橢圓的簡單幾何性質

                  橢圓的簡單幾何性質 （一）教學目標：　（一）知識目標　　　　橢圓的范圍、對稱性、對稱軸、對稱中心、離心率及頂點.　（二）能力目標　　　　1、使學生了解并掌握橢圓的范圍。　　　　2、使學生掌握橢圓的對稱性，明確標準方程所表示的橢圓的對稱軸、對稱中心。　　　　3、使學生掌握橢圓的定點坐標、長軸長、短軸長以及 的幾何意義，明　　　　　　確標準方程所表示的橢圓的截距。　　　　4、使學生掌握離心率的定義及其幾何意義。　（三）德育目標　　使學生充分認識到數與形的聯系，體會數與形的統一；通過對橢圓對稱性的體驗，　　使學生得到美的感受，樹立了對立統一的辯證唯物主義觀點。　　　　　　　 教學重點：橢圓的簡單幾何性質 教學難點：教學難點是利用曲線方程研究橢圓的幾何性質，這是第一次用代數的方法研究　　　　　幾何圖形的性質。　　　　　　　　　 教具準備：幻燈片兩張、三角板 教學方法：師生共同討論法　　　　　借助多媒體教學手段，創設問題情景，通過師生的共同討論研究，學生的親身實　　　　　踐體驗，使學生明確橢圓的幾何性質的研究方法，加強對性質的理解，掌握橢圓　　　　　　　　的幾何性質。 教學過程一、課題導入前面我們給同學們講到：我國科學院在1997年準確地預測了海爾.波普彗星將接近地球，并預測30XX年后，它還將光臨地球上空。通過學習，我們知道海爾波普彗星運行的軌道是一個橢圓，天文學家通過觀察它運行中的一些有關數據，可以推算出它的運行軌道的方程，從而算出它的周期及軌道的周長。現在假設我告訴你這顆彗星的運行軌道的方程，你能做出它的運行軌跡嗎？當然描點法可以做出來，只要取足夠多的點，圖像就可以足夠準確，但是很顯然這種方法很麻煩，那么有沒有簡單一點的方法呢。實際上我們知道，對于畫一個二次函數的圖像我只需要作出它的對稱軸以及一些關鍵的點，我們就可以比較準確地畫出它的圖像。同樣，如果我們能搞清楚橢圓的幾何性質，就可以從整體上把握曲線的形狀、大小、位置。這也是我們今天要給同學們講的橢圓的幾何性質。 二、講授新課對于橢圓的標準方程 進行討論。 1、范圍通過觀察圖像得出橢圓的范圍（學生自己做）  提問：能從橢圓的標準方程中找出橢圓的范圍嗎？    由于方程中兩個非負數的和等于1，所以，橢圓上任一點的坐標 適合不等式   這說明橢圓位于直線 所圍成的矩形里。從函數的思想出發，我們也可以對橢圓的范圍進行分析：橢圓的標準方程可以化為兩個函數 ，對他們的定義域、值域分別進行討論可得 ，即橢圓位于直線 所圍成的矩形里。 2、對稱性    在曲線的方程里，我們知道：如果以 代 方程不變，那么當點 在曲線上時，它關于 軸的對稱點 也在曲線上，所以區縣關于 軸對稱，同理，如果以 代 方程不變，那么曲線關于 軸對稱，如果同時以 代 ，以 代 方程不變，那么曲線關于原點對稱。提問：那么橢圓關于哪些對稱呢？由于在橢圓的標準方程里，以 代 ，或以 代 ，或 、 分別代 、 ，方程都不變，所以橢圓關于 軸、 軸和原點都是對稱的。這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心。 3、頂點             在橢圓的標準方程里，令 ，得 。同理令 ，我們把 這四個點叫做橢圓的頂點。線段 分別叫做橢圓的長軸和短軸。他們的長分別等于 ， 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。至此， 三者都有了幾何意義，他們分別是長半軸長、短半軸長、半焦距。        由橢圓的對稱性可知，橢圓短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等于長半軸長，即 ，即 ，這就是在第8.1節中令 的幾何意義。  4.離心率定義：橢圓的焦距與長軸長的比 ，叫做橢圓的離心率。       因為a>c>0,所以0<e<1. 問題 ：觀察圖形,說明當離心率e變化時,橢圓形狀是怎樣隨之變化的? 得出結論：(1)e越接近1時，則c越接近a，從而b越小，因此橢圓越扁； (2)e越接近0時，則c越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a＝b時，c＝0，這時兩個焦點重合于橢圓的中心，圖形變成圓。當e＝1時，圖形變成了一條線段。[為什么？留給學生課后思考] 三、例題講解