平面向量的數量積及運算律（2）
6若 = ，則 = 當且僅當 時成立 ( × )
7對任意向量 、 、 ，有( ) ( ) ( × )
8對任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )
二、講解新課：
平面向量數量積的運算律
1.交換律： =
證：設 ， 夾角為，則 = | || |cos， = | || |cos
∴ =
2.數乘結合律：( ) = ( ) = ( )
證：若 > 0，( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos，
若 < 0，( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos，
( ) = | || |cos，
( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos
3.分配律：( + ) = c +
在平面內取一點o，作 = , = ， = ，
∵ + （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和，
即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2
∴| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
∴ ( + ) = + 即：( + ) = +
說明：（1）一般地，( • ) ≠ （ • ）
（2） • ＝ • ， ≠ ＝
（3）有如下常用性質： 2＝｜ ｜2，
（ ＋ ）（ ＋ ）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •
( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2
三、講解范例：
例1 已知 、 都是非零向量，且 + 3 與7 5 垂直， 4 與7 2 垂直，求 與 的夾角
解：由( + 3 )(7 5 ) = 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ①
( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 ②