2.2矩陣的運算及其性質
課 題2.2矩陣的運算及其性質時間教學目的學習矩陣相關的概念重點難點1.矩陣概念; 2特殊矩陣
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教學手段90ˊ一、導言:矩陣的運算在矩陣的理論中起著重要的作用。它雖然不是數,但用來處理實際問題時往往要進行矩陣的代數運算。二、新授:2.2.1矩陣的加法1.定義2.2:兩個矩陣相加等于把這兩個矩陣的對應元素相加。 應注意,并非任何兩個矩陣都可以相加,只有當兩個矩陣具有相同的行數和相同的列數時才能相加。 2.矩陣的加法滿足下列運算律(設 , , 都是 矩陣): (1) (2) 。 兩個矩陣相減等于把這兩個矩陣的對應元素相減。 2.2.2數與矩陣的乘法1.定義2.3:一個數與矩陣相乘等于用這個數去乘矩陣的每一個元素。 2.數與矩陣的乘法滿足下列運算律(設 , ,為 矩陣, , 為數): (1) (2) (3) 例3 設 , 求 。 解: 講授法 板演2.2.3.矩陣的乘法1.定義2.4:設兩個矩陣 , ,則矩陣 與矩陣 的乘積記為 ,規定 ,其中 2矩陣的乘法滿足下列運算律(假設運算都是成立的): (1) 結合律: (2)分配律: (3)設 是數, 。 例2設 , , 求 , 與 。 解: 從例題中我們可以得出下面的結論: (1)矩陣的乘法不滿足交換律。即一般地說, 。 (2)兩個非零矩陣的乘積可能等于零。一般說來, 不能推出 或 。 (3)矩陣乘法中消去律不成立。即 ,且 ,不能推出 3.設 是一個 階方陣,定義: ( 是正整數) 稱 為 的 次方冪。 由于矩陣的乘法適合結合律,所以方陣的冪滿足下列運算律: ; ,
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教學手段其中 , 為正整數。又因為矩陣乘法一般不滿足交換律,所以對兩個 階方陣 與 ,一般說來, 。 設 是 的一個多項式, 為任意方陣,則稱 為矩陣 的多項式 2.2.4矩陣的轉置 1.定義2.5:設 則矩陣 稱為 的轉置矩陣 2.矩陣的轉置是一種運算,它滿足下列運算律(假設運算都是可行的): (1) (2) (3) ( 是數) (4) 例9 設bt=b, 證明(abat)t=abat 證明:因為bt=b,所以 (abat)t=[(ab)at]t=(at)t(ab)t=abtat=abat 3.定義2.6:設 為 階方陣,如果 ,即有 則稱 為對稱矩陣。如果 ,即有 , ,則說 為反對稱矩陣。 2.2.5 n 階方陣的行列式 1.定義2.7:由 階方陣 所有元素構成的行列式(各元素的位置不變),稱為 階方陣 的行列式(determinant of a matrix a),記作| | 或 。 2. 階行列式的運算滿足下列運算律(設 , 為 階方陣, 為數): (1) ;(2) ;(3) 。 三、練習:習題2.2 2~4 四、小結:本節介紹了矩陣的加、減、數乘、乘法、轉置、方陣行列式的運算,這些運算矩陣理論中占有重要地位,特別是乘法運算,要熟練掌握這些運算。 五、作業: 課后記事本節應注重矩陣乘法的練習和證明題的訓練,這始終是一個難點的地方。