兩角差的余弦公式

　　在回顧研究指數函數的圖象和性質的基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖象與性質.

二.對數函數的圖像與性質

　　1. 作圖方法

　　由于指數函數的圖象按 和 分成兩種不同的類型，故對數函數的圖象也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以① 和 ，  ② 和 為例畫兩組圖.

（讓學生通過自己動手畫同底的指數函數和對數函數，一方面可以幫助學生建立兩者的聯系和尋求差異的意識，另一方面也為了提高學生的作圖能力和探究能力。）

具體操作時，先畫出第①組的圖象，要求學生做到：

(1)    先列表再作圖，指數函數 的圖象要盡量準確(關鍵點的位置，圖象的變化趨勢等).如：

……

（（—2， ）

（—1， ）

（0，1）

（1，2）

（2，4）

（3，8）

……

……

（ ，—2）

（ ，—1）

（1，0）

（2，1）

（4，2）

（8，3）

……

從上表中，我們發現了什么現象，反映在圖象上又會發現什么？

(2)    畫出直線 ，觀察同一坐標中的圖象的位置有什么關系？

結論：同底的指數函數和對數函數，關于y=x對稱。

(3)    利用第(2)的結論猜想要畫第②組的圖象，除了描點法還有其它什么方法？

（此時分兩組，第一組的同學采用列表描點法作圖，第二組的同學采用對稱的方法作圖。）　　

　　學生在畫圖本上完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

和 的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

2. 草圖.

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖象畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖象說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖象位于 軸的右側.

　　(3) 截距：令 得 ，即在 軸上的截距為1，與 軸無交點即以 軸為漸近線.

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.

　　(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖象是上升的

當 時，在 上是減函數，即圖象是下降的.

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ；當 時，有 .

　　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

　　對圖象和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

三.簡單應用

1. 研究相關函數的性質

例7. 求下列函數的定義域：

　　(1)      (2)

先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

2. 利用單調性比較大小

例8. 比較下列各組數的大小

（1） log23.4 , log28.5 ； (2) log0.33.4 , log0.38.5

(3) loga3.4 loga8.5   .

　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

擴展：比較 log0.30.4 , log20.5的大小

此時底數不一樣，該如何比較？

提示：如何比較0.30.4和20.5的大小

結論:當底數不同的時候,同樣可以插入中間量(1,0)或作圖描點比高低的方法來比較大小.