旋轉(zhuǎn)的三角也瘋狂——基于圓錐體積公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)思考
面對書本，如果對知識(shí)沒有了質(zhì)疑，對挑戰(zhàn)沒有了渴望，對自我沒有了信心，那么學(xué)習(xí)的過程就沒有了驚嘆，沒有了思辨，沒有了期待，沒有了樂趣—那不是我想要的課堂。
變故突生，課堂遭遇意外
圓錐體積的推導(dǎo)，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。小學(xué)6年級(jí)的時(shí)候，我學(xué)過一次，等我當(dāng)了教師，我教過學(xué)生兩次。今天還是上這節(jié)課，輕車熟路，實(shí)驗(yàn)和講解都很順利，學(xué)生開始做練習(xí)了。
過了一會(huì)兒，教室里有了些不和諧的聲音，起先還壓抑著，后來掩不住興奮炸裂開來。兩個(gè)臉漲得通紅的男同學(xué)，高聲叫著，“二分之一！是二分之一！你看。”“孫老師”，其中叫范托的學(xué)生激動(dòng)地說：“你先看，這個(gè)三角形的面積是不是這個(gè)長方形的一半？”一個(gè)涂得臟兮兮的長方形，以及一個(gè)沿這個(gè)長方形的對角線對折后剪下來的三角形出現(xiàn)在我眼前(如圖一)。
“對呀。”
“那這個(gè)呢？”他又拿出和剛才相同的兩個(gè)圖形。
“也是呀。”
“這樣兩個(gè)疊起來，兩個(gè)三角形的體積是不是兩個(gè)長方形的一半。”
“是呀。”
“那3個(gè)、4個(gè)、很多個(gè)疊起來呢？”
“也是二分之一啊。”
“那就對了。”他得意地說，接著開始演示，他把一個(gè)長方形和一個(gè)三角形粘在一起，以一條寬為軸，用手撥動(dòng)另外一邊旋轉(zhuǎn)360度（如圖三），撥一下，數(shù)一下，“1張、2張、3張…… 一起轉(zhuǎn)的，那張數(shù)是一樣多，長方形轉(zhuǎn)一圈就是圓柱,三角形轉(zhuǎn)一圈就是圓錐,那圓錐的體積不就是圓柱的二分之一嗎?”
教室里突然靜了下來，部分學(xué)生已經(jīng)停下了對作業(yè)的討論，盯著講臺(tái)上的三角形碎片想著剛才的推論。
太突然了，我深吸一口氣讓自己保持鎮(zhèn)定，頭腦中迅速地調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)：旋轉(zhuǎn)成形的任一瞬間，三角形的面積都是長方形的二分之一，由于是同步旋轉(zhuǎn)，因此旋轉(zhuǎn)的度數(shù)完全相同，也就是說，累計(jì)疊加的個(gè)數(shù)也完全相同，因此，由無數(shù)個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓錐的體積，應(yīng)該就是由同樣多個(gè)數(shù)的長方形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓柱的體積的二分之一！天哪，這個(gè)推理好像是天衣無縫，面對人們信之不移的“規(guī)律性知識(shí)”，不同的方法怎么出現(xiàn)了不同的結(jié)論！應(yīng)該是三分之一啊，怎么辦？我知道我的學(xué)生此刻都在盯著我。兩分鐘后，終于有人忍不住開了口，教室里炸開了鍋。“書上印錯(cuò)了！”“倒水的時(shí)候，3次根本就沒有倒?jié)M，不是三分之一，應(yīng)該是二分之一啊！”“范托，你好厲害！”而我，只能暫時(shí)眼睜睜地看著他們，因?yàn)槲掖_實(shí)無法當(dāng)堂反饋這個(gè)推理的邏輯漏洞。
尋根索源，問題從何而來
1.實(shí)驗(yàn)不精確埋下了問題的種子。實(shí)驗(yàn)用的圓柱量杯和圓錐量斗外表面比較時(shí)，確實(shí)是等底等高，但由于透明塑料有一定的厚度，實(shí)際上圓錐的容積要略微小于圓柱容積的三分之一，因此，每次裝的水倒入量杯的時(shí)候，總會(huì)比三等分的刻度線稍微低一點(diǎn)。3次倒水完成后，離杯口還差一點(diǎn)距離。通常的做法就是簡單地向?qū)W生解釋一下，是實(shí)驗(yàn)誤差，學(xué)生也能接受。但在喜歡較真的學(xué)生心里卻埋下了問題的種子，思量著是否有其他的推理方法來驗(yàn)證甚至推翻這個(gè)結(jié)論。
2.知識(shí)漸豐使得問題萌發(fā)。學(xué)生會(huì)想到用疊加的方法雖然出乎意料，卻不是偶然的，雖然教材中沒有要求，但在面積體積的教學(xué)中，我鋪墊了有關(guān)點(diǎn)線面三者之間演變的過程，那時(shí)是為了幫助他們更好地理解概念：把點(diǎn)一個(gè)個(gè)沿一定的方向密密麻麻地排列，就形成了線，線段的長度可以理解為點(diǎn)的個(gè)數(shù)；把同樣長度的線段沿一定的方向平行疊加排列，就形成一個(gè)面，線的條數(shù)可以理解為所形成的長方形的寬，長方形的面積＝線的長度×線的條數(shù)＝長×寬；大小相同的面，一層層往上疊加形成柱體，面的層數(shù)可以理解為柱體的高。柱體體積＝底面面積×面的層數(shù)＝底面面積×高。沒想到，埋下的種子，卻在這里生根發(fā)了芽。