22.2.2 配方法（精選4篇）
22.2.2 配方法 篇1
教學內容
間接即通過變形運用開平方法降次解方程.
教學目標
理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題.
通過復習可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.
重難點關鍵
1.重點：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟.
2.難點與關鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧.
教學過程
一、復習引入
（學生活動）請同學們解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
老師點評：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或mx+n=± （p≥0）.
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知
列出下面二個問題的方程并回答：
（1）列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三個方程的解法呢？
問題1：印度古算中有這樣一資骸耙蝗漢鎰臃至蕉櫻吒咝誦嗽謨蝸罰?八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數共多少，兩隊猴子在一起”.
大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數是猴子總數的 的平方，另一隊猴子數是12，那么猴子總數是多少？你能解決這個問題嗎？
問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？
老師點評：問題1：設總共有x只猴子，根據題意，得：x=（ x）2+12
整理得：x2-64x+768=0
問題2：設道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=500
整理，得：x2-36x+70=0
（1）列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有.
（2）不能.
既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：
x2-64x+768=0 移項→ x=2-64x=-768
兩邊加（ ）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
左邊寫成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16
可以驗證：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子.
學生活動：
例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解題.
老師點評：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=± ，x-18= 或x-18=- ，x1≈34，x2≈2.
可以驗證x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合題意，所以道路的寬應為2.
例2.解下列關于x的方程
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上.
解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x1=7，x2=-5
可以，驗證x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的兩根.
（2）x2-2x- =0 x2-2x=
x2-2x+12= +1 （x-1）2=
x-1=± 即x-1= ，x-1=-
x1=1+ ，x2=1-
可以驗證：x1=1+ ，x2=1- 都是方程的根.
三、應用拓展
例3.如圖，在rt△acb中，∠c=90°，ac=8m，cb=6m，點p、q同時由a，b兩點出發分別沿ac、bc方向向點c勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△pcq的面積為rt△acb面積的一半.
分析：設x秒后△pcq的面積為rt△abc面積的一半，△pcq也是直角三角形.根據已知列出等式.
解：設x秒后△pcq的面積為rt△acb面積的一半.
根據題意，得： （8-x）（6-x）= × ×8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去.
所以2秒后△pcq的面積為rt△acb面積的一半.
四、歸納小結
本節課應掌握：
左邊不含有x的完全平方形式，左邊是非負數的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程的方程.
五、作業設計
一、選擇題
1.將二次三項式x2-4x+1配方后得（ ）.
a.（x-2）2+3 b.（x-2）2-3 c.（x+2）2+3 d.（x+2）2-3
2.已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ）.
a.x2-8x+（-4）2=31 b.x2-8x+（-4）2=1
c.x2+8x+42=1 d.x2-4x+4=-11
3.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關于x的完全平方式，則m等于（ ）.
a.1 b.-1 c.1或9 d.-1或9
二、填空題
1.方程x2+4x-5=0的解是________.
2.代數式 的值為0，則x的值為________.
3.已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設x+y=z，則原方程可變為_______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______.
三、綜合提高題
1.已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長.
2.如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求（xy）z的值.
3.新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，市場調研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？
答案:
一、1.b 2.b 3.c
二、1.x1=1，x2=-5 2.2 3.z2+2z-8=0，2，-4
三、1.（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周長為9（∵x2=1，∴不能構成三角形）
2.（x-2）2+（y+3）2+ =0，∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=
3.設每臺定價為x，則：（x-2500）（8+ ×4）=5000，x2-5500x+7506250=0，解得x=2750
22.2.2 配方法
教學內容
給出配方法的概念，然后運用配方法解一元二次方程.
教學目標
了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟.
通過復習上一節課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目.
重難點關鍵
1.重點：講清配方法的解題步驟.
2.難點與關鍵：把常數項移到方程右邊后，兩邊加上的常數是一次項系數一半的平方.
教學過程
一、復習引入
（學生活動）解下列方程：
（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0
老師點評：我們前一節課，已經學習了如何解左邊含有x的完全平方形式，右邊是非負數，不可以直接開方降次解方程的轉化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題.
解：
（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x1=7，x2=1
（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 （x+2）2=3即x+2=± x1= -2，x2=- -2
二、探索新知
像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.
可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解.
例1.解下列方程
（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方.
解：（1）移項，得：x2+6x=-5
配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
（2）移項，得：2x2+6x=-2
二次項系數化為1，得：x2+3x=-1
配方x2+3x+（ ）2=-1+（ ）2（x+ ）2=
由此可得x+ =± ，即x1= - ，x2=- -
（3）去括號，整理得：x2+4x-1=0
移項，得x2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=± ，即x1= -2，x2=- -2
三、應用拓展
例2.用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）看為一個數y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4= （6x+7）+ ，x+1= （6x+7）- ，因此，方程就轉化為y的方程，像這樣的轉化，我們把它稱為換元法.
