離相等。

　　強調說明：

　　（1）、定理的條件及結論的符號表示；

　　（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。使用的前提是有，關鍵是圖中是否有“垂直”。

　　3、運用逆向思維，導出定理的逆定理

　　問題：將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，并判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論用文字敘述內容，老師作必要的提示。

　　逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個上。

　　強調：a逆定理的作用：證明角相等

　　b、二定理的區別與聯系：性質定理說明了角平分線上點的純粹性，即：只要是角平分線上的點，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在角平分線上，而絕不會漏掉一個。實際應用中，前者用來證明線段相等，后者用來證明角相等（角平分線）

　　4、原命題與逆命題

　　a、概念

　　b、寫出互逆命題的關鍵。

　　c、原使命與逆使命的真假性并無一定的依存關系。

　　5、定理的應用(投影四個例題)

　　例1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

　　求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

　　學生先分析，教師巡視并適當點撥。

　　投影顯示學生的證明過程，師生共同糾正補充完善。

　　投影規范的書寫格式:

　　（見書中例題）

　　此題設想：（1）語言要規范。例“過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F”這一段話一定要在證明中寫出。

　　（2）幾何證明中，常見“同理”二字，講清“同理”適用的條件以免以后亂用。

　　例2、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點P.

　　求證：P在∠A的平分線上

　　證明：（略）

　　設想：（1）證明“點在線上”這類問題的解決方法

　　（2）“一般解題方法”的運用

　　（3）投影顯示學生的書寫步驟，檢查學生數學語言是否規范。

　　例3、寫出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題

　　（1）全等三角形的對應角相等；

　　（2）對頂角相等；

　　（3）如果，那么；

　　（4）直角三角形的兩個銳角互余.

　　例4、已知：如圖3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點

　　求證：∠BDP＝∠CDP

　　證明：（略）

　　設想：一般解題方法的教學。

　　6、課堂小結：教師引導學生總結

　　(1)角平分線的性質定理及逆定理；

　　(2)二定理的關系；

　　(3)一般解題方法

　　讓學生自由表述，其它學生補充，自己將知識系統化，以自己的方式進行建構。

　　5、布置作業 ：

　　(a)書面作業 P80＃9

　　(b)思考題：

　　(1)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

　　求證：∠A+∠C＝

　　（2）求證三角形的三條內角平分線交于一點。

　　板書設計 ：

　　探究活動

　　如圖，公路南有一學校在鐵路的東側，到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且與兩路交叉處O的距離為400米，在圖上標出學校的位置，并說明理由（比例尺1：10000）。

　　提示：解決這類問題的方法是把實際應用問題轉化為數學問題，然后用數學知識解決。

　　解：把公路、鐵路看作兩條相交直線，畫出它們交，在上，從頂點量出表示實際400米長的線段便可確定學校的位置。表示實際400米長的線段為：0.04米＝4cm

角的平分線 篇6

　　教學目標 

　　1.掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用.

　　2.理解原命題和逆命題的概念和關系，會找一個簡單命題的逆命題.

　　3.滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

　　教學重點和難點

　　角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點.

　　性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點.

　　教學過程 設計

　　一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明

　　1，復習引入課題.

　　（1）提問關于直角三角形全等的判定定理.

　　（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角

　　平分線OC.

　　2.畫圖探索角平分線的性質并證明之.

　　（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一

　　點P，并分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段

　　PD，PE.

　　（2）這兩個距離的大小之間有什么關系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理.

　　（3）引導學生敘述角平分線的性質定理（定理1），分析定理的條件、結論，并根據相應圖形寫出表達式.

　　3.逆向思維探求角平分線的判定定理.

　　（1）讓學生將定理1的條件、結論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理.

　　（2）教師隨后強調定理1與定理2的區別：已知角平分線用性質為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2.

　　（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程.

　　4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合.

　　（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）.

　　（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）.

　　由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

　　二、應用舉例、變式練習

　　練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D

　　PE⊥OB于E.∴---------（角平分線的性質定理）.

　　（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

　　例1已知：如圖3－87（a），     ABC的角平分線BD和CE交于F.

　　（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

　　（2）求證：AF平分∠BAC；

　　（3）求證：三角形中三條內角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

　　（4）怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點？

　　（5）若將“兩內角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

　　說明：

　　（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的.

　　（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

　　（3）引導學生對題目的條件進行類比聯想（第（5）題），觀察結論如何變化，培養發散思維能力.

