數(shù)學(xué)教案－不等式的性質(zhì)（精選2篇）

數(shù)學(xué)教案－不等式的性質(zhì) 篇1

　　第二課時(shí)

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.理解同向不等式，異向不等式概念；

　　2.掌握并會(huì)證明定理1，2，3；

　　3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù)，定理3是移項(xiàng)法則的依據(jù)；

　　4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　教學(xué)重點(diǎn)：定理1，2，3的證明的證明思路和推導(dǎo)過(guò)程

　　教學(xué)難點(diǎn) ：理解證明不等式的邏輯推理方法

　　教學(xué)方法：引導(dǎo)式

　　教學(xué)過(guò)程 

　　一、復(fù)習(xí)回顧

　　上一節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了比較兩實(shí)數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則,而這也是推證不等式性質(zhì)的主要依據(jù),因此，我們來(lái)作一下回顧：

　　這一節(jié)課，我們將利用比較實(shí)數(shù)的方法， 來(lái)推證不等式的性質(zhì).

　　二、講授新課

　　在證明不等式的性質(zhì)之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1.同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式，例如：  是同向不等式.

　　異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式.例如：  是異向不等式.

　　2.不等式的性質(zhì)：

　　定理1：若  ，則 

　　定理1說(shuō)明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時(shí)，既要證明充分性，也要證明必要性.

　　證明

　　由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得

　　說(shuō)明：定理1的后半部分可引導(dǎo)學(xué)生仿照前半部分推證，注意向?qū)W生強(qiáng)調(diào)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則的應(yīng)用.

　　定理2：若  ，且  ，則  .

　　證明： 

　　根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，得

　　∴  說(shuō)明：此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).

　　定理3：若  ，則 

　　定理3說(shuō)明，不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向.

　　證明

　　說(shuō)明：（1）定理3的證明相當(dāng)于比較  與  的大小，采用的是求差比較法；

　　（2）不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據(jù)定理3可得出：若  ，則  即  .

　　定理3推論：若  .

　　證明:

　　說(shuō)明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；

　　（2）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

　　（3）兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相減時(shí)，就不能作出一般的結(jié)論；

　　（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學(xué)生自證）

　　三、課堂練習(xí)

　　1.證明定理1后半部分；

　　2.證明定理3的逆定理.

　　說(shuō)明：本節(jié)主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過(guò)程，練習(xí)穿插在定理的證明過(guò)程中進(jìn)行.

　　課堂小結(jié)

　　通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導(dǎo)過(guò)程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　課后作業(yè) 

　　1.求證：若 

　　2.證明：若 

　　板書設(shè)計(jì) 

　　§6.1.2  不等式的性質(zhì)

　　1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

　　異向不等式          證明          證明         推論

　　2.定理1 證明           說(shuō)明          說(shuō)明         證明

　　第三課時(shí)

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.熟練掌握定理1，2，3的應(yīng)用；

　　2.掌握并會(huì)證明定理4及其推論1，2；

　　3.掌握反證法證明定理5.

　　教學(xué)重點(diǎn)：定理4，5的證明.

　　教學(xué)難點(diǎn) ：定理4的應(yīng)用.

　　教學(xué)方法：引導(dǎo)式

　　教學(xué)過(guò)程 ：

　　一、復(fù)習(xí)回顧

　　上一節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了不等式的三個(gè)性質(zhì)，即定理1，2，3，并初步認(rèn)識(shí)了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來(lái)回顧一下三個(gè)定理的基本內(nèi)容.

　　（學(xué)生回答）

　　好，我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論，并進(jìn)一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

　　二、講授新課

　　定理4：若 

　　若 

　　證明： 

　　根據(jù)同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)，得

　　當(dāng)

　　說(shuō)明：（1）證明過(guò)程中的關(guān)鍵步驟是根據(jù)“同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)”來(lái)完成的；

　　（2）定理4證明在一個(gè)不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變.

　　推論1：若 

　　證明： 

　　①

　　又 

　　∴      ②

　　由①、②可得  .

　　說(shuō)明：（1）上述證明是兩次運(yùn)用定理4，再用定理2證出的；

　　（2）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有  ，就推不出  的結(jié)論.

