3.1.1方程的根與函數的零點 教案

§3.1.1    方程的根與函數的零點教學目的：1、結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的關系；2、根據具體函數的圖象，能夠借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。教學重點：函數的零點的概念及求法；能夠借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解。教學難點：利用函數的零點作簡圖；對二分法的理解。課時安排：3課時  教學過程：一、         引入課題

1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象有什么關系？

2、指出：（1）方程x2-2x-3=0的根與函數y= x2-2x-3的圖象之間的關系；（2）方程x2-2x+1=0的根與函數y= x2-2x+1的圖象之間的關系；（3）方程x2-2x+3=0的根與函數y= x2-2x+3的圖象之間的關系.二、新課教解

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數y= ax2+bx+c (a≠0)的圖象有如下關系：

判別式△=b2-4ac

△>0

△=0

△<0

二次函y=ax2+bx+c     的圖象                  xyx1x2xyx1=x2yx

與x軸有兩個交點（x1,0）,(x2,0)

與x軸有唯一的交點（x1,0）

與x軸沒有交點

一元一次方程ax2+bx+c=0       的根

有兩個不等的實數根x1，x2     x1<x2

有兩個相等實數根x1=x2

沒有實數根

2、函數零點的概念

對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點(zero point).

方程f(x)=0有實數根           函數y=f(x)的圖象與x軸    有交點                 函數y=f(x)有零點

3、連續函數在某個區間上存在零點的判別方法：

如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.

例1  求函數f(x)=lnx+2x-6的零點個數.練習：p103   第1、2題.

思考：怎樣求解方程lnx+2x-6=0？

4、二分法

對于在區間[a,b]上連續不斷、且f(a) · f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷把函數f(x)的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。

步驟：1、確定區間[a,b]，驗證f(a) · f(b)<0，給定精確度ε

2、求區間(a,b)的中點x1

3、計算f(x1);

(1) 若f(x1)=0,則x1就是函數的零點

(2) 若f(a) · f(x1)<0,則令b= x1(此時零點x0∈(a,x1))

(3) 若f(b)· f(x1)<0,則令a= x1(此時零點x0∈(x1,b))

4、判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|< ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則得復2～4。

例2、借助電子計算器或計算機用二分法求方程   的近似解（精確到0.1）。