　　練習2已知△ABC，在△ABC內求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等.

　　練習 3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC.求證：點 C在∠DAB的平分線上.

　　例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D.求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

　　分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD.這樣處理，可避免證明兩個三角形全等.

　　練習4  課本第54頁的練習.

　　說明：訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力.

　　三、互逆命題，互逆定理的定義及應用

　　1.互逆命題、互逆定理的定義.

　　教師引導學生分析角平分線的性質，判定定理的題設、結論，使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子.教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題.

　　2.會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題.

　　例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

　　（1）兩直線平行，同位角相等；

　　（2）直角三角形的兩銳角互余；

　　（3）對頂角相等；

　　（4）全等三角形的對應角相等；

　　（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

　　（6）等腰三角形的兩個底角相等；

　　（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

　　說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”.

　　3.理解互逆命題、互逆定理的有關結論.

　　例4  判斷下列命題是否正確：

　　（1）錯誤的命題沒有逆命題；

　　（2）每個命題都有逆命題；

　　（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

　　（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

　　（5）每一個定理都一定有逆定理.

　　通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義.

　　四、師生共同小結

　　1.角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什么？

　　2.三角形的角平分線有什么性質？怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？

　　3.怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

　　五、作業 

　　課本第55頁第3，5，6，7，8，9題.

　　課堂教學設計說明

　　本教學設計需2課時完成.

　　角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養能力，發揮學生學習的主動性

角的平分線 篇7

　　3.9角的平分線

　　教學目標 

　　1.掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用.

　　2.理解原命題和逆命題的概念和關系，會找一個簡單命題的逆命題.

　　3.滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

　　教學重點和難點

　　角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點.

　　性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點.

　　教學過程 設計

　　一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明

　　1，復習引入課題.

　　（1）提問關于直角三角形全等的判定定理.

　　（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角

　　平分線OC.

　　2.畫圖探索角平分線的性質并證明之.

　　（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一

　　點P，并分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段

　　PD，PE.

　　（2）這兩個距離的大小之間有什么關系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理.

　　（3）引導學生敘述角平分線的性質定理（定理1），分析定理的條件、結論，并根據相應圖形寫出表達式.

　　3.逆向思維探求角平分線的判定定理.

　　（1）讓學生將定理1的條件、結論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理.

　　（2）教師隨后強調定理1與定理2的區別：已知角平分線用性質為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2.

　　（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程.

　　4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合.

　　（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）.

　　（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）.

　　由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

　　二、應用舉例、變式練習

　　練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D

　　PE⊥OB于E.∴---------（角平分線的性質定理）.

　　（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

　　例1已知：如圖3－87（a），     ABC的角平分線BD和CE交于F.

　　（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

　　（2）求證：AF平分∠BAC；

　　（3）求證：三角形中三條內角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

　　（4）怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點？

　　（5）若將“兩內角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

　　說明：

　　（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的.

　　（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

　　（3）引導學生對題目的條件進行類比聯想（第（5）題），觀察結論如何變化，培養發散思維能力.

　　練習2已知△ABC，在△ABC內求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等.

　　練習 3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC.求證：點 C在∠DAB的平分線上.

　　例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D.求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

　　分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD.這樣處理，可避免證明兩個三角形全等.

　　練習4  課本第54頁的練習.

　　說明：訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力.

　　三、互逆命題，互逆定理的定義及應用

　　1.互逆命題、互逆定理的定義.

　　教師引導學生分析角平分線的性質，判定定理的題設、結論，使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子.教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題.

　　2.會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題.

　　例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

　　（1）兩直線平行，同位角相等；

　　（2）直角三角形的兩銳角互余；

　　（3）對頂角相等；

　　（4）全等三角形的對應角相等；

　　（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

　　（6）等腰三角形的兩個底角相等；

　　（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

　　說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”.

　　3.理解互逆命題、互逆定理的有關結論.

　　例4  判斷下列命題是否正確：

　　（1）錯誤的命題沒有逆命題；

　　（2）每個命題都有逆命題；

　　（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

　　（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

　　（5）每一個定理都一定有逆定理.

　　通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義.

　　四、師生共同小結

　　1.角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什么？

　　2.三角形的角平分線有什么性質？怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？

　　3.怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

　　五、作業 

　　課本第55頁第3，5，6，7，8，9題.

　　課堂教學設計說明

　　本教學設計需2課時完成.

　　角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養能力，發揮學生學習的主動性.

　　3.9角的平分線

　　教學目標 

　　1.掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用.

