22.3 實(shí)際問題與一元二次方程（通用6篇）

22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 篇1

　　教學(xué)內(nèi)容

　　根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問題.

　　教學(xué)目標(biāo)

　　掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

　　利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題.

　　重難點(diǎn)關(guān)鍵

　　1.重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

　　2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.

　　教學(xué)過程

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　1.直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

　　2.正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？

　　3.梯形的面積公式是什么？

　　4.菱形的面積公式是什么？

　　5.平行四邊形的面積公式是什么？

　　6.圓的面積公式是什么？

　　二、探索新知

　　現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)際問題.

　　例1.某林場計(jì)劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m.

　　（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

　　（2）如果計(jì)劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？

　　分析：因?yàn)榍�深最小，為了便于�?jì)算，不妨設(shè)渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模.

　　解：（1）設(shè)渠深為xm

　　則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m

　　依題意，得： （x+2+x+0.4）x=1.6

　　整理，得：5x2+6x-8=0

　　解得：x1= =0.8m，x2=-2（舍）

　　∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m.

　　（2） =25天

　　答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道.

　　例2.如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？

　　老師點(diǎn)評(píng)：依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm.

　　因?yàn)樗闹艿牟噬�邊襯所點(diǎn)面積是封面面積的 ，則中央矩形的面積是封面面積的.

　　所以（27-18x）（21-14x）= ×27×21

　　整理，得：16x2-48x+9=0

　　解方程，得：x= ，

　　x1≈2.8cm，x2≈0.2

　　所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

　　因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm.

　　三、鞏固練習(xí)

　　有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長度相同，求臺(tái)布的長和寬各是多少?（精確到0.1尺）

　　四、應(yīng)用拓展

　　例3.如圖（a）、（b）所示，在△abc中∠b=90°，ab=6cm，bc=8cm，點(diǎn)p從點(diǎn)a開始沿ab邊向點(diǎn)b以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q從點(diǎn)b開始沿bc邊向點(diǎn)c以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).

　　（1）如果p、q分別從a、b同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使s△pbq=8cm2.

　　（2）如果p、q分別從a、b同時(shí)出發(fā)，并且p到b后又繼續(xù)在bc邊上前進(jìn)，q到c后又繼續(xù)在ca邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒鐘，使△pcq的面積等于12.6cm2.（友情提示：過點(diǎn)q作dq⊥cb，垂足為d，則： ）

　　分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使s△pbq=8cm2，那么ap=x，pb=6-x，qb=2x，由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.

　　（2）設(shè)經(jīng)過y秒鐘，這里的y>6使△pcq的面積等于12.6cm2.因?yàn)閍b=6，bc=8，由勾股定理得：ac=10，又由于pa=y，cp=（14-y），cq=（2y-8），又由友情提示，便可得到dq，那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模.

　　解：（1）設(shè)x秒，點(diǎn)p在ab上，點(diǎn)q在bc上，且使△pbq的面積為8cm2.

　　則： （6-x）·2x=8

　　整理，得：x2-6x+8=0

　　解得：x1=2，x2=4

　　∴經(jīng)過2秒，點(diǎn)p到離a點(diǎn)1×2=2cm處，點(diǎn)q離b點(diǎn)2×2=4cm處，經(jīng)過4秒，點(diǎn)p到離a點(diǎn)1×4=4cm處，點(diǎn)q離b點(diǎn)2×4=8cm處，所以它們都符合要求.

　　（2）設(shè)y秒后點(diǎn)p移到bc上，且有cp=（14-y）cm，點(diǎn)q在ca上移動(dòng)，且使cq=（2y-8）cm，過點(diǎn)q作dq⊥cb，垂足為d，則有

　　∵ab=6，bc=8

　　∴由勾股定理，得：ac= =10

　　∴dq=

　　則： （14-y）· =12.6

　　整理，得：y2-18y+77=0

　　解得：y1=7，y2=11

　　即經(jīng)過7秒，點(diǎn)p在bc上距c點(diǎn)7cm處（cp=14-y=7），點(diǎn)q在ca上距c點(diǎn)6cm處（cq=2y-8=6），使△pcd的面積為12.6cm2.

