2.2矩陣的運算及其性質
課 題2.2矩陣的運算及其性質時間教學目的學習矩陣相關的概念重點難點1.矩陣概念； 2特殊矩陣
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教學手段90ˊ一、導言：矩陣的運算在矩陣的理論中起著重要的作用。它雖然不是數，但用來處理實際問題時往往要進行矩陣的代數運算。二、新授：2.2.1矩陣的加法1.定義2.2：兩個矩陣相加等于把這兩個矩陣的對應元素相加。 應注意，并非任何兩個矩陣都可以相加，只有當兩個矩陣具有相同的行數和相同的列數時才能相加。 2.矩陣的加法滿足下列運算律（設 ， ， 都是 矩陣）： （1） （2） 。 兩個矩陣相減等于把這兩個矩陣的對應元素相減。 2.2.2數與矩陣的乘法1.定義2.3：一個數與矩陣相乘等于用這個數去乘矩陣的每一個元素。 2.數與矩陣的乘法滿足下列運算律（設 ， ，為 矩陣， ， 為數）： （1） （2） （3） 例3 設 ， 求 。 解： 講授法 板演2.2.3.矩陣的乘法1.定義2.4：設兩個矩陣 ， ，則矩陣 與矩陣 的乘積記為 ，規定 ，其中 2矩陣的乘法滿足下列運算律（假設運算都是成立的）： (1) 結合律： （2）分配律： （3）設 是數， 。 例2設 ， ， 求 ， 與 。 解： 從例題中我們可以得出下面的結論： （1）矩陣的乘法不滿足交換律。即一般地說， 。 （2）兩個非零矩陣的乘積可能等于零。一般說來， 不能推出 或 。 （3）矩陣乘法中消去律不成立。即 ，且 ，不能推出 3.設 是一個 階方陣，定義： （ 是正整數） 稱 為 的 次方冪。 由于矩陣的乘法適合結合律，所以方陣的冪滿足下列運算律： ； ，
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教學手段其中 ， 為正整數。又因為矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對兩個 階方陣 與 ，一般說來， 。 設 是 的一個多項式， 為任意方陣，則稱 為矩陣 的多項式 2.2.4矩陣的轉置 1.定義2.5：設 則矩陣 稱為 的轉置矩陣 2.矩陣的轉置是一種運算，它滿足下列運算律（假設運算都是可行的）： （1） （2） （3） （ 是數） （4） 例9 設bt=b, 證明(abat)t=abat 證明：因為bt=b，所以 (abat)t=[（ab）at]t=(at)t(ab)t=abtat=abat 3.定義2.6：設 為 階方陣，如果 ，即有 則稱 為對稱矩陣。如果 ，即有 ， ，則說 為反對稱矩陣。 2.2.5 n 階方陣的行列式 1.定義2.7：由 階方陣 所有元素構成的行列式（各元素的位置不變），稱為 階方陣 的行列式(determinant of a matrix a)，記作| | 或 。 2. 階行列式的運算滿足下列運算律（設 ， 為 階方陣， 為數）： （1） ；（2） ；（3） 。 三、練習：習題2.2 2~4 四、小結：本節介紹了矩陣的加、減、數乘、乘法、轉置、方陣行列式的運算，這些運算矩陣理論中占有重要地位，特別是乘法運算，要熟練掌握這些運算。 五、作業： 課后記事本節應注重矩陣乘法的練習和證明題的訓練，這始終是一個難點的地方。