　　2.理解原命題和逆命題的概念和關系，會找一個簡單命題的逆命題.

　　3.滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

　　教學重點和難點

　　角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點.

　　性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點.

　　教學過程 設計

　　一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明

　　1，復習引入課題.

　　（1）提問關于直角三角形全等的判定定理.

　　（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角

　　平分線OC.

　　2.畫圖探索角平分線的性質并證明之.

　　（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一

　　點P，并分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段

　　PD，PE.

　　（2）這兩個距離的大小之間有什么關系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理.

　　（3）引導學生敘述角平分線的性質定理（定理1），分析定理的條件、結論，并根據相應圖形寫出表達式.

　　3.逆向思維探求角平分線的判定定理.

　　（1）讓學生將定理1的條件、結論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理.

　　（2）教師隨后強調定理1與定理2的區別：已知角平分線用性質為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2.

　　（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程.

　　4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合.

　　（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）.

　　（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）.

　　由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

　　二、應用舉例、變式練習

　　練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D

　　PE⊥OB于E.∴---------（角平分線的性質定理）.

　　（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

　　例1已知：如圖3－87（a），     ABC的角平分線BD和CE交于F.

　　（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

　　（2）求證：AF平分∠BAC；

　　（3）求證：三角形中三條內角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

　　（4）怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點？

　　（5）若將“兩內角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

　　說明：

　　（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的.

　　（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

　　（3）引導學生對題目的條件進行類比聯想（第（5）題），觀察結論如何變化，培養發散思維能力.

　　練習2已知△ABC，在△ABC內求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等.

　　練習 3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC.求證：點 C在∠DAB的平分線上.

　　例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D.求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

　　分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD.這樣處理，可避免證明兩個三角形全等.

　　練習4  課本第54頁的練習.

　　說明：訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力.

　　三、互逆命題，互逆定理的定義及應用

　　1.互逆命題、互逆定理的定義.

　　教師引導學生分析角平分線的性質，判定定理的題設、結論，使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子.教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題.

　　2.會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題.

　　例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

　　（1）兩直線平行，同位角相等；

　　（2）直角三角形的兩銳角互余；

　　（3）對頂角相等；

　　（4）全等三角形的對應角相等；

　　（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

　　（6）等腰三角形的兩個底角相等；

　　（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

　　說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”.

　　3.理解互逆命題、互逆定理的有關結論.

　　例4  判斷下列命題是否正確：

　　（1）錯誤的命題沒有逆命題；

　　（2）每個命題都有逆命題；

　　（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

　　（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

　　（5）每一個定理都一定有逆定理.

　　通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義.

　　四、師生共同小結

　　1.角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什么？

　　2.三角形的角平分線有什么性質？怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？

　　3.怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

　　五、作業 

　　課本第55頁第3，5，6，7，8，9題.

　　課堂教學設計說明

　　本教學設計需2課時完成.

　　角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養能力，發揮學生學習的主動性.

角的平分線 篇8

　　一、教學目標

　　【知識與技能】了解角的平分線的性質,能利用三角形全等證明角的平分線的性質，會利用角的平分線的性質進行證明與計算。

　　【過程與方法】在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質的過程中,進一步發展學生的推理證明意識和能力。

　　【情感態度與價值觀】在主動參與數學活動的過程中，增強探究問題的興趣、有合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,獲得解決問題的成功體驗。

　　二、教學重難點

　　【重點】角的平分線的性質的證明及應用。

　　【難點】角的平分線的性質的探究。

　　三、教學過程

　　(一)導入新課

　　1.復習角平分線的畫法

　　2.利用PPT創設情景：

　　如圖是小明制作的風箏，他根據AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分線，你知道其中的道理嗎?

　　(二)生成新知

　　探究做一做(學生獨立完成，同組同學交流，找學生到黑板上板演.教師糾正答案)

　　如圖，將∠AOB對折，再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊)，然后展開.觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論?試著證明你的結論.

　　0011.jpg

　　∴△PDO≌△PEO(AAS)

　　∴PD=PE.

　　(三)深化新知

　　思考：角的平分線的性質在應用時應該注意什么問題?(由學生討論匯報)

　　(四)應用新知

　　1.例題：解決導入中PPT的問題

　　2.練一練：(1) 下面四個圖中,點P都在∠AOB的平分線上,則圖形_____ 中PD=PE.

