3.1.1方程的根與函數的零點   公開課教案

教學目標：

1、          能夠結合二次函數的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數。

2、          理解函數的零點與方程的聯系。

3、          滲透由特殊到一般的認識規律，提升學生的抽象和概括能力。

教學重點、難點：

1、          重點：理解函數的零點與方程根的聯系，使學生遇到一元二次方程根的問題時能順利聯想函數的思想和方法。

2、          難點：函數零點存在的條件。

教學過程：

1、          問題引入

探究一元二次方程與相應二次函數的關系。

出示表格，引導學生填寫表格，并分析填出的表格，從二次方程的根和二次函數的圖像與x軸的交點的坐標，探究一元二次方程與相應二次函數的關系。

一元二次方程
 方程的根
 二次函數
 圖像與x軸的交點
 
x2-2x-3=0
 x1=-1，x2=3
 y=x2-2x-3
 （-1，0），（3，0）
 
x2-2x+1=0
 x1= x2=1
 y=x2-2x+1
 （1，0）
 
x2-2x+3=0
 無實數根
 y=x2-2x+3
 無交點
 

 （圖1-1）函數y=x2-2x-3的圖像

 
（圖1-2）函數y=x2-2x+1的圖像

 （圖1-3）函數y=x2-2x+3的圖像

歸納：

（1）                   如果一元二次方程沒有實數根，相應的二次函數圖像與x軸沒有交點；

（2）                   如果一元二次方程有實數根，相應的二次函數圖像與x軸有交點。

反之，二次函數圖像與x軸沒有交點，相應的一元二次方程沒有實數根；

二次函數圖像與x軸有交點，則交點的橫坐標就是相應一元二次方程的實數根。

2、          函數的零點

（1） 概念

對于函數y=f(x)(x∈d),把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈d)的零點。

（2） 意義

方程f(x)=0有實數根

                    函數y=f(x)的圖像與x軸有交點

           函數y=f(x)有零點

（3） 求函數的零點

①  代數法：求方程f(x)=0的實數根

②  幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y=f(x)的圖像聯系起來，并利用函數的性質找出零點。

3、          函數零點的存在性

（1） 二次函數的零點

△=b2-4ac
 ax2+bx+c=0的實數根
 y=ax2+bx+c的零點數
 
△﹥0
 有兩個不等的實數根x1、x2
 兩個零點x1、 x2
 
△=0
 有兩個相等的實數根x1= x2
 一個零點x1（或x2）