圓和圓的位置關系
1、把握相交兩圓的性質定理;
2、把握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法;
3、通過例題的分析,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力;
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證實相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
(一)圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
(二)觀察、猜想、證實
1、觀察:同樣相交兩圓,也構成對稱圖形,它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想:“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證實:
對a層學生讓學生寫出已知、求證、證實,教師組織;對b、c層在教師引導下完成.
已知:⊙o1和⊙o2相交于a,b.
求證:q1o2是ab的垂直平分線.
分析:要證實o1o2是ab的垂直平分線,只要證實o1o2上的點和線段ab兩個端點的距離相等,于是想到連結o1a、o2a、o1b、o2b.
證實:連結o1a、o1b、 o2a、o2b,∵o1a=o1b,
∴o1點在ab的垂直平分線上.
又∵o2a=o2b,∴點o2在ab的垂直平分線上.
因此o1o2是ab的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證實:
∵⊙ol和⊙o2,是軸對稱圖形,∴直線o1o2是⊙ol和⊙o2的對稱軸.
∴⊙ol和⊙o2的公共點a關于直線o1o2的對稱點即在⊙ol上又在⊙o2上.
∴a點關于直線o1o2的對稱點只能是b點,
∴連心線o1o2是ab的垂直平分線.
定理:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注重:相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦,而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
(三)應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙ol和⊙o2相交于a,b兩點,⊙ol經(jīng)o2。
求∠olab的度數(shù).
分析:由所學定理可知,o1o2是ab的垂直平分線,
又⊙o1與⊙o2是兩個等圓,因此連結o1o2和ao2,ao1,△o1ao2構成等邊三角形,同時可以推證⊙o l和⊙o2構成的圖形不僅是以o1o2為對稱軸的軸對稱圖形,同時還是以ab為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠olao2=60°,推得∠olab=30°.
解:⊙o1經(jīng)過o 2,⊙o1與⊙o2是兩個等圓
∴ola= o1o2= ao2
∴∠o1a o2=60°,
又ab⊥o1o2
∴∠olab =30°.
例2、已知,如圖,a是⊙o l、⊙o2的一個交點,點p是o1o2的中點。過點a的直線mn垂直于pa,交⊙o l、⊙o2于m、n。
求證:am=an.