　　經(jīng)過11秒，點(diǎn)p在bc上距c點(diǎn)3cm處，點(diǎn)q在ca上距c點(diǎn)14cm>10，

　　∴點(diǎn)q已超過ca的范圍，即此解不存在.

　　∴本小題只有一解y1=7.

　　五、歸納小結(jié)

　　本節(jié)課應(yīng)掌握：利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

　　六、作業(yè)

　　一、選擇題

　　1.直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為（  ）.

　　a.       b.5      c.        d.7

　　2.有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的長比第一塊的長少2m，寬是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2，這兩塊木板的長和寬分別是（  ）.

　　a.第一塊木板長18m，寬9m，第二塊木板長16m，寬27m;

　　b.第一塊木板長12m，寬6m，第二塊木板長10m，寬18m;

　　c.第一塊木板長9m，寬4.5m，第二塊木板長7m，寬13.5m;

　　d.以上都不對(duì)

　　3.從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是（  ）.

　　a.8cm     b.64cm     c.8cm2     d.64cm2

　　二、填空題

　　1.矩形的周長為8 ，面積為1，則矩形的長和寬分別為________.

　　2.長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為________.

　　3.如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊*墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的面積為150m2，則此長方形雞場的長、寬分別為_______.

　　三、綜合提高題

　　1.如圖所示的一防水壩的橫截面（梯形），壩頂寬3m，背水坡度為1：2，迎水坡度為1：1，若壩長30m，完成大壩所用去的土方為4500m2，問水壩的高應(yīng)是多少?（說明：背水坡度 = ，迎水坡度 ）（精確到0.1m）

　　2.在一塊長12m，寬8m的長方形平地中央，劃出地方砌一個(gè)面積為8m2的長方形花臺(tái)，要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個(gè)寬度為多少?

　　3.誰能量出道路的寬度:

　　如圖22-10，有矩形地abcd一塊，要在中央修一矩形花輔efgh，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測(cè)量工具，只有無刻度的足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度?

　　請(qǐng)同學(xué)們利用自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決這個(gè)實(shí)際問題，相信你一定能行.

　　答案:

　　一、1.b  2.b  3.d

　　二、1.2 +   2 -  2.32cm   3.20m和7.5m或15m和10m

　　三、

　　1.設(shè)壩的高是x，則ae=x，bf=2x，ab=3+3x，依題意，得： （3+3+3x）x×30=4500    整理，得：x2+2x-100=0    解得x≈ 即x≈9.05（m）

　　2.設(shè)寬為x，則12×8-8=2×8x+2（12-2x）x    整理，得：x2-10x+22=0    解得：x1=5+ （舍去），x2=5-

　　3.設(shè)道路的寬為x，ab=a，ad=b    則（a-2x）（b-2x）= ab    解得：x= [（a+b）- ]    量法為：用繩子量出ab+ad（即a+b）之長，從中減去bd之長（對(duì)角線bd= ），得l=ab+ad-bd，再將l對(duì)折兩次即得到道路的寬 ，即 .

22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 篇2

　　教學(xué)內(nèi)容

　　由“倍數(shù)關(guān)系”等問題建立數(shù)學(xué)模型，并通過配方法或公式法或分解因式法解決實(shí)際問題.

　　教學(xué)目標(biāo)

　　掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題.

　　通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問題，引入用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問題.

