平面向量的數(shù)量積及運算律（2）
兩式相減：2 = 2
代入①或②得： 2 = 2
設(shè) 、 的夾角為，則cos = ∴ = 60
例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和
解：如圖： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四邊形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，試問四邊形abcd是什么圖形?
分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量
解：四邊形abcd是矩形，這是因為：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )2＝（ ＋ ）2
即｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2
由于 • ＝ • ，
∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2①
同理有｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四邊形abcd兩組對邊分別相等
∴四邊形abcd是平行四邊形
另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝0，而由平行四邊形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝0
即 • ＝0，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
綜上所述，四邊形abcd是矩形
評述：(1)在四邊形中， ， ， ， 是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；
(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系
四、課堂練習(xí)：
1 下列敘述不正確的是（ ）
a 向量的數(shù)量積滿足交換律 b 向量的數(shù)量積滿足分配律
c 向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 d • 是一個實數(shù)
2 已知| |=6,| |=4, 與 的夾角為60°，則( +2 )•( -3 )等于（ ）
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 與 - 的位置關(guān)系為（ ）
a 平行 b 垂直 c 夾角為 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 與 的夾角為150°，則( + )2＝
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,則| + |=______,| - |=
6 設(shè)| |=3,| |=5,且 +λ 與 －λ 垂直，則λ＝
參考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 －1+2 5 6 ±
五、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運算規(guī)律，掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)解決相關(guān)問題
六、課后作業(yè)
1 已知| |=1,| |= ,且( - )與 垂直，則 與 的夾角是（ ）