高三數學第一輪復習講義空間的距離
例2.在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，側棱 ， 分別是 ，與 的中點，點 在平面 上的射影是 的重心 ，（1）求 與平面 所成角的正弦值；（2）求點 到平面 的距離. 解：建立如圖的空間直角坐標系，設 ，則 ， ， ， ，∵ 分別是 ，與 的中點， ∴ ，∵ 是 的重心， ，∴ ， ，，∵ 平面 ， 得 ，且 與平面 所成角 ， ，， ， （2） 是 的中點， 到平面 的距離等于 到平面 的距離的兩倍， ∵ 平面 ， 到平面 的距離等于 .小結：根據線段 和平面 的關系，求點 到平面 的距離可轉化為求 到平面 的距離的兩倍. 例3.已知正四棱柱 , 點 為 的中點，點 為 的中點，（1）證明: 為異面直線 的公垂線； （2）求點 到平面 的距離. 解：（1）以 分別為 軸建立坐標系， 則 ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ 為異面直線 的公垂線. （2）設 是平面 的法向量，∵ ， ∴ ， ， ， 點 到平面 的距離 . 小結：由平面的法向量能求出點到這個平面的距離.五.課后作業： 班級 學號 姓名 1.已知 正方形 所在平面， ，點 到平面 的距離為 ， 點 到平面 的距離為 ，則 （ ） 2.把邊長為 的正三角形 沿高線 折成 的二面角，點 到 的距離是（ ） 3.四面體 的棱長都是 ， 兩點分別在棱 上，則 與 的最短距離是（ ） 4.已知二面角 為 ， 角， ，則 到平面 的距離為 .