解：設6x+7=y
則3x+4= y+ ，x+1= y-
依題意，得：y2（ y+ ）（ y- ）=6
去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
y2（y2-1）=72， y4-y2=72
（y2- ）2=
y2- =±
y2=9或y2=-8（舍）
∴y=±3
當y=3時，6x+7=3 6x=-4 x=-
當y=-3時，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以，原方程的根為x1=- ，x2=-
四、歸納小結
本節課應掌握：
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.
五、作業
一、選擇題
1.配方法解方程2x2- x-2=0應把它先變形為（ ）.
a.（x- ）2= b.（x- ）2=0
c.（x- ）2= d.（x- ）2=
2.下列方程中，一定有實數解的是（ ）.
a.x2+1=0 b.（2x+1）2=0
c.（2x+1）2+3=0 d.（ x-a）2=a
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ）.
a.1 b.2 c.-1 d.-2
二、填空題
1.如果x2+4x-5=0，則x=_______.
2.無論x、y取任何實數，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數.
3.如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關系是________.
三、綜合提高題
1.用配方法解方程.
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2 x
2.已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值.
3.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2件.
①若商場平均每天贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？
②每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？請你設計銷售方案.
答案:
一、1.d 2.b 3.b
二、1.1，-5 2.正 3.x-y=
三、1.（1）y2-2y- =0，y2-2y= ，（y-1）2= ，y-1=± ，y1= +1，y2=1-
（2）x2-2 x=-3 （x- ）2=0，x1=x2=
2.（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，∴原式=
3.（1）設每件襯衫應降價x元，則（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）設每件襯衫降價x元時，商場平均每天贏利最多為y，則y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2（x-15）2≤0，∴x=15時，贏利最多，y=1250元.答：略
22.2.2 配方法 篇2
配方法的基本形式
理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題.
通過復習可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟.
重點
講清直接降次有困難，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解題步驟.
難點
將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧.
一、復習引入
(學生活動)請同學們解下列方程：
(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x＝－7
老師點評：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得
x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0).
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9嗎？
二、探索新知
列出下面問題的方程并回答：
(1)列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面前三個方程的解法呢？
問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6 m，并且面積為16 m2，求場地的長和寬各是多少？
(1)列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有此特征.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：
x2＋6x－16＝0移項→x2＋6x＝16
兩邊加(6/2)2使左邊配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左邊寫成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5
解一次方程→x1＝2，x2＝－8
可以驗證：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但場地的寬不能是負值，所以場地的寬為2 m，長為8 m.
像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.
可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解.
例1 用配方法解下列關于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0 (2)x2－2x－12＝0
分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上.
解：略.
三、鞏固練習
教材第9頁 練習1，2.(1)(2).
四、課堂小結
本節課應掌握：
左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程的方程.
五、作業布置
22.2.2 配方法 篇3