　　0012.jpg

　　(五)小結作業

　　小結：通過這節課的學習，你有什么收獲?你對今天的學習還有什么疑問嗎?

　　作業：必做題，選做題，思考題：角平分線性質的逆命題并證明。

角的平分線 篇9

　　3.9角的平分線

　　教學目標 

　　1.掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用.

　　2.理解原命題和逆命題的概念和關系，會找一個簡單命題的逆命題.

　　3.滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

　　教學重點和難點

　　角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點.

　　性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點.

　　教學過程 設計

　　一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明

　　1，復習引入課題.

　　（1）提問關于直角三角形全等的判定定理.

　　（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角

　　平分線OC.

　　2.畫圖探索角平分線的性質并證明之.

　　（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一

　　點P，并分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段

　　PD，PE.

　　（2）這兩個距離的大小之間有什么關系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理.

　　（3）引導學生敘述角平分線的性質定理（定理1），分析定理的條件、結論，并根據相應圖形寫出表達式.

　　3.逆向思維探求角平分線的判定定理.

　　（1）讓學生將定理1的條件、結論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理.

　　（2）教師隨后強調定理1與定理2的區別：已知角平分線用性質為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2.

　　（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程.

　　4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合.

　　（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）.

　　（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）.

　　由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

　　二、應用舉例、變式練習

　　練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D

　　PE⊥OB于E.∴---------（角平分線的性質定理）.

　　（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

　　例1已知：如圖3－87（a），     ABC的角平分線BD和CE交于F.

　　（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

　　（2）求證：AF平分∠BAC；

　　（3）求證：三角形中三條內角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

　　（4）怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點？

　　（5）若將“兩內角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

　　說明：

　　（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的.

　　（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

　　（3）引導學生對題目的條件進行類比聯想（第（5）題），觀察結論如何變化，培養發散思維能力.

　　練習2已知△ABC，在△ABC內求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等.

　　練習 3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC.求證：點 C在∠DAB的平分線上.

　　例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D.求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

　　分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD.這樣處理，可避免證明兩個三角形全等.

　　練習4  課本第54頁的練習.

　　說明：訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力.

　　三、互逆命題，互逆定理的定義及應用

　　1.互逆命題、互逆定理的定義.

　　教師引導學生分析角平分線的性質，判定定理的題設、結論，使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子.教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題.

　　2.會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題.

　　例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

　　（1）兩直線平行，同位角相等；

　　（2）直角三角形的兩銳角互余；

　　（3）對頂角相等；

　　（4）全等三角形的對應角相等；

　　（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

　　（6）等腰三角形的兩個底角相等；

　　（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

　　說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”.

　　3.理解互逆命題、互逆定理的有關結論.

　　例4  判斷下列命題是否正確：

　　（1）錯誤的命題沒有逆命題；

　　（2）每個命題都有逆命題；

　　（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

　　（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

　　（5）每一個定理都一定有逆定理.

　　通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義.

　　四、師生共同小結

　　1.角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什么？

　　2.三角形的角平分線有什么性質？怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？

　　3.怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

　　五、作業 

　　課本第55頁第3，5，6，7，8，9題.

　　課堂教學設計說明

　　本教學設計需2課時完成.

　　角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養能力，發揮學生學習的主動性.

角的平分線 篇10

　　今天，我說課的題目是《角的平分線的性質》第一課時，下面，我從教材分析、教學內容、教學目標、學情分析、教法與學法、教學過程的設計等六個方面對我的教學設計加以說明.

　　一、教材分析

　　本節課選自新人教版教材《數學》八年級上冊第十一章第三節，是在七年級學習了角平分線的概念和前面剛學完證明直角三角形全等的基礎上進行教學的.角平分線的性質為證明線段或角相等開辟了新的途徑，簡化了證明過程，同時也是全等三角形知識的延續，又為后面角平分線的判定定理的學習奠定了基礎.因此，本節內容在數學知識體系中起到了承上啟下的作用.同時教材的安排由淺入深、由易到難、知識結構合理，符合學生的心理特點和認知規律.

　　二.教學內容

　　本節課的教學內容包括角的平分線的作法、角的平分線的性質及初步應用.

　　內容解析：

　　教材通過充分利用現實生活中的實物原型，培養學生在實際問題中建立數學模型的能力.作角的平分線是幾何作圖中的基本作圖.角的平分線的性質是全等三角形知識的延續，也是今后證明兩個角相等或證明兩條線段相等的重要依據.因此，本節內容在數學知識體系中起到了承上啟下的作用.

