圓的方程

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑.
（2）掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間的互化.
（3）了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程，能夠進(jìn)行圓的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，能應(yīng)用圓的參數(shù)方程解決有關(guān)的簡單問題.
（4）掌握直線和圓的位置關(guān)系，會求圓的切線.
（5）進(jìn)一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法.

教學(xué)建議

教材分析
（1）知識結(jié)構(gòu)

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程的推導(dǎo)，根據(jù)條件求，用解決相關(guān)問題.
②本節(jié)的難點(diǎn)是圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，以及圓方程的求解和應(yīng)用.

教法建議
（1）圓是最簡單的曲線.這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概念和求曲線方程之后，學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.同時(shí)，有關(guān)圓的問題，特別是直線與圓的位置關(guān)系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生確實(shí)掌握這一單元的知識和方法.
（2）在解決有關(guān)圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數(shù)法等思想方法，教學(xué)中應(yīng)多總結(jié).
（3）解決有關(guān)圓的問題，要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識和前邊學(xué)過的解析幾何的基本知識，教師在教學(xué)中要注意多復(fù)習(xí)、多運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和簡化運(yùn)算過程的意識.
（4）有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富，有很多有價(jià)值的問題.建議適當(dāng)選擇一些內(nèi)容供學(xué)生研究.例如由過圓上一點(diǎn)的切線方程引申到切點(diǎn)弦方程就是一個(gè)很有價(jià)值的問題.類似的還有圓系方程等問題.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

圓的一般方程

教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握圓的一般方程及其特點(diǎn).

（2）能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑.

（3）能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程.

（4）通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握配方法和待定系數(shù)法.

教學(xué)重點(diǎn)：（1）用配方法，把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑.

（2）用待定系數(shù)法求.

教學(xué)難點(diǎn)：圓的一般方程特點(diǎn)的研究.

教學(xué)用具：計(jì)算機(jī).

教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法.

教學(xué)過程：

【引入】

前邊已經(jīng)學(xué)過了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

把它展開得

任何都可以通過展開化成形如

①

的方程

【問題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓？

師生共同討論分析：

如果①表示圓，那么它一定是某個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理得到的.我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎？運(yùn)用配方法，得

②

顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數(shù)密切相關(guān)，具體如下：

（1）當(dāng) 時(shí)，②表示以 為圓心、以 為半徑的圓；

（2）當(dāng) 時(shí)，②表示一個(gè)點(diǎn) ；

（3）當(dāng) 時(shí)，②不表示任何曲線.

總結(jié)：任意形如①的方程可能表示一個(gè)圓，也可能表示一個(gè)點(diǎn)，還有可能什么也不表示.

圓的一般方程的定義：

當(dāng) 時(shí)，①表示以 為圓心、以 為半徑的圓，

此時(shí)①稱作圓的一般方程.

即稱形如 的方程為圓的一般方程.

【問題2】圓的一般方程的特點(diǎn)，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同.

（1） 和 的系數(shù)相同，都不為0.

（2）沒有形如 的二次項(xiàng).

圓的一般方程與一般的二元二次方程

③

相比較，上述（1）、（2）兩個(gè)條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件.

圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋：

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然.

（2）圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運(yùn)用.

【實(shí)例分析】

例1：下列方程各表示什么圖形.

（1） ；

（2） ；

（3） .

學(xué)生演算并回答

（1）表示點(diǎn)（0，0）；

（2）配方得 ，表示以 為圓心，3為半徑的圓；

（3）配方得 ，當(dāng) 、 同時(shí)為0時(shí)，表示原點(diǎn)（0，0）；當(dāng) 、 不同時(shí)為0時(shí)，表示以 為圓心， 為半徑的圓.

例2：求過三點(diǎn) ， ， 的，并求出圓心坐標(biāo)和半徑.

分析：由于學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可以用一般方程求解.

解：設(shè)為

因?yàn)?SUB> 、 、 三點(diǎn)在圓上，則有

解得： ， ，

所求為

可化為

圓心為 ，半徑為5.

請同學(xué)們再用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，比較兩種解法的區(qū)別.

【概括總結(jié)】通過學(xué)生討論，師生共同總結(jié)：

（1）求多用待定系數(shù)法.其步驟為：由題意設(shè)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程）；根據(jù)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；解方程組求出系數(shù)，寫出方程.

（2）如何選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程.一般地，易求圓心和半徑時(shí)，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上已知點(diǎn)，可選用一般方程.

下面再看一個(gè)問題：

例3： 經(jīng)過點(diǎn) 作圓 的割線，交圓 于 、 兩點(diǎn)，求線段 的中點(diǎn) 的軌跡.

解：圓 的方程可化為 ，其圓心為 ，半徑為2.設(shè) 是軌跡上任意一點(diǎn).

∵ 

∴ 

即

化簡得

點(diǎn) 在曲線上，并且曲線為圓 內(nèi)部的一段圓弧.

【練習(xí)鞏固】

（1）方程 表示的曲線是以 為圓心，4為半徑的圓.求 、 、 的值.（結(jié)果為4，－6，－3）

（2）求經(jīng)過三點(diǎn) 、 、 的.

分析：用圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組得為 .

（3）課本第79頁練習(xí)1，2.

【小結(jié)】師生共同總結(jié)：

（1）圓的一般方程及其特點(diǎn).

（2）用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)和半徑.

（3）用待定系數(shù)法求.

【作業(yè) 】課本第82頁5，6，7，8.

【板書設(shè)計(jì)】