　　重難點(diǎn)關(guān)鍵

　　1.重點(diǎn)：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

　　2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

　　教學(xué)過程

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　（學(xué)生活動(dòng)）問題1：列方程解應(yīng)用題

　　下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價(jià)（收盤價(jià)：股票每天交易結(jié)果時(shí)的價(jià)格）：

　　星期

　　一

　　二

　　三

　　四

　　五

　　甲

　　12元

　　12.5元

　　12.9元

　　12.45元

　　12.75元

　　乙

　　13.5元

　　13.3元

　　13.9元

　　13.4元

　　13.75元

　　某人在這周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價(jià)計(jì)算（不計(jì)手續(xù)費(fèi)、稅費(fèi)等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙股票各多少股？

　　老師點(diǎn)評(píng)分析：一般用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，即設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張，由于從表中知道每天每股的收盤價(jià)，因此，兩種股票當(dāng)天的帳戶總數(shù)就是x或y乘以相應(yīng)的每天每股的收盤價(jià)，再根據(jù)已知的等量關(guān)系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式.

　　解：設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張.

　　則     解得

　　答：（略）

　　二、探索新知

　　上面這道題大家都做得很好，這是一種利用二元一次方程組的數(shù)量關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模型，那么還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面所學(xué)過的一元二次方程建立數(shù)學(xué)模型解應(yīng)用題呢？請(qǐng)同學(xué)們完成下面問題.

　　（學(xué)生活動(dòng)）問題2：某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機(jī)是1萬臺(tái)，第一季度生產(chǎn)電視機(jī)的總臺(tái)數(shù)是3.31萬臺(tái)，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長的百分率是多少？

　　老師點(diǎn)評(píng)分析：直接假設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長率為x.因?yàn)橐辉路菔?萬臺(tái)，那么二月份應(yīng)是（1+x）臺(tái)，三月份應(yīng)是在二月份的基礎(chǔ)上以二月份比一月份增長的同樣“倍數(shù)”增長，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易從第一季度總臺(tái)數(shù)列出等式.

　　解：設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長的百分率為x，則1+（1+x）+（1+x）2=3.31

　　去括號(hào)：1+1+x+1+2x+x2=3.31

　　整理，得：x2+3x-0.31=0

　　解得：x=10%

　　答：（略）

　　以上這一道題與我們以前所學(xué)的一元一次、二元一次方程（組）、分式方程等為背景建立數(shù)學(xué)模型是一樣的，而我們借助的是一元二次方程為背景建立數(shù)學(xué)模型來分析實(shí)際問題和解決問題的類型.

　　例1.某電腦公司2001年的各項(xiàng)經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個(gè)增長率.

　　分析：設(shè)這個(gè)增長率為x，由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的營業(yè)額，又由三月份的總營業(yè)額列出等量關(guān)系.

　　解：設(shè)平均增長率為x

　　則200+200（1+x）+200（1+x）2=950

　　整理，得：x2+3x-1.75=0

　　解得：x=50%

　　答：所求的增長率為50%.

　　三、鞏固練習(xí)

　　（1）某林場現(xiàn)有木材a立方米，預(yù)計(jì)在今后兩年內(nèi)年平均增長p%，那么兩年后該林場有木材多少立方米?

　　（2）某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬噸，通過優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐年上升，第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬噸，設(shè)二、三月份平均增長的百分率相同，均為x，可列出方程為__________.

　　四、應(yīng)用拓展

　　例2.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率.

　　分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x·80%，其它依此類推.

　　解：設(shè)這種存款方式的年利率為x

　　則：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

　　整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

　　解得：x1=-2（不符，舍去），x2= =0.125=12.5%

　　答：所求的年利率是12.5%.

　　五、歸納小結(jié)

　　本節(jié)課應(yīng)掌握：利用“倍數(shù)關(guān)系”建立關(guān)于一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并利用恰當(dāng)方法解它.