　　三、教學目標

　　1、基本知識：了解尺規作圖的原理及角的平分線的性質.

　　2、基本技能

　　（1）會用尺規作圖作角的平分線。

　　（2）會利用全等三角形證明角平分線的性質。

　　（3）能運用角的平分線性質定理解決簡單的幾何問題

　　3、數學思想方法：從特殊到一般

　　4、基本活動經驗：體驗從操作、測量、猜想、驗證的過程，獲得驗證幾何命題正確性的一般過程的活動經驗

　　目標解析：

　　通過讓學生經歷動手操作，合作交流，自主探究等過程，培養學生用數學知識解決問題的能力和數學建模能力了解角的平分線的性質在生產，生活中的應用培養學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，激發學生應用數學的熱情.

　　四、學情分析

　　剛進入初二的學生觀察、操作、猜想能力較強，但歸納、運用數學意識的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，需要在課堂教學中進一步加強引導.根據學生的認知特點和接受水平，我把第一課時的教學重點定為：掌握角平分線的尺規作圖，理解角的平分線的性質并能初步運用，難點是角平分線的性質的探究

　　教學難點突破方法：

　　（1）利用多媒體動態顯示角平分線性質的本質內容，在學生腦海中加深印象，從而對性質定理正確使用；（2）通過對比教學讓學生選擇簡單的方法解決問題；（3）通過多媒體創設具有啟發性的問題情境，使學生在積極的思維狀態中進行學習.

　　五、教法和學法

　　本節課我堅持“教與學、知識與能力的辯證統一”和“使每個學生都得到充分發展”的原則，采用引導式探索發現法、主動式探究法、講授教學法，引導學生自主學習、合作學習和探究學習，指導學生“動手操作，合作交流，自主探究”.鼓勵學生多思、多說、多練，堅持師生間的多向交流，努力做到教法、學法的組合.

　　教學輔助手段：根據本節課的實際教學需要，我選擇多媒體PPT課件，幾何畫板軟件教學，將有關教學內容用動態的方式展示出來，讓學生能夠進行直觀地觀察，并留下清晰的印象，從而發現變化之中的不變.這樣，吸引了學生的注意力，激發了學生學習數學的興趣，有利于學生對知識點的理解和掌握.

　　六.教學過程的設計

　　活動1.創設情景

　　［教學內容1］

　　生活中有很多數學問題：

　　小明家居住在一棟居民樓的一樓，剛好位于一條暖氣和天然氣管道所成角的平分線上的P點，要從P點建兩條管道，分別與暖氣管道和天然氣管道相連.

　　問題1：怎樣修建管道最短？

　　問題2：新修的兩條管道長度有什么關系，畫來看一看.

　　［整合點1］利用多媒體渲染氣氛，激發情感.

　　教師利用多媒體展示，引領學生進入實際問題情景中，利用信息技術既生動展示問題，同時又通過圖片讓學生身臨其境般感受生活。學生動手畫圖，猜測并說出觀察到的結論.引導學生了解角的平分線有很多未知的性質需我們來解開，并板書課題.

　　［設計意圖］依據新課程理念，教師要創造性地使用教材，作為本課的第一個引例，從學生的生活出發，激發學生的學習興趣，培養學生運用數學知識，解決實際問題的意識，復習了點到直線的距離這一概念，為后續的學習作好知識上的儲備.

　　活動2.探究體驗

　　［教學內容2］

　　要研究角的平分線的性質我們必須會畫角的平分線，工人師傅常用如圖所示的簡易平分角的儀器來畫角的平分線.出示儀器模型，介紹儀器特點（有兩對邊相等），將A點放在角的頂點處，AB和AD沿角的兩邊放下，過AC畫一條射線AE，AE即為∠BAD的平分線.

　　教師繼續引導，用多媒體展示實驗過程，學生口述，用三角形全等的方法證明AE是∠BAD的平分線.

　　［設計意圖］幫助學生體驗從生產生活中分離，抽象出數學模型，并主動運用所學知識來解決問題.

　　從上面的探究中可以得到作已知角的平分線的方法.

　　［教學內容3］

　　把簡易平分角的儀器放在角的兩邊時，平分角的儀器兩邊相等，從幾何作圖角度怎么畫？BC=DC，從幾何作圖角度怎么畫？

　　教師提問，學生分組交流，歸納角的平分線的作法，口述證明角平分線的過程.

