數的概念的發展

    德國數學家高斯(1777—1855)在 18XX年公布了虛數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,虛數也能用一個平面上的點來表示.在直角坐標系中,橫軸上取對應實數a的點a,縱軸上取對應實數b的點b,并過這兩點引平行于坐標軸的直線,它們的交點c就表示復數 .象這樣,由各點都對應復數的平面叫做“復平面”,后來又稱“高斯平面”.高斯在1831年,用實數組(a,b)代表復數 ,并建立了復數的某些運算,使得復數的某些運算也象實數一樣地“代數化”.他又在1832年第一次提出了“復數”這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合.統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中,并把數軸上的點與實數—一對應,擴展為平面上的點與復數—一對應.高斯不僅把復數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,并利用復數與向量之間—一對應的關系,闡述了復數的幾何加法與乘法.至此,復數理論才比較完整和系統地建立起來了.
    經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討并發展了復數理論,才使得在數學領域游蕩了2XX年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不虛呵.虛數成為了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了復數集.
    隨著科學和技術的進步,復數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對于數學本身的發展有著極其重要的意義,而且為證實機翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據.
    (二)、虛數單位
    1.規定i叫虛數單位,并規定:
    (1)
    (2)實數與它進行四則運算時,原有的加、乘運算律仍然成立
    2.形如 ( )的數叫復數,常用一個字母z表示,即 ( )
    注:(1) ( )叫復數的代數形式;
    (2)以后說復數 都有 ;
    (3)a叫復數 ( )的實部記作 ;b叫復數 ( )的虛部,用 表示;
    (4)全體復數的所成的集合叫復數集用c表示.
    例1.指出下列復數的實部、虛部:
    (1 (2) (4) (5)
    (6) (7) (8)10
    3. 復數 ( )當 時z是實數,當 時,z是虛數.
    例2. ( )取什么值時,復數 是( )
    (1) 實數 (2) 純虛數 (3) 零
    解:∵ ,∴ ,
    (1)z為實數,則 解得: 或
    (2) z為實數,則 解得:
    (3)z為零,則 解得: 2339