　　六、作業(yè)

　　一、選擇題

　　1.2005年一月份越南發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場100家，后來二、三月份新發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場共250家，設(shè)二、三月份平均每月禽流感的感染率為x，依題意列出的方程是（  ）.

　　a.100（1+x）2=250    b.100（1+x）+100（1+x）2=250

　　c.100（1-x）2=250    d.100（1+x）2

　　2.一臺(tái)電視機(jī)成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售價(jià)的70%出售，那么每臺(tái)售價(jià)為（  ）.

　　a.（1+25%）（1+70%）a元   b.70%（1+25%）a元

　　c.（1+25%）（1-70%）a元   d.（1+25%+70%）a元

　　3.某商場的標(biāo)價(jià)比成本高p%，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)的折扣（即降低的百分?jǐn)?shù)）不得超過d%，則d可用p表示為（  ）.

　　a.       b.p      c.       d.

　　二、填空題

　　    1.某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量，平均每年的增長率為x，第一年的產(chǎn)量為6萬kg，第二年的產(chǎn)量為_______kg，第三年的產(chǎn)量為_______，三年總產(chǎn)量為_______.

　　2.某糖廠2002年食糖產(chǎn)量為at，如果在以后兩年平均增長的百分率為x，那么預(yù)計(jì)2004年的產(chǎn)量將是________.

　　3.我國政府為了解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品價(jià)格，某種藥品在1999年漲價(jià)30%后，2001年降價(jià)70%至a元，則這種藥品在1999年漲價(jià)前價(jià)格是__________.

　　三、綜合提高題

　　    1.為了響應(yīng)國家“退耕還林”，改變我省水土流失的嚴(yán)重現(xiàn)狀，2000年我省某地退耕還林1600畝，計(jì)劃到2002年一年退耕還林1936畝，問這兩年平均每年退耕還林的平均增長率

　　2.洛陽東方紅拖拉機(jī)廠一月份生產(chǎn)甲、乙兩種新型拖拉機(jī)，其中乙型16臺(tái)，從二月份起，甲型每月增產(chǎn)10臺(tái)，乙型每月按相同的增長率逐年遞增，又知二月份甲、乙兩型的產(chǎn)量之比是3：2，三月份甲、乙兩型產(chǎn)量之和為65臺(tái)，求乙型拖拉機(jī)每月的增長率及甲型拖拉機(jī)一月份的產(chǎn)量.

　　3.某商場于第一年初投入50萬元進(jìn)行商品經(jīng)營，以后每年年終將當(dāng)年獲得的利潤與當(dāng)年年初投入的資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入的資金繼續(xù)進(jìn)行經(jīng)營.

　　（1）如果第一年的年獲利率為p，那么第一年年終的總資金是多少萬元?（用代數(shù)式來表示）（注：年獲利率= ×100%）

　　（2）如果第二年的年獲利率多10個(gè)百分點(diǎn)（即第二年的年獲利率是第一年的年獲利率與10%的和），第二年年終的總資金為66萬元，求第一年的年獲利率.

　　答案:

　　    一、1.b  2.b  3.d

　　二、

　　1.6（1+x）  6（1+x）2  6+6（1+x）+6（1+x）2 

　　2.a（1+x）2t 

　　3.

　　三、

　　1.平均增長率為x，則1600（1+x）2=1936，x=10%

　　2.設(shè)乙型增長率為x，甲型一月份產(chǎn)量為y：

　　則   

　　即16x2+56x-15=0，解得x= =25%，y=20（臺(tái)）

　　3.（1）第一年年終總資金=50（1+p）  （2）50（1+p）（1+p+10%）=66，整理得：p2+2.1p-0.22=0，解得p=10%

22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 篇3

　　教學(xué)內(nèi)容

　　建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解決如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況.

　　教學(xué)目標(biāo)

　　掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況的問題.

　　復(fù)習(xí)一種對(duì)象變化狀況的解題過程，引入兩種或兩種以上對(duì)象的變化狀況的解題方法.

　　重難點(diǎn)關(guān)鍵

　　1.重點(diǎn)：如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況.

　　2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：某些量的變化狀況，不能衡量另外一些量的變化狀況.