　　［設計意圖］根據畫圖過程，從實驗操作中獲得啟示，明確幾何作圖的基本思路和方法，師生交流并歸納.

　　教師先在黑板上示范作圖，再利用多媒體演示作圖過程及畫法，加深印象，并強調尺規作圖的規范性.

　　利用三角形全等證明角平分線，進一步明確命題的題設與結論，熟悉幾何證明過程.

　　［教學內容4］

　　作一個平角∠AOB的平分線OC，反向延長OC得到直線CD，請學生說出直線CD與AB的位置關系.并在此基礎上再作出一個45º的角.

　　學生獨立作圖思考，發現直線AB與CD垂直.

　　［設計意圖］通過作特殊角的平分線，讓學生掌握過直線上一點作已知直線的垂線及特殊角的方法，達到培養學生的發散思維的目的.

　　［教學內容5］

　　讓學生用紙剪一個角，把紙片對折，使角的兩邊疊合在一起，把對折后的紙片繼續折一次，折出一個直三角形（使第一次的折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕.

　　問題1：第一次的折痕和角有什么關系？為什么？

　　問題2：第二次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊有何關系，它們的長度有何關系？

　　學生動手剪紙，折疊，教師在多媒體上演示折疊過程.學生觀察思考后，在班上交流：第一次折痕是角的平分線，第二次的折痕是角平分線上的點到兩邊的距離，它們的長度相等.

　　［設計意圖］培養學生的動手操作能力和觀察能力，為下面進一步揭示角平分線的性質作好鋪墊.

　　［教學內容6］

　　如圖：按照折紙的順序畫出角及折紙形成的三條折痕.讓學生分組討論、交流，再利用幾何畫板軟件驗證結論，并用文字語言闡述得到的性質.（角的平分線上的點到角兩邊的距離相等）

　　［整合點2］利用多媒體直觀優勢，突破教學難點.

　　結合圖形寫出已知，求證，分析后寫出證明過程.教師歸納，強調定理的條件和作用.

　　教師用文字語言敘述得到的結論.引導學生結合圖形寫出已知、求證，分析后寫出證明過程，并利用實物投影展示.

　　證明后，教師強調經過證明正確的命題可作為定理.同時強調文字命題的證明步驟.

　　［設計意圖］經歷實踐→猜想→證明→歸納的過程，符合學生的認知規律，尤其是對于結論的驗證，信息技術在此體現其不可替代性，從而更利于學生的直觀體驗上升到理性思維.

　　活動3.合作交流

　　［教學內容7］

　　判斷正誤，并說明理由：

　　（1）如圖1，P在射線OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，則PE=PF.

　　（2）如圖2，P是∠AOB的平分線OC上的一點，E、F分別在OA、OB上，則PE=PF.

　　（3）如圖3，在∠AOB的平分線OC上任取一點P，若P到OA的距離為3cm，則P到OB的距離邊為3cm.

　　用多媒體展示判斷題 ，學生獨立思考完成，并請學生舉手發表見解，教師予以肯定、鼓勵.

　　［設計意圖］讓學生通過辨析來理解和鞏固角平分線的性質定理.

　　［教學內容8］

　　讓學生運用本節課所學的知識回答課前引例中的問題：

　　問題：引例中兩條管道的長度有什么關系？理由是什么？

　　再次展示引例情景，用搶答的形式請同學們舉手回答.

　　［設計意圖］運用所學性質回答課前引例中的問題，讓學生體會生活中蘊含數學知識，數學知識又能解決生活中的問題，感受數學的價值，讓人人學到有用的數學.同時利用搶答形式更好活躍課堂氣氛.

　　［教學內容9］

　　例題講解

　　例1 如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F.

　　求證：EB=FC.

　　變題1：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求證：CF=EB.

　　變題2：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.

　　［整合點3］多媒體的運用，促進了課堂教學方法與模式的變革.

　　教師用多媒體展示問題，學生觀察識圖，獨立思考，并且在小組內討論交流，找出證明思路，再鼓勵學生通過實物投影展示自己的證明過程，教師點評一題多變及一題多解.

　　［設計意圖］本組例題的解決是為突出重點、突破難點而設計的一項活動.讓學生運用性質解決數學問題，通過利用多媒體對一些邊進行變色，提醒學生直接運用定理，不要仍舊去找全等三角形.同時通過信息技術方便進行一題多解及一題多變研究，更好的拓展學生解題思路及形成知識運用能力.兩道變題同時展示，符合高效課堂要求.

