旋轉的三角也瘋狂——基于圓錐體積公式推導的數學思考
3.求知欲和好勝心強促使問題“爆發”。6年級的孩子叛逆心強，不滿現實,充滿幻想，喜歡挑戰權威，又追求新奇。平時班級競賽中又多以解答方法巧妙而論勝負，導致學生尤其是優秀學生群中，以與眾不同為榮。他們學有余力，專門喜歡研究冷門解法，以彰顯自己的實力。
面對生成，教師如何應對
1.錯誤的過程比正確的結果更重要。
現代數學教學更關注過程的價值，關注學生學習的體驗和感受。學生良好的情感態度和價值觀的獲得也是一項教學目標，一定程度上，這比知識和技能的掌握更重要。我知道學生的結論是錯誤的，但我無法解釋，那么，對于這個過程的思辨和探究是否該停止呢？從知識習得的角度說，學生是失敗的，繼續研究討論錯誤的結論是沒有必要的。但從另一個角度來看，學生是成功的，因為他們不僅參與了數學活動，獲得了親身體驗，而且在正確與錯誤的思維交鋒中，迫使他們不斷調整、完善、重塑頭腦中的數學知識結構和數學思維方式。只有經過深入討論研究，真正弄清了錯誤的根源所在，才能更深刻地體會正確之“正”的真正意義。就算反復考慮后仍無法解答，留一個問號在腦子里，隨時思量，也是一件不錯的事情。這個探究的過程，就是學生自我進步的過程。當然，這個討論的過程如果放在課后小范圍中繼續進行，更能協調好班級整體發展與個人發展的關系。
2.學生思維的鍛煉比教師的智慧形象更重要。
教學真的是一條奇幻旅程，如果沒有平日里對他們算法多樣化的“縱容”，他們就會毫不猶豫地接受書本上的定論，也就不會旁生枝節，搞出這樣一個至今還令我無法解釋的問題。那么，今天站在課堂上的我依然是一個學識淵博的“不倒問”，照這樣的邏輯推理，是我自己給自己制造了麻煩，后悔嗎？
不！不后悔！這件事情確實讓我有所震動。教師之所以有權威，其中一個重要的原因是教師在某些方面比學生知識淵博，兩者之間知識相差的距離越大，權威感就越強，因此對教師自身業務的提高也就提出了更高的要求。現在學生獲取知識的途徑越來越多，學習的速度越來越快，如果把現在教師和學生之間的知識差看作一個固定的數，那如何來減緩這個差距縮小的速度呢？是控制學生的學習速度，讓自己可以悠閑地吸收新知識？還是想盡辦法激發他們體內的智慧能量，然后在他們的窮追猛跑下策馬狂奔？我想，我的選擇肯定是后者。
課后，為了這個問題我查看了七八本書，還請教了教研員和數學學科方面的專家，在他們的指導下，總算對這個問題有了進一步深入的理解:我們一直從面的角度在考慮，無限分割成面后，把任意一個面沿對角線平分，那么三角形x和三角形y的面積相等(如圖四)，因此旋轉累加后，三角形x所形成的體與三角形y所形成的體也是體積相同的，因此學生的“二分之一說”似乎是有根據的。但事實上，旋轉成形和線形疊加成形是不同的。旋轉時，旋轉的角度雖然一定，但旋轉點離中心點的位置不同，實際移動的距離也是不同的。打個比方，在旋轉面的一條邊上取兩個點j和k，旋轉同樣的角度時，j所移動的距離要明顯的大于k所移動的距離（如圖五）。
也就是說，在每個旋轉瞬間形成的是中間薄、外端厚，底面是扇形的柱體（如圖六）。把它沿著aef這個面分割，三角形x沿ab軸旋轉所形成的四面體是abef,三角形y沿ab軸旋轉所形成的五面體是acdef,從體積的角度看，這兩個部分的底面完全相同，是一個扇形，但分開比較后可以發現，三角形x沿軸ab旋轉所形成的體，以軸ab為高度最大處的厚度（如圖七），而三角形y沿軸ab旋轉所形成的體是以弧面cdef為高度最大處的厚度（如圖八），兩者的體積進行比較顯而易見是后者比較大。由此推論，“二分之一說”就不能成立了。