　　教學(xué)過程

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下面的題目.

　　問題：某商場禮品柜臺(tái)春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?

　　總利潤=每件平均利潤×總件數(shù).設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元，則每件平均利潤應(yīng)是（0.3-x）元，總件數(shù)應(yīng)是（500+ ×100）

　　解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元

　　則（0.3-x）（500+ ）=120   

　　解得：x=0.1

　　答：每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元.

　　二、探索新知

　　剛才，我們分析了一種賀年卡原來平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了減少庫存降價(jià)銷售，并知每降價(jià)0.1元，便可多售出100元，為了達(dá)到某個(gè)目的，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?如果本題中有兩種賀年卡或者兩種其它東西，量與量之間又有怎樣的關(guān)系呢?即絕對(duì)量與相對(duì)量之間的關(guān)系.

　　例1.某商場禮品柜臺(tái)春節(jié)期間購進(jìn)甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每張盈利 0.75元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果甲種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)0.1元，那么商場平均每天可多售出100張；如果乙種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)0.25元，那么商場平均每天可多售出34張.如果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價(jià)的絕對(duì)量大.

　　分析：原來，兩種賀年卡平均每天的盈利一樣多，都是150元； ，從這些數(shù)目看，好象兩種賀年卡每張降價(jià)的絕對(duì)量一樣大，下面我們就通過解題來說明這個(gè)問題.

　　解：（1）從“復(fù)習(xí)引入”中，我們可知，商場要想平均每天盈利120元，甲種賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元.

　　（2）乙種賀年卡：設(shè)每張乙種賀年卡應(yīng)降價(jià)y元，

　　則：（0.75-y）（200+ ×34）=120

　　即（ -y）（200+136y）=120

　　整理：得68y2+49y-15=0

　　y=

　　∴y≈-0.98（不符題意，應(yīng)舍去）

　　y≈0.23元

　　答：乙種賀年卡每張降價(jià)的絕對(duì)量大.

　　因此，我們從以上一些絕對(duì)量的比較，不能說明其它絕對(duì)量或者相對(duì)量也有同樣的變化規(guī)律.

　　例2.兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?

　　絕對(duì)量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大.

　　相對(duì)量：從上面的絕對(duì)量的大小能否說明相對(duì)量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計(jì)算來說明這個(gè)問題.

　　解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，

　　則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為5000（1-x）元.

　　依題意，得5000（1-x）2=3000

　　解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合題意，舍去）

　　設(shè)乙種藥品成本的平均下降率為y.

　　則：6000（1-y）2=3600

　　整理，得：（1-y）2=0.6

　　解得：y≈0.225

　　答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大.

　　因此，雖然絕對(duì)量相差很多，但其相對(duì)量也可能相等.

　　三、鞏固練習(xí)

　　新華商場銷售甲、乙兩種冰箱，甲種冰箱每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái).乙種冰箱每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2000元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2500元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低45元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場要想使這兩種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，那么兩種冰箱的定價(jià)應(yīng)各是多少?

　　四、應(yīng)用拓展

　　例3.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品情況，請(qǐng)解答以下問題：

　　（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算銷售量和月銷售利潤.

　　（2）設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關(guān)系式.

　　（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少?

　　分析：（1）銷售單價(jià)定為55元，比原來的銷售價(jià)50元提高5元，因此，銷售量就減少5×10kg.

　　（2）銷售利潤y=（銷售單價(jià)x-銷售成本40）×銷售量[500-10（x-50）]

　　（3）月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過 =250kg，在這個(gè)提前下，求月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少.

　　解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤：450×（55-40）=450×15=6750元

　　（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

　　（3）由于水產(chǎn)品不超過10000÷40=250kg，定價(jià)為x元，則（x-400）[500-10（x-50）]=8000

　　解得：x1=80，x2=60

　　當(dāng)x1=80時(shí)，進(jìn)貨500-10（80-50）=200kg<250kg，滿足題意.