　　通過學生觀察識圖、獨立思考、小組討論，培養學生合作交流的意識.

　　例2已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

　　讓學生獨立思考分析，然后交流證題思路，再通過多媒體展示一般證明過程.

　　［設計意圖］例2獨立完成，并展示.通過問題的解決，幫助學生更好的理解角平分線的性質，并達到能熟練運用的程度.

　　活動4.評價反思

　　［教學內容10］

　　1、這節課你有哪些收獲，還有什么困惑？

　　2、通過本節課你了解了哪些思考問題的方法？

　　教師讓學生暢談本節課的收獲與體會.學生歸納、梳理交流本節課所獲得的知識技能與情感體驗.

　　［設計意圖］通過引導學生自主歸納，調動學生的主動參與意識，鍛煉學生歸納概括與表達能力.

　　5.布置作業

　　［教學內容11］

　　作業，必做題：教材第22頁第1、2、3題； 選做題：教材第23頁第6題

　　教師布置作業，學生獨立完成.

　　［設計意圖］設置必做題的目的是鞏固本節課應知應會的內容，面向全體學生，人人必須完成.選做題要求學生根據個人的實際情況盡力完成，使學有余力的學生得到提高，達到“不同的人得到不同的發展”的目的.

　　（一）板書設計：

　　（二）時間安排：

　　創設情景約4分鐘，探究體驗約13分鐘，合作交流約18分鐘，評價反思約6分鐘，機動時間約4分鐘.

　　（三）教學設計說明：

　　本節課設計了四個環節，環環相扣，三個整合點，層層深入，將信息技術與教學進行有機整合，充分調動學生的自主探究與合作交流，教師注意適時的點拔引導，學生的主體地位和教師的主導作用得以充分體現，切實能夠達到發展思維、提升能力的根本目的，能夠較好地實現教學目標，也使課標理念能夠很好地得到落實.

角的平分線 篇11

　　一、內容和內容解析

　　（一）內容

　　角的平分線的性質定理的逆定理.

　　（二）內容解析

　　本節課是學生在學習了角平分線的性質的基礎上，進一步研究角平分線性質定理的逆命題是否正確.

　　教科書首先提出了一個具有實際背景的問題，在公路和鐵路的交叉區域內建一個集貿市場，學習了角平分線的性質，學生可能猜想到集貿市場應建在公路和鐵路夾角的平分線上.教科書沒有直接給出答案，而是從另一個角度引導，將角的平分線的性質的題設和結論交換位置，所得到的結論是否仍然成立？這就引出了“角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”.接著讓學生利用三角形全等證明這個結論.

　　本節課學習的內容是全等三角形知識的運用和延續，是今后學習圓的內心的基礎.

　　基于以上分析，本節課的教學重點是：角的平分線的性質定理的逆定理.

　　二、目標和目標解析

　　（一）目標

　　1.探索并證明角平分線性質定理的逆定理.

　　2.會用角平分線性質定理的逆定理解決問題.

　　（二）目標解析

　　達成目標1的標志是：學生能準確表述角平分線性質定理的逆定理的內容.能正確地寫出已知、求證，能運用三角形全等的“hl”判定方法和三角形的性質證明角平分線的性質的逆定理.

　　達成目標2的標志是：學生能利用角的平分線的性質的逆定理證明與角相等的有關簡單問題.

　　三、教學問題診斷分析

　　本節課的學習中，學生在分清角的平分線的判定的條件和結論，并進行嚴格的邏輯證明過程中常常感到困難.例如，在用符號語言表述判定條件和結論時，不知“距離”應為“條件”還是“結論”.其主要原因是角的平分線的判定是以文字命題的形式給出的，其條件和結論具有一定的隱蔽性.教學時，教師要引導學生分析性質中的條件和結論，正確寫出已知和求證.

　　基于以上分析，本節課的教學難點是：證明角平分線的判定定理.

　　四、教學過程設計

　　（一）引言

　　上節課我們已經學習了角的平分線的性質，如果把它的題設和結論調換位置，得到的命題還是真命題嗎？

　　【設計意圖】通過實際問題，復習角平分線的性質定理.

　　（二）探索角平分線的判定定理

　　問題1　寫出角的平分線的性質的逆命題.

　　師生活動：教師提出問題，學生獨立思考.

　　追問1：上述逆命題成立嗎？你能證明這個結論的正確性嗎？

　　已知：如圖，qd⊥oa，qe⊥ob，點d、e為垂足，qd＝qe.