[課 題] §12.2 一元二次方程的解法（2）——配方法[教學目的] 使學生掌握配方法的推導過程，能夠熟練地進行配方；使學生會用配方法解數字系數的一元二次方程。[教學重點] 掌握配方法的推導過程，能夠熟練地進行配方。[教學難點 ] 掌握配方法的推導過程，能夠熟練地進行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的配方。[教學關鍵] 會用配方法解數字系數的一元二次方程。[教學用具] [教學形式] 講練結合法。[教學用時] 45′×1 [教學過程 ][復習提問] 1、在（x+3）2=2中，x+3與2的關系是什么？（x+3是2的平方根。）2、試將方程的左邊展開、移項、合并同類項。（x2+6 x+9=2，x2+6 x+7=0。）[講解新課]現在，我們來研究方程：x2+6 x+7=0的解法。我們知道，方程：x2+6 x+7=0是由方程：（x+3）2=2變形得到的，因此，要解方程：x2+6 x+7=0應當如何變形？這里要求學生做嘗試回答：要解方程：x2+6x+7=0，最好將其變形為：（x+3）2=2。這是因為，我們會用直接開平方法解方程：（x+3）2=2了。下面重點研究如何將方程：x2+6 x+7=0，變形為：（x+3）2=2。這里，不是只研究這一道題解法的問題，而是注意啟發學生找出一般性規律。將方程：x2+6 x+7=0的常數項移到右邊，并將一次項6x改寫成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。由此可以看出，為使左邊成為完全平方式，只需在方程兩邊都加上32，即：x2+2·x·3+32=－7+32，（x+3）2=2。解這個方程，得：x1=－3+ ，x2=－3－ 。隨后提出：這種解一元二次方程的方法叫做配方法。很明顯，掌握這種方法的關鍵是“配方”。上述引例以及列3，二次項系數都是1，而例4，二次項的系數不是1，這時，要將方程的兩邊都除以二次項的系數，就把該方程的二次項系數變成1了。這樣，“配方”就容易了。讓學生做練習：1、x2+6x+ =（x+ ）2；（9，3）2、x2－5x+ =（x－ ）2；（ ， ）3、x2+ x+ =（x+ ）2；（ ， ）例3 解方程：x2－4 x－3=0。解：略。例4 解方程：2x2+3=7 x。解：略。說明：在講解完這兩個例題之后，一方面是利用“配方法”求出一元二次方程的解，另一方面是通過求解過程使學生掌握“配方”的方法。講解應突出重點，對容易出錯的地主應給予較多的講解。如例4的解方程：2x2+3=7 x，在“分析”中指出，應先把這個方程化成一般形式：2x2－7 x +3=0。其次，這個方程的二次項系數是2，為了便于配方，可把二次項系數化為1，為此，把方程的各項都除以2，并移項，得：x2－ x=－ ；下一步應是配方。這里，一次項的系數是（－ ），它的一半的平方是（－ ）2。學生在這里容易出錯。講解時，應提醒學生注意。我們知道，配方法解一元二次方程是比較麻煩的，在實際解一元二次方程時，一般不用配方法，而用公式法。但是，配方法是導出公式法——求根公式的關鍵，在以后的學習中，會常常用到配方法，所以掌握這個數學方法是重要的。[課堂練習]教科書第10頁練習第1，2題。[課堂小結]這堂課我們主要學習了用配方法解數字系數的一元二次方程，配方的關鍵是：在方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方。請同學們回去后，用配方法解一下關于x的方程：ax2+bx+c=0（a≠0）。（此題為下一課講解作準備，可指定一些同學做，從中了解在公式推導過程中存在的問題。）[課外作業 ]教科書第15頁習題12.1A組第3，4題。[板書設計 ]
課題： 例題：輔助板書：[課后記]通過本節課的學習，多數學生對配方法解一元二次方程基本掌握，但有一部分學生對一元二次方程一般式的配方法掌握的不好，希望課后多加練習。
22.2.2 配方法 篇4
公開課教案
授課人:henao6202 授課時間：-3-27
授課地點：xx中學八（1）班 公開范圍：數學組
授課內容：20.2一元二次方程解法（3）---配方法
教學目標：理解配方法的意義，會用配方法解簡單的數字系數的一元二次方程。
教學重點：配方法解一元二次方程
教學過程：
一、復習舊知 導入新課
1、因式分解的完全平方公式內容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]
2、填空：
（1）x2-8x+( )2=(x- )2 (2)y2+5y+( )2=(y+ )2
(3) x2- x+( )2=(x- )2 (4)x2+px+( )2=(x+ )2
說明：配方的關鍵是兩邊同加上一次項系數一半的平方，前提是二次項系數是1。
二、講解新課
1、解方程(1)(x+3)2=2
解： x+3=±
x=-3±
即：x1=-3+ x2=-3-
(2)x2+6x+7=0
這個方程顯然不能用直接開平方法解，能否把這個方程化成可用開平方法來解的形式？即(x+m)2=n的形式。
我們可以這樣變形：
把常數項移到右邊，得
x2+6x=-7
對等號左邊進行配方，得
x2+6x+32=-7+32
(x+3)2=2
這樣，就把原方程化為與上面方程一樣的形式了。像這種先對原一元二次方程配方，使它出現完全平方式后（即化為（x+m）2=n形式），再用開平方來解的方法叫配方法。
（板書）（一）、一元二次方程解法二：配方法
2、例1 用配方法解下列方程：
（1）x2-4x-1=0 (2)2x2-3x-1=0
說明：第（1）小題引導學生自己完成，第二小題引導學生將二次項系數化為1，再讓學生自己完成。
解：（1）移項，得
x2-4x=1
配方，得
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
開方，得
x-2=±
∴x1=2+ x2=2-
(2)化二次項系數為1，得
x2- x- =0
移項，得
x2- x=
下面的過程由學生補充完整：
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三、歸納小結
配方法的一般步驟（讓學生總結，在黑板上板書）
1、 化二次項系數為1
2、 移項
3、 配方（兩邊同加上一次項系數一半平方）
4、 開方
其中“化、移、配、開”及“一半平方”用彩色粉筆標出。
四、練習
p40 練習1、2
五、課外作業
p45 1、2
六、板書設計
20.2 一元二次方程解法
（一）一元二次方程解法二--配方法 例1 解方程
（二）配方法的一般步驟 （1）x2-4x-1=0
1、化二次項系數為1 (2) 2x2-3x-1=0
2、移項 解：------------------------
3、配方（兩邊同加一次項系數一半平方） ------------------------
4、開方 ------------------------