橢圓的簡單幾何性質（通用3篇）
橢圓的簡單幾何性質 篇1
橢圓的簡單幾何性質 （一）教學目標： （一）知識目標 橢圓的范圍、對稱性、對稱軸、對稱中心、離心率及頂點. （二）能力目標 1、使學生了解并掌握橢圓的范圍。 2、使學生掌握橢圓的對稱性，明確標準方程所表示的橢圓的對稱軸、對稱中心。 3、使學生掌握橢圓的定點坐標、長軸長、短軸長以及 的幾何意義，明 確標準方程所表示的橢圓的截距。 4、使學生掌握離心率的定義及其幾何意義。 （三）德育目標 使學生充分認識到數與形的聯系，體會數與形的統一；通過對橢圓對稱性的體驗， 使學生得到美的感受，樹立了對立統一的辯證唯物主義觀點。 教學重點：橢圓的簡單幾何性質 教學難點：教學難點是利用曲線方程研究橢圓的幾何性質，這是第一次用代數的方法研究 幾何圖形的性質。 教具準備：幻燈片兩張、三角板 教學方法：師生共同討論法 借助多媒體教學手段，創設問題情景，通過師生的共同討論研究，學生的親身實 踐體驗，使學生明確橢圓的幾何性質的研究方法，加強對性質的理解，掌握橢圓 的幾何性質。 教學過程一、課題導入前面我們給同學們講到：我國科學院在1997年準確地預測了海爾.波普彗星將接近地球，并預測30XX年后，它還將光臨地球上空。通過學習，我們知道海爾波普彗星運行的軌道是一個橢圓，天文學家通過觀察它運行中的一些有關數據，可以推算出它的運行軌道的方程，從而算出它的周期及軌道的周長。現在假設我告訴你這顆彗星的運行軌道的方程，你能做出它的運行軌跡嗎？當然描點法可以做出來，只要取足夠多的點，圖像就可以足夠準確，但是很顯然這種方法很麻煩，那么有沒有簡單一點的方法呢。實際上我們知道，對于畫一個二次函數的圖像我只需要作出它的對稱軸以及一些關鍵的點，我們就可以比較準確地畫出它的圖像。同樣，如果我們能搞清楚橢圓的幾何性質，就可以從整體上把握曲線的形狀、大小、位置。這也是我們今天要給同學們講的橢圓的幾何性質。 二、講授新課對于橢圓的標準方程 進行討論。 1、范圍通過觀察圖像得出橢圓的范圍（學生自己做） 提問：能從橢圓的標準方程中找出橢圓的范圍嗎？ 由于方程中兩個非負數的和等于1，所以，橢圓上任一點的坐標 適合不等式 這說明橢圓位于直線 所圍成的矩形里。從函數的思想出發，我們也可以對橢圓的范圍進行分析：橢圓的標準方程可以化為兩個函數 ，對他們的定義域、值域分別進行討論可得 ，即橢圓位于直線 所圍成的矩形里。 2、對稱性 在曲線的方程里，我們知道：如果以 代 方程不變，那么當點 在曲線上時，它關于 軸的對稱點 也在曲線上，所以區縣關于 軸對稱，同理，如果以 代 方程不變，那么曲線關于 軸對稱，如果同時以 代 ，以 代 方程不變，那么曲線關于原點對稱。提問：那么橢圓關于哪些對稱呢？由于在橢圓的標準方程里，以 代 ，或以 代 ，或 、 分別代 、 ，方程都不變，所以橢圓關于 軸、 軸和原點都是對稱的。這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心。 3、頂點 在橢圓的標準方程里，令 ，得 。同理令 ，我們把 這四個點叫做橢圓的頂點。線段 分別叫做橢圓的長軸和短軸。他們的長分別等于 ， 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。至此， 三者都有了幾何意義，他們分別是長半軸長、短半軸長、半焦距。 由橢圓的對稱性可知，橢圓短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等于長半軸長，即 ，即 ，這就是在第8.1節中令 的幾何意義。 4.離心率定義：橢圓的焦距與長軸長的比 ，叫做橢圓的離心率。 因為a>c>0,所以0<e<1. 問題 ：觀察圖形,說明當離心率e變化時,橢圓形狀是怎樣隨之變化的? 得出結論：(1)e越接近1時，則c越接近a，從而b越小，因此橢圓越扁； (2)e越接近0時，則c越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a＝b時，c＝0，這時兩個焦點重合于橢圓的中心，圖形變成圓。當e＝1時，圖形變成了一條線段。[為什么？留給學生課后思考] 三、例題講解例1求橢圓 的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標,并用描點法畫出它的圖形. 分析：[根據剛剛學過的橢圓的幾何性質知，橢圓長軸長2a，短軸長2b，該方程中的a＝？b＝？c＝？因為題目給出的橢圓方程不是標準方程，所以必須先把它轉化為標準方程，再討論它的幾何性質] 解：把已知方程化為標準方程 , 這里a＝5，b＝4，所以c＝ ＝3 因此，橢圓的長軸和短軸長分別是2a＝10，2b＝8 離心率e＝ ＝ 兩個焦點分別是f1(－3,0),f2(3,0)，四個頂點分別是a1(－5,0) a1(5,0) a1(0,－4) f1(0,4). [提問：怎樣用描點法畫出橢圓的圖形呢？我們可以根據橢圓的對稱性，先畫出第一象限內的圖形。] 將已知方程變形為 ，根據 在0≤x≤5的范圍內算出幾個點的坐標(x,y)
x
0
1
2
3
4
5
y
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0
先描點畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓（如圖） 說明：本題在畫圖時，利用了橢圓的對稱性。利用圖形的幾何性質，可以簡化畫圖過程，保證圖形的準確性。根據橢圓的幾何性質，用下面的方法可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖： (1) 以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形； (2) 由矩形四邊的中點確定橢圓的四個頂點； (3) 用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓。 [畫圖時要注意它們的對稱性及頂點附近的平滑性] （四）練習 填空：已知橢圓的方程是 (1) 將其化為標準方程是_________________. (2) a=___,b=___,c=___. (3) 橢圓位于直線________和________所圍成的________區域里. (4) 橢圓的長軸、短軸長分別是____和____,離心率e＝_____,兩個焦點分別是_______、______,四個頂點分別是______、______、______、_______. （五）焦點在x軸、y軸上的橢圓的幾何性質對比. 三、小結(1)理解橢圓的簡單幾何性質，給出方程會求橢圓的焦點、頂點和離心率; (2)了解離心率變化對橢圓形狀的影響; (3)通過曲線的方程研究曲線的幾何性質并畫圖是解析幾何的基本方法. 四、布置作業 p102 2、3題 p103習題8.2---1、2、3,第3題為書面作業.