　　（3）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說(shuō)，兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

　　推論2：若 

　　說(shuō)明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

　　（2）應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意n∈N  的條件.

　　定理5：若 

　　我們用反證法來(lái)證明定理5，因?yàn)榉疵嬗袃煞N情形，即  ，所以不能僅僅否定了  ，就“歸謬”了事，而必須進(jìn)行“窮舉”.

　　說(shuō)明：假定  不大于  ，這有兩種情況：或者  ，或者  .

　　由推論2和定理1，當(dāng)  時(shí)，有  ；

　　當(dāng)  時(shí)，顯然有 

　　這些都同已知條件  矛盾

　　所以  .

　　接下來(lái)，我們通過(guò)具體的例題來(lái)熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

　　例2    已知 

　　證明：由 

　　例3  已知 

　　證明：∵ 

　　兩邊同乘以正數(shù) 

　　說(shuō)明：通過(guò)例3，例4的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步接觸不等式的證明，為以后學(xué)習(xí)不等式的證明打下基礎(chǔ).在應(yīng)用定理4時(shí)，應(yīng)注意題目條件，即在一個(gè)等式兩端乘以同一個(gè)數(shù)時(shí)，其正負(fù)將影響結(jié)論.接下來(lái)，我們通過(guò)練習(xí)來(lái)進(jìn)一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

　　三、課堂練習(xí)

　　課本P7練習(xí)1，2，3.

　　課堂小結(jié)

　　通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要掌握不等式性質(zhì)的應(yīng)用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎(chǔ).

　　課后作業(yè) 

　　課本習(xí)題6.1 4，5.

　　板書設(shè)計(jì) 

　　§6.1.3  不等式的性質(zhì)

　　定理4      推論1         定理5          例3     學(xué)生

　　內(nèi)容                     內(nèi)容        

　　證明        推論2         證明          例4       練習(xí)

數(shù)學(xué)教案－不等式的性質(zhì) 篇2

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式各個(gè)性質(zhì)的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，并掌握它們的證明方法以及功能、運(yùn)用；

　　2.掌握兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的一般方法；

　　3.通過(guò)不等式性質(zhì)證明的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生邏輯推論的能力；

　　4.提高本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，；培養(yǎng)學(xué)生條理思維的習(xí)慣和認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?strong>學(xué)習(xí)態(tài)度；

　　教學(xué)建議

　　1.教材分析

　　（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)首先通過(guò)數(shù)形結(jié)合，給出了比較實(shí)數(shù)大小的方法，在這個(gè)基礎(chǔ)上，給出了不等式的性質(zhì)，一共講了五個(gè)定理和三個(gè)推論，并給出了嚴(yán)格的證明。

　　知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

　　（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　在“不等式的性質(zhì)”一節(jié)中，聯(lián)系了實(shí)數(shù)和數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系、比較實(shí)數(shù)大小的方法，復(fù)習(xí)了初中學(xué)過(guò)的不等式的基本性質(zhì)。

　　不等式的性質(zhì)是穿越本章內(nèi)容的一條主線，無(wú)論是算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應(yīng)用，不等式的證明和解一些簡(jiǎn)單的不等式，無(wú)不以不等式的性質(zhì)作為基礎(chǔ)。

　　本節(jié)的重點(diǎn)是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，不等式的五個(gè)定理和三個(gè)推論；難點(diǎn)是不等式的性質(zhì)成立的條件及其它的應(yīng)用。

　　①比較實(shí)數(shù)的大小

　　教材運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，從實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)出發(fā)， 與初中學(xué)過(guò)的知識(shí)“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

　　指出比較兩實(shí)數(shù)大小的方法是求差比較法：

　　比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，歸結(jié)為判斷它們的差a－b的符號(hào)，而這又必然歸結(jié)到實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則.

　　比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào).

