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一元二次方程的根的判別式(一)

一元二次方程的根的判別式(一)

1. 知識(shí)結(jié)構(gòu):

2. 重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

(1)本節(jié)的重點(diǎn)是會(huì)用判別式判定根的情況.一元二次方程的根的判別式是比較重要的,用它可以判斷一元二次方程根的情況,有助于我們順利地解一元二次方程,也可以利用它進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容,所以,它是本節(jié)課的重點(diǎn).

(2)本節(jié)的難點(diǎn)是一元二次方程根的三種情況的推導(dǎo).教科書首先將一元二次方程用配方法變形為 .因?yàn)椋苑匠逃疫叺姆?hào)就由來確定,而方程左邊的不可能是一個(gè)負(fù)數(shù),因此,把分三種情況來討論方程根的情況.推導(dǎo)過程中利用了分類的思想方法,對(duì)于分類討論學(xué)生感覺到較難,老師應(yīng)該講明分類的基本思想。

3. 教法建議:

(1)引入要自然、合理

新課引入前,作一個(gè)鋪墊:前面我們講了一元二次方程的解法,我們掌握了開平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一個(gè)一元二次方程,但是,存在這樣一個(gè)問題,并不是所有的一元二次方程都有解,我們可以通過把解求出來,來解方程,也可以通過判定方程無解,來解方程,這樣我們就面臨著一個(gè)問題,什么時(shí)候方程有解?什么時(shí)候方程無解?我們不解方程能不能判定根的情況?那就是我們本節(jié)所要研究的問題.讓學(xué)生首先感覺到所要學(xué)習(xí)的知識(shí)并不突然,也顯露了本節(jié)課的重點(diǎn).

(2)利用多媒體進(jìn)行教學(xué)

本節(jié)是根的判別式結(jié)論的推導(dǎo),比較抽象,為了便于學(xué)生理解,使用所提供的動(dòng)畫,有助于學(xué)生對(duì)所講內(nèi)容的理解,調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思維的積極性,活躍課堂氣氛,提高學(xué)習(xí)效率.

(3)本節(jié)在推導(dǎo)根的判別式的結(jié)論時(shí),利用了分類的思想,對(duì)于學(xué)生這是一個(gè)難點(diǎn),一定給學(xué)生講清楚分類的依據(jù),分類的基本思想,使學(xué)生對(duì)所得結(jié)論深信不疑.

一、教學(xué)目標(biāo)

1. 理解一元二次方程的根的判別式,并能用判別式判定根的情況;

2. 通過根的判別式的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力;

3.通過根的情況的研究過程,讓學(xué)生深刻體會(huì)轉(zhuǎn)化和分類的思想方法.

二、重點(diǎn)·難點(diǎn)及解決辦法

1.教學(xué)重點(diǎn):會(huì)用判別式判定根的情況。

2.教學(xué)難點(diǎn):一元二次方程根的三種情況的推導(dǎo).

3.解決辦法:(1)求判別式時(shí),應(yīng)先將方程化為一般形式,確定a、b、c。(2)利用判別式可以判定一元二次方程的存在性情況(共四種);方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,方程沒有實(shí)數(shù)根。

三、教學(xué)步驟

(一)教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)提問

(1)平方根的性質(zhì)是什么?

(2)解下列方程:① ;② ;③ 。

問題(1)為本節(jié)課結(jié)論的得出起到了一個(gè)很好的鋪墊作用。問題(2)通過自己親身感受的根的情況,對(duì)本節(jié)課的結(jié)論的得出起到了一個(gè)推波助瀾的作用。

2.任何一個(gè)一元二次方程 用配方法將其變形為 ,因此對(duì)于被開方數(shù) 來說,只需研究 為如下幾種情況的方程的根。

(1)當(dāng) 時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2)當(dāng) 時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即 。

(3)當(dāng) 時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根。

教師通過引導(dǎo)之后,提問:究竟誰決定了一元二次方程根的情況?

答: 。

3.①定義:把 叫做一元二次方程 的根的判別式,通常用符號(hào)“ ”表示。

②一元二次方程 。

當(dāng) 時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng) 時(shí),有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng) 時(shí),沒有實(shí)數(shù)根。

反之亦然。

注意以下幾個(gè)問題:

(1) 這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用,即對(duì)上式開平方,隨后有下面三種情況。正確得出三種情況的結(jié)論,需對(duì)平方根的概念有一個(gè)深刻的、正確的理解,所以,在課前進(jìn)行了鋪墊。在這里應(yīng)向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法。

(2)當(dāng) ,說“方程 沒有實(shí)數(shù)根”比較好。有時(shí),也說“方程無解”。這里的前提是“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解”,也就是方程無實(shí)數(shù)根的意思。

4.例題講解

例1  不解方程,判別下列方程的根的情況:

(1) ;(2) ;(3) 。

解:(1)

∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2)原方程可變形為

∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。


(3)原方程可變形為

∴原方程沒有實(shí)數(shù)根。

學(xué)生口答,教師板書,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)步驟,(1)化方程為一般形式,確定a、b、c的(2)計(jì)算 的值;(3)判別根的情況。

強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn):(1)只要能判別 值的符號(hào)就行,具體數(shù)值不必計(jì)算出。(2)判別根據(jù)的情況,不必求出方程的根。

練習(xí):不解方程,判別下列方程的情況:

(1) ;(2) ;

(3) ;(4) ;

(5) ;(6)

學(xué)生板演、筆答、評(píng)價(jià)。

(4)題可去括號(hào),化一般式進(jìn)行判別,也可設(shè) ,判別方程 根的情況,由此判別原方程根的情況。

例2  不解方程,判別方程 的根的情況。

解: 。

又  ∵  不論k取何實(shí)數(shù), ,

∴  原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

教師板書,引導(dǎo)學(xué)生回答。此題是含有字母系數(shù)的一元二次方程。注意字母的取值范圍,從而確定 的取值。

練習(xí):不解方程,判別下列方程根的情況。

(1) ;

(2) ;

(3) 。

學(xué)生板演、筆答、評(píng)價(jià)。教師滲透、點(diǎn)撥。

(3)解:

          

∵  不論m取何值, ,即 。

∴  方程無實(shí)數(shù)解。

由數(shù)字系數(shù),過渡到字母系數(shù),使學(xué)生體會(huì)到由具體到抽象,并且注意字母的取值。

(二)總結(jié)、擴(kuò)展

1.判別式的意義及一元二次方程根的情況。

(1)定義:把 叫做一元二次方程 的根的判別式,通常用符號(hào)“ ”表示。

(2)一元二次方程 。

當(dāng) 時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng) 時(shí),有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng) 時(shí),沒有實(shí)數(shù)根。反之亦然。

2.通過根的情況的研究過程,深刻體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法及分類的思想方法。

四、布置作業(yè) 

教材P27A1~4。

5.不解方程,判斷下x的方程的根的情況

(1)

(2)

五、板書設(shè)計(jì)


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