直線的方程
思路一:…
思路二:…
……
教師組織評價,確定最優方案(其它待課下研究)如下:
按斜率是否存在,任意直線 的位置有兩種可能,即斜率 存在或不存在.
當 存在時,直線 的截距 也一定存在,直線 的方程可表示為 ,它是二元一次方程.
當 不存在時,直線 的方程可表示為 形式的方程,它是二元一次方程嗎?
學生有的認為是有的認為不是,此時教師引導學生,逐步熟悉到把它看成二元一次方程的合理性:
平面直角坐標系中直線 上點的坐標形式,與其它直線上點的坐標形式沒有任何區別,根據直線方程的概念,方程 解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的.
綜合兩種情況,我們得出如下結論:
在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的關于 、 的二元一次方程.
至此,我們的問題1就解決了.簡單點說就是:直線方程都是二元一次方程.而且這個方程一定可以表示成 或 的形式,準確地說應該是“要么形如 這樣,要么形如 這樣的方程”.
同學們注重:這樣表達起來是不是很啰嗦,能不能有一個更好的表達?
學生們不難得出:二者可以概括為統一的形式.
這樣上邊的結論可以表述如下:
在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程.
啟發:任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺得還有什么與之相關的問題呢?
問題2任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?
不難看出上邊的結論只是直線與方程相互關系的一個方面,這個問題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是,因此也需要像剛才一樣認真地研究,得到明確的結論.那么如何研究呢?
師生共同討論,評價不同思路,達成共識:
回顧上邊解決問題的思路,發現原路返回就是非常好的思路,即方程 (其中 、 不同時為0)系數 是否為0恰好對應斜率 是否存在,即
(1)當 時,方程可化為
這是表示斜率為 、在 軸上的截距為 的直線.
(2)當 時,由于 、 不同時為0,必有 ,方程可化為
這表示一條與 軸垂直的直線.
因此,得到結論:
在平面直角坐標系中,任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線.
為方便,我們把 (其中 、 不同時為0)稱作直線方程的一般式是合理的.
動畫演示
演示“直線各參數.gsp”文件,體會任何二元一次方程都表示一條直線.
至此,我們的第二個問題也圓滿解決,而且我們還發現上述兩個問題其實是一個大問題的兩個方面,這個大問題揭示了直線與二元一次方程的對應關系,同時,直線方程的一般形式是對直線非凡形式的抽象和概括,而且抽象的層次越高越簡潔,我們還體會到了非凡與一般的轉化關系.
(三)練習鞏固、總結提高、板書和作業等環節的設計在此從略