　　求證：點q在∠aob的平分線上.

　　證明：∵ qd⊥oa，qe⊥ob，

　　∴ ∠qdo和∠qeo都是直角.

　　在rt△qdo和rt△qeo中，

　　∴ rt△qdo≌rt△qeo（hl）.

　　∴ ∠ qod＝∠qoe.

　　∴點q在∠aob的平分線上.

　　師生活動：教師首先引導學生寫出逆命題，分析命題的條件和結論，如果學生感到困難，可以讓學生將命題寫成“如果……那么……”的形式，最后讓學生畫出圖形，用符號語言寫出已知和求證，并獨立完成證明過程.

　　角的平分線的判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

　　用幾何語言表示為：

　　∵qd⊥oa，qe⊥ob，qd＝qe，

　　∴點q在∠aob的平分線上.

　　師生活動：讓學生分別用文字語言和符號語言概括角平分線的判定定理.

　　讓學生理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合.

　　（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）.

　　（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其他位置，滲透集合的完備性）.

　　由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

　　問題2　比較分析角平分線的性質和判定，填寫下表：

　　角平分線的性質

　　角平分線的判定

　　圖形

　　已知

　　結論

　　師生活動：學生獨立完成表格，教師點評補充.

　　【設計意圖】讓學生通過觀察、猜想、推理證明角平分線的判定定理，體會研究幾何問題的基本思路.通過表格將角平分線的性質和判定進行比較，讓學生體會類比的思想.反思判定，可以讓學生進一步體會證明兩個角相等可以利用角平分線的判定，比證兩個三角形全等更簡捷.

　　（三）鞏固應用

　　1.如圖，要在s 區建一個廣告牌p，使它到兩條高速公路的距離相等，離兩條公路交叉處500 m，請你幫忙設計一下，這個廣告牌p 應建于何處？（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20 000）

　　分析：根據角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上，可知點p在兩條公路形成的夾角的平分線上，設公路的交點為點o，計算可知op=2.5cm.

　　2.如圖， △abc的角平分線bm，cn相交于點p.

　　求證：點p到三邊ab、bc、ca的距離相等.

　　分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質及判定來解答，因此要作出點p到三邊的垂線段.

　　證明：過點p作pd⊥ab于d，pe⊥bc于e，pf⊥ac于f，

　　∵bm是∠abc的角平分線且點p在bm上，

　　∴pd＝pe.（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

　　同理pf＝pe.

　　∴pd=pe=pf.

　　即點p到三邊ab、bc、ca的距離相等.

　　追問：點p在∠a的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？

　　∵pd=pf，pd⊥ab，pf⊥ac，

　　∴點p在∠a的平分線上.（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）

　　結論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.

　　3.如圖，已知△abc的外角∠cbd和∠bce的平分線相交于點f，求證：點f在∠dae的平分線上.

　　分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質及判定來解答，因此要作出點f到三邊的垂線段.

　　證明：過點f作fg⊥ae于g，fh⊥ad于h，fm⊥bc于m，

　　∵點f在∠bce的平分線上，fg⊥ae，fm⊥bc，

　　∴fg＝fm.

　　又∵點f在∠cbd的平分線上，fh⊥ad， fm⊥bc，

　　∴fm＝fh.

　　∴fg＝fh.

　　∴點f在∠dae的平分線上.

　　師生活動：學生獨立思考，然后小組交流，派代表回答，教師適時點拔，并板演證明過程.此時教師主要關注學生是否能夠想到如何構造輔助線，并準確地描述輔助線的作法.

　　【設計意圖】通過訓練，提高學生運用角的平分線的性質和判定解決問題的能力，培養學生的推理能力.

　　（四）小結與反思

　　1.角平分線的性質定理和判定定理有什么區別和聯系？

　　2.應用角平分線的性質定理和判定定理時，怎樣做輔助線？

　　【設計意圖】通過小結，梳理本節課所學內容，建立知識之間的聯系.

　　（五）課后作業

　　教科書第50頁練習第1、2題.

　　五、目標檢測設計

　　1.如圖，在△abc中，∠a=90°，∠c=50°，點d在ac上，ad=2cm，de⊥bc于e，且de=2cm，則∠abd=       

　　2.平面內，到三角形三邊所在直線距離相等的點有（　　）.

　　a.4個            b.3個           c.2個           d.1個

　　3.如圖，已知be平分∠abc，ce平分∠acd交be于點e，求證：ae平分∠fac.