　　②理清不等式的幾個(gè)性質(zhì)的關(guān)系

　　教材中的不等式共5個(gè)定理3個(gè)推論，是從證明過(guò)程安排順序的.從這幾個(gè)性質(zhì)的分類來(lái)說(shuō)，可以分為三類：

　　（Ⅰ）不等式的理論性質(zhì)：  （對(duì)稱性）

　　（傳遞性）

　　（Ⅱ）一個(gè)不等式的性質(zhì)： 

　　(n∈N，n＞1)

　　(n∈N，n＞1)

　　（Ⅲ）兩個(gè)不等式的性質(zhì)： 

　　2.教法建議

　　本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學(xué)生的變形技能，訓(xùn)練學(xué)生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學(xué)習(xí)奠定技能上和理論上的基礎(chǔ).

　　授課方法可以采取講授與問(wèn)答相結(jié)合的方式.通過(guò)問(wèn)答形式不斷地給學(xué)生設(shè)置疑問(wèn)（即：設(shè)疑）；對(duì)教學(xué)難點(diǎn) ，再由講授形式解決疑問(wèn).（即：解疑）.主要思路是：教師設(shè)疑→學(xué)生討論→教師啟發(fā)→解疑.

　　教學(xué)過(guò)程 可分為：發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應(yīng)用，采用由形象思維到抽象思維的過(guò)渡，發(fā)現(xiàn)定理、證明定理.采用類比聯(lián)想，變形轉(zhuǎn)化，應(yīng)用定理或應(yīng)用定理的證明思路；解決一些較簡(jiǎn)單的證明題.

　　第一課時(shí)

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序間關(guān)系；

　　2.掌握求差法比較兩實(shí)數(shù)或代數(shù)式大小；

　　3.強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　比較兩實(shí)數(shù)大小

　　教學(xué)難點(diǎn)  

　　理解實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則

　　教學(xué)方法

　　啟發(fā)式

　　教學(xué)過(guò)程 

　　一、復(fù)習(xí)回顧

　　我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.例如，在右圖中，點(diǎn)A表示實(shí)數(shù) ，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù) ,點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，那么 .

　　我們?cè)倏从覉D， 表示 減去 所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)即正數(shù).一般地：

　　若 ，則 是正數(shù)；逆命題也正確.

　　類似地，若，則  是負(fù)數(shù)；若  ，則  .它們的逆命題都正確.

　　這就是說(shuō)：（打出幻燈片1）

　　由此可見(jiàn)，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.

　　二、講授新課

　　1.  比較兩實(shí)數(shù)大小的方法——求差比較法

　　比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，歸結(jié)為判斷它們的差 的符號(hào)，而這又必然歸結(jié)到實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則.

　　比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào).

　　接下來(lái)，我們通過(guò)具體的例題來(lái)熟悉求差比較法.

　　2.  例題講解

　　例1  比較  與  的大小.

　　分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開(kāi)，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)，并根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來(lái)得出兩個(gè)代數(shù)式的大小.

　　解： 

　　∴ 

　　例2  已知,比較（  與  的大小.

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個(gè)代數(shù)式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應(yīng)該在對(duì)差值正負(fù)判斷時(shí)引起注意，對(duì)于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學(xué)生所忽略.

　　由  得  ，從而

　　請(qǐng)同學(xué)們想一想，在例2中，如果沒(méi)有  這個(gè)條件，那么比較的結(jié)果如何？

　　（學(xué)生回答：若沒(méi)有  這一條件，則  ，從而  大于或等于  ）

　　為了使大家進(jìn)一步掌握求差比較法，我們來(lái)進(jìn)行下面的練習(xí).

　　三、課堂練習(xí)

　　1.比較  的大小.

　　2.如果  ，比較  的大小.

　　3.已知,比較  與  的大小.

　　要求：學(xué)生板演練習(xí)，老師講評(píng)，并強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意加限制條件的題目.

　　課堂小結(jié)

　　通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要明確實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則， 掌握求差比較法來(lái)比較兩實(shí)數(shù)或代數(shù)式的大小.

　　課后作業(yè) 

　　習(xí)題6.1  1，2，3.

　　板書設(shè)計(jì) 

　　§6.1.1  不等式的性質(zhì)

　　1.求差比較法   例1   學(xué)生

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　　例2    板演

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