　　當(dāng)x2=60時(shí)，進(jìn)貨500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）.

　　五、歸納小結(jié)

　　本節(jié)課應(yīng)掌握：

　　建立多種一元二次方程的數(shù)學(xué)建模以解決如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況的問題.

　　六、作業(yè)

　　一、選擇題

　　1.一個(gè)小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共（  ）.

　　a.12人    b.18人    c.9人    d.10人

　　2.某一商人進(jìn)貨價(jià)便宜8%，而售價(jià)不變，那么他的利潤（按進(jìn)貨價(jià)而定）可由目前x增加到（x+10%），則x是（  ）.

　　a.12%     b.15%     c.30%      d.50%

　　3.育才中學(xué)為迎接香港回歸，從1994年到1997年四年內(nèi)師生共植樹1997棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年植樹的年增長率相同，那么該校1997年植樹的棵數(shù)為（  ）.

　　a.600     b.604     c.595     d.605

　　二、填空題

　　1.一個(gè)產(chǎn)品原價(jià)為a元，受市場經(jīng)濟(jì)影響，先提價(jià)20%后又降價(jià)15%，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)多_______%.

　　2.甲用1000元人民幣購買了一手股票，隨即他將這手股票轉(zhuǎn)賣給乙，獲利10%，乙而后又將這手股票返賣給甲，但乙損失了10%，最后甲按乙賣給甲的價(jià)格的九折將這手股票賣出，在上述股票交易中，甲盈了_________元.

　　3.一個(gè)容器盛滿純藥液63l，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補(bǔ)滿，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液是28l，設(shè)每次倒出液體xl，則列出的方程是________.

　　三、綜合提高題

　　1.上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月份利率為200萬元，九月份的利潤為288萬元，那么哪個(gè)商場利潤的年平均上升率較大?

　　2.某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個(gè)桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會(huì)減少2個(gè)，如果要使產(chǎn)量增加15.2%，那么應(yīng)多種多少棵桃樹?

　　3.某玩具廠有4個(gè)車間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個(gè)車間都原有a（a>0）個(gè)成品，且每個(gè)車間每天都生產(chǎn)b（b>0）個(gè)成品，質(zhì)量科派出若干名檢驗(yàn)員周一、周二檢驗(yàn)其中兩個(gè)車間原有的和這兩天生產(chǎn)的所有成品，然后，周三到周五檢驗(yàn)另外兩個(gè)車間原有的和本周生產(chǎn)的所有成品，假定每名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同.

　　（1）這若干名檢驗(yàn)員1天共檢驗(yàn)多少個(gè)成品?（用含a、b的代數(shù)式表示）

　　（2）若一名檢驗(yàn)員1天能檢驗(yàn) b個(gè)成品，則質(zhì)量科至少要派出多少名檢驗(yàn)員?

　　答案：

　　一、1.c  2.b  3.d

　　二、1.2  2.1  3.（1- ）2=

　　三、

　　1.甲：設(shè)上升率為x，則100（1+x）2=121，x=10% 乙：設(shè)上升率為y，則200（1+y）2=288，y=20%，那么乙商場年均利潤的上升率大.

　　2.設(shè)多種x棵樹，則（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%），整理，得：x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，

　　解得x1=20，x2=380

　　3.（1） =a+2b或   （2）因?yàn)榧俣�每名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同.所以a+2b= ，解得：a=4b  所以（a+2b）÷ b=6b÷ b= =7.5（人）  所以至少要派8名檢驗(yàn)員.

22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 篇4

　　教學(xué)內(nèi)容

　　運(yùn)用速度、時(shí)間、路程的關(guān)系建立一元二次方程數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.

　　教學(xué)目標(biāo)

　　掌握運(yùn)用速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問題.

　　通過復(fù)習(xí)速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系，提出問題，用這個(gè)知識(shí)解決問題.

