數的概念的發展

    3.把握復數的定義及復數的分類.
    教學重點
    虛數單位的定義、性質及復數的分類.
    教學難點
    虛數單位的性質.
    教學過程
    一、復習引入
    原始社會,由于計數的需要產生了自然數的概念,隨著文字的產生和發展,出現了記數的符號,進而建立了自然數的概念。自然數的全體構成自然數集.
    為了表示具有相反意義的量引進了正負數以及表示沒有的零,這樣將數集擴充到有理數集
    有些量與量之間的比值,如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果,無法用有理數表示,為解決這種矛盾,人們又引進了無理數,有理數和無理數合并在一起,構成實數集.
    數的概念是人類社會的生產和生活中產生和發展起來的,數學理論的研究和發展也推動著數的概念的發展,數已經成為現代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具.
    二、新課教學
    (一)虛數的產生
    我們知道,在實數范圍內,解方程 是無能為力的,只有把實數集擴充到復數集才能解決.對于復數 (a、b都是實數)來說,當 時,就是實數;當 時叫虛數,當 時,叫做純虛數.可是,歷史上引進虛數,把實數集擴充到復數集可不是件輕易的事,那么,歷史上是如何引進虛數的呢?
    16世紀意大利米蘭學者卡當(1501—1576)在1545年發表的《重要的藝術》一書中,公布了三次方程的一般解法,被后人稱之為“卡當公式”.他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,并且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等于40時,他把答案寫成 ,盡管他認為 和 這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,并使它們的乘積等于40.給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596—1650),他在《幾何學》(1637年發表)中使“虛的數’‘與“實的數”相對應,從此,虛數才流傳開來.
    數系中發現一顆新星——虛數,于是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數.德國數學家菜不尼茨(1664—1716)在17XX年說:“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數學大師歐拉(1707—1783)說:“一切形如 , 習的數學式子都是不可能有的,想象的數,因為它們所表示的是負數的平方根.對于這類數,我們只能斷言,它們既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它們純屬虛幻.”然而,真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗,最終占有自己的一席之地.法國數學家達蘭貝爾(.1717—1783)在 1747年指出,假如按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算,那么它的結果總是 的形式(a、b都是實數)(說明:現行教科書中沒有使用記號 而使用 ).法國數學家棣莫佛(1667—1754)在1730年發現公式了 ,這就是聞名的探莫佛定理.歐拉在 1748年發現了有名的關系式 ,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示1的平方根,首創了用符號i作為虛數的單位.“虛數”實際上不是想象出來的,而它是確實存在的.挪威的測量學家未塞爾(1745—1818)在1779年試圖給于這種虛數以直觀的幾何解釋,并首先發表其作法,然而沒有得到學術界的重視.