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圓的方程

圓的方程

教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,也能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑.
(2)掌握圓的一般方程,了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征,熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間的互化.
(3)了解參數(shù)方程的概念,理解圓的參數(shù)方程,能夠進(jìn)行圓的普通方程與參數(shù)方程之間的互化,能應(yīng)用圓的參數(shù)方程解決有關(guān)的簡單問題.
(4)掌握直線和圓的位置關(guān)系,會求圓的切線.
(5)進(jìn)一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法.

 

教學(xué)建議

教材分析
(1)知識結(jié)構(gòu)

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程的推導(dǎo),根據(jù)條件求,用解決相關(guān)問題.
②本節(jié)的難點(diǎn)是圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征,以及圓方程的求解和應(yīng)用.

教法建議
(1)圓是最簡單的曲線.這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概念和求曲線方程之后,學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前,旨在熟悉曲線和方程的理論,為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.同時(shí),有關(guān)圓的問題,特別是直線與圓的位置關(guān)系問題,也是解析幾何中的基本問題,這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí),使學(xué)生確實(shí)掌握這一單元的知識和方法.
(2)在解決有關(guān)圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數(shù)法等思想方法,教學(xué)中應(yīng)多總結(jié).
(3)解決有關(guān)圓的問題,要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識和前邊學(xué)過的解析幾何的基本知識,教師教學(xué)中要注意多復(fù)習(xí)、多運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和簡化運(yùn)算過程的意識.
(4)有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富,有很多有價(jià)值的問題.建議適當(dāng)選擇一些內(nèi)容供學(xué)生研究.例如由過圓上一點(diǎn)的切線方程引申到切點(diǎn)弦方程就是一個(gè)很有價(jià)值的問題.類似的還有圓系方程等問題.

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

圓的一般方程

教學(xué)目標(biāo):

(1)掌握圓的一般方程及其特點(diǎn).

(2)能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而求出圓心和半徑.

(3)能用待定系數(shù)法,由已知條件求出圓的一般方程.

(4)通過本節(jié)課學(xué)習(xí),進(jìn)一步掌握配方法和待定系數(shù)法.

教學(xué)重點(diǎn):(1)用配方法,把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心和半徑.

(2)用待定系數(shù)法求.

教學(xué)難點(diǎn):圓的一般方程特點(diǎn)的研究.

教學(xué)用具:計(jì)算機(jī).

教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)法,討論法.

教學(xué)過程

【引入】

前邊已經(jīng)學(xué)過了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

把它展開得

任何都可以通過展開化成形如

的方程

【問題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓?

師生共同討論分析:

如果①表示圓,那么它一定是某個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理得到的.我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎?運(yùn)用配方法,得

顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數(shù)密切相關(guān),具體如下:

(1)當(dāng) 時(shí),②表示以 為圓心、以 為半徑的圓;

(2)當(dāng) 時(shí),②表示一個(gè)點(diǎn)

(3)當(dāng) 時(shí),②不表示任何曲線.

總結(jié):任意形如①的方程可能表示一個(gè)圓,也可能表示一個(gè)點(diǎn),還有可能什么也不表示.

圓的一般方程的定義:

當(dāng) 時(shí),①表示以 為圓心、以 為半徑的圓,

此時(shí)①稱作圓的一般方程.

即稱形如 的方程為圓的一般方程.

【問題2】圓的一般方程的特點(diǎn),與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同.

(1) 的系數(shù)相同,都不為0.

(2)沒有形如 的二次項(xiàng).

圓的一般方程與一般的二元二次方程

相比較,上述(1)、(2)兩個(gè)條件僅是③表示圓的必要條件,而不是充分條件或充要條件.

圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋:

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子,圓心和半徑一目了然.

(2)圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu),更適合方程理論的運(yùn)用.

【實(shí)例分析】

例1:下列方程各表示什么圖形.

(1)

(2)

(3) .

學(xué)生演算并回答

(1)表示點(diǎn)(0,0);

(2)配方得 ,表示以 為圓心,3為半徑的圓;

(3)配方得 ,當(dāng) 同時(shí)為0時(shí),表示原點(diǎn)(0,0);當(dāng) 不同時(shí)為0時(shí),表示以 為圓心, 為半徑的圓.

例2:求過三點(diǎn) 的,并求出圓心坐標(biāo)和半徑.

分析:由于學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程,那么本題既可以用標(biāo)準(zhǔn)方程求解,也可以用一般方程求解.

解:設(shè)為

因?yàn)?SUB> 、 三點(diǎn)在圓上,則有

解得:

所求為

可化為

圓心為 ,半徑為5.

請同學(xué)們再用標(biāo)準(zhǔn)方程求解,比較兩種解法的區(qū)別.

【概括總結(jié)】通過學(xué)生討論,師生共同總結(jié):

(1)求多用待定系數(shù)法.其步驟為:由題意設(shè)方程(標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程);根據(jù)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組;解方程組求出系數(shù),寫出方程.

(2)如何選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程.一般地,易求圓心和半徑時(shí),選用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果給出圓上已知點(diǎn),可選用一般方程.

下面再看一個(gè)問題:

例3: 經(jīng)過點(diǎn) 作圓 的割線,交圓 兩點(diǎn),求線段 的中點(diǎn) 的軌跡.

解:圓 的方程可化為 ,其圓心為 ,半徑為2.設(shè) 是軌跡上任意一點(diǎn).

∵ 

∴ 

化簡得

點(diǎn) 在曲線上,并且曲線為圓 內(nèi)部的一段圓弧.

【練習(xí)鞏固】

(1)方程 表示的曲線是以 為圓心,4為半徑的圓.求 的值.(結(jié)果為4,-6,-3)

(2)求經(jīng)過三點(diǎn) 的.

分析:用圓的一般方程,代入點(diǎn)的坐標(biāo),解方程組得為 .

(3)課本第79頁練習(xí)1,2.

【小結(jié)】師生共同總結(jié):

(1)圓的一般方程及其特點(diǎn).

(2)用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)用待定系數(shù)法求.

【作業(yè) 】課本第82頁5,6,7,8.

板書設(shè)計(jì)】

圓的一般方程

圓的一般方程

例1:

例2:

例3:

練習(xí):

小結(jié):

作業(yè) :

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