　　重難點(diǎn)關(guān)鍵

　　1.重點(diǎn)：通過路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.

　　2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：建模.

　　教學(xué)過程

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　路程、速度和時(shí)間三者的關(guān)系是什么？

　　二、探究新知

　　我們這一節(jié)課就是要利用同學(xué)們剛才所回答的“路程＝速度×?xí)r間”來建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并且解決一些實(shí)際問題.

　　請(qǐng)思考下面的二道例題.

　　例1.某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s（m）和時(shí)間t（s）之間的關(guān)系為：s=10t+3t2，那么行駛200m需要多長時(shí)間?

　　分析：這是一個(gè)加速運(yùn)運(yùn)，根據(jù)已知的路程求時(shí)間，因此，只要把s=200代入求關(guān)系t的一元二次方程即可.

　　解：當(dāng)s=200時(shí)，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0

　　解得t= （s）

　　答：行駛200m需 s.

　　例2.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后汽車又滑行25m后停車.

　　（1）從剎車到停車用了多少時(shí)間?

　　（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少?

　　（3）剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）?

　　分析：（1）剛剎車筆彼倩故?0m/s，以后逐漸減少，停車時(shí)時(shí)速為0.因?yàn)閯x車以后，其速度的減少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是勻速的，因此，其平均速度為 =10m/s，那么根據(jù)：路程=速度×?xí)r間，便可求出所求的時(shí)間.

　　（2）很明顯，剛要?jiǎng)x車時(shí)車速為20m/s，停車車速為0，車速減少值為20-0=20，因?yàn)檐囁贉p少值20，是在從剎車到停車所用的時(shí)間內(nèi)完成的，所以20除以從剎車到停車的時(shí)間即可.

　　（3）設(shè)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用除以xs.由于平均每秒減少車速已從上題求出，所以便可求出滑行到15米的車速，從而可求出剎車到滑行到15m的平均速度，再根據(jù)：路程=速度×?xí)r間，便可求出x的值.

　　解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是 =10（m/s）那么從剎車到停車所用的時(shí)間是 =2.5（s）

　　（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0=20    從剎車到停車每秒平均車速減少值是 =8（m/s）

　　（3）設(shè)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了xs，這時(shí)車速為（20-8x）m/s

　　則這段路程內(nèi)的平均車速為 =（20-4x）m/s

　　所以x（20-4x）=15

　　整理得：4x2-20x+15=0

　　解方程：得x=

　　x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）

　　答：剎車后汽車行駛到15m時(shí)約用0.9s.

　　三、鞏固練習(xí)

　　（1）同上題，求剎車后汽車行駛10m時(shí)約用了多少時(shí)間.（精確到0.1s）

　　（2）剎車后汽車行駛到20m時(shí)約用了多少時(shí)間.（精確到0.1s）

　　四、應(yīng)用拓展

　　例3.如圖，某海軍基地位于a處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)b，在b的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)c，小島d位于ac的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭：小島f位于bc上且恰好處于小島d的正南方向，一艘軍艦從a出發(fā)，經(jīng)b到c勻速巡航，一般補(bǔ)給船同時(shí)從d出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦.

　　（1）小島d和小島f相距多少海里?

　　（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由b到c的途中與補(bǔ)給船相遇于e處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里?（結(jié)果精確到0.1海里）

　　分析：（1）因?yàn)橐李}意可知△abc是等腰直角三角形，△dfc也是等腰直角三角形，ac可求，cd就可求，因此由勾股定理便可求df的長.

　　（2）要求補(bǔ)給船航行的距離就是求de的長度，df已求，因此，只要在rt△def中，由勾股定理即可求.

　　解：（1）連結(jié)df，則df⊥bc

　　∵ab⊥bc，ab=bc=200海里.

　　∴ac= ab=200 海里，∠c=45°

　　∴cd= ac=100 海里

　　df=cf， df=cd

　　∴df=cf= cd= ×100 =100（海里）

　　所以，小島d和小島f相距100海里.