橢圓的簡單幾何性質 篇2
橢圓的簡單幾何性質中的考查點:
（一）、對性質的考查：
1、范圍：要注意方程與函數的區別與聯系；與橢圓有關的求最值是變量的取值范圍；作橢圓的草圖。
2、對稱性：橢圓的中心及其對稱性；判斷曲線關于x軸、y軸及原點對稱的依據；如果曲線具有關于x軸、y軸及原點對稱中的任意兩種，那么它也具有另一種對稱性；注意橢圓不因坐標軸改變的固有性質。
3、頂點：橢圓的頂點坐標；一般二次曲線的頂點即是曲線與對稱軸的交點；橢圓中a、b、c的幾何意義（橢圓的特征三角形及離心率的三角函數表示）。
4、離心率：離心率的定義；橢圓離心率的取值范圍：（0，1）；橢圓的離心率的變化對橢圓的影響：當e趨向于1時：c趨向于a，此時，橢圓越扁平；當e趨向于0時：c趨向于0，此時，橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，兩焦點重合，橢圓變成圓。
（二）、課本例題的變形考查：
1、近日點、遠日點的概念：橢圓上任意一點p（x，y）到橢圓一焦點距離的最大值：a+c與最小值：a-c及取最值時點p的坐標；
2、橢圓的第二定義及其應用；橢圓的準線方程及兩準線間的距離、焦準距：焦半徑公式。
3、已知橢圓內一點m，在橢圓上求一點p，使點p到點m與到橢圓準線的距離的和最小的求法。
4、橢圓的參數方程及橢圓的離心角：橢圓的參數方程的簡單應用：
5、直線與橢圓的位置關系，直線與橢圓相交時的弦長及弦中點問題。
橢圓的簡單幾何性質 篇3
在預習教材中的例 4 的基礎上，證明：若 分別是橢圓 的左、右焦點，則橢圓上任一點 p （ ）到焦點的距離（焦半徑） ，同時思考當橢圓的焦點在 y 軸上時，結論如何？（此題意圖是引導學生去進一步探究，為進一步研究橢圓的性質做準備）
本堂課是在學生學習了橢圓的定義、標準方程的基礎上，根據方程研究曲線的性質。按照學生的認知特點，改變了教材中原有安排順序，引導學生從觀察課前預習所作的圖形入手，從分析對稱開始，循序漸進進行探究。由教師點撥、指導，學生研究、合作、體驗來完成。
本節課借助多媒體手段創設問題情境，指導學生研究式學習和體驗式學習（興趣是前提）。例如導入，通過“神州五號”這樣一個人們關注的話題引入，有利于激發學生的興趣。再如，這節課是學生第一次利用曲線方程研究曲線性質，為了解決這一難點，在課前設計中改變了教材原有研究順序，讓學生從觀察一個具體橢圓圖形入手，從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究，符合學生的認知特點，調動了學生主動參與教學的積極性，使他們進行自主探究與合作交流，親身體驗幾何性質的形成與論證過程，變靜態教學為動態教學。在研究范圍這一性質時，課前設計中，只要學生能根據不等式知識解出就可以了，但學生采用了多種方法研究，這時教師沒有打斷他的思路，而是引導幫助他研究，鼓勵學生創新，從而也實現了以學生為主，為學生服務。
在離心率這一性質的教學中，充分利用多媒體手段，以輕松愉悅的動畫演示，化解了知識的難點。
但也有不足的地方：在對具體例子 的觀察分析中，設計的問題過于具體，可能束縛了學生的思維，還沒有放開。還有就是少講多學方面也是我今后教學中努力的方向。
感悟：新課堂是活動的課堂，討論、合作交流可課堂，德育教育的課堂，應用現代技術的課堂，因此新教育理念、新課改下的新課堂需要教師和學生一起來培育。