　　（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么de=x海里，ab+be=2x海里，

　　ef=ab+bc-（ab+be）-cf=（300-2x）海里

　　在rt△def中，根據(jù)勾股定理可得方程

　　x2=1002+（300-2x）2

　　整理，得3x2-1200x+100000=0

　　解這個(gè)方程，得：x1=200- ≈118.4

　　x2=200+ （不合題意，舍去）

　　所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里.

　　五、歸納小結(jié)

　　本節(jié)課應(yīng)掌握：運(yùn)用路程＝速度×?xí)r間，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決一些實(shí)際問題.

　　六、作業(yè)

　　一、選擇題

　　1.一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)為（  ）.

　　a.25      b.36      c.25或36     d.-25或-36

　　2.某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)7元（即行駛距離不超過3km都需付7元車費(fèi)）；超過3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km計(jì)），某人乘出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)19元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程（  ）.

　　a.正好8km    b.最多8km    c.至少8km     d.正好7km

　　二、填空題

　　1.以大約與水平成45°角的方向，向斜上方拋出標(biāo)槍，拋出的距離s（單位：m）與標(biāo)槍出手的速度v（單位：m/s）之間大致有如下關(guān)系：s= +2    如果拋出40m，那么標(biāo)槍出手時(shí)的速度是________（精確到0.1）

　　2.一個(gè)小球由靜止開始在一個(gè)斜坡上向下滾動(dòng)，通過儀器觀察得到小球滾動(dòng)的距離s（m）與時(shí)間t（s）的數(shù)據(jù)如下：

　　時(shí)間t（s）

　　1

　　2

　　3

　　4

　　……

　　距離s（m）

　　2

　　8

　　18

　　32

　　……

　　寫出用t表示s的關(guān)系式為_______.

　　三、綜合提高題

　　1.一個(gè)小球以10m/s的速度在平坦地面上開始滾動(dòng)，并且均勻減速，滾動(dòng)20m后小球停下來.

　　（1）小球滾動(dòng)了多少時(shí)間?

　　（2）平均每秒小球的運(yùn)動(dòng)速度減少多少?

　　（3）小球滾動(dòng)到5m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）?

　　2.某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30節(jié)的速度由南向北航行，它能偵察出周圍50海里（包括50海里）范圍內(nèi)的目標(biāo).如圖，當(dāng)該軍艦行至a處時(shí)，電子偵察船正位于a處正南方向的b處，且ab=90海里，如果軍船和偵察船仍按原速度沿原方向繼續(xù)航行，那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦?如果能，最早何時(shí)能偵察到?如果不能，請(qǐng)說明理由.

　　答案:

　　   一、1.c  2.b

　　二、1.19.3m/s  2.s=2t2

　　三、

　　1.（1）小球滾動(dòng)的平均速度= =5（m/s）  小球滾動(dòng)的時(shí)間： =4（s） 

　　（2） =2.5（m/s） 

　　（3）小球滾動(dòng)到5m時(shí)約用了xs  平均速度= =

　　依題意，得：x· =5，整理得：x2-8x+4=0

　　解得：x=4±2 ，所以x=4-2

　　2.能.設(shè)偵察船最早由b出發(fā)經(jīng)過x小時(shí)偵察到軍艦，則（90-30x）2+（20x）2=502

　　整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（x-2）=0，x1=2 ，x2=2，

　　∴最早再過2小時(shí)能偵察到.

22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 篇5

　　本文是第一范文網(wǎng)小編為大家整理的九年級(jí)《實(shí)際問題與一元二次方程》說課稿，希望對(duì)大家有所幫助。

　　各位評(píng)委：

　　大家好!

　　今天我說課的內(nèi)容是人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十二章、第22.3節(jié)《實(shí)際問題與一元二次方程》的第四課時(shí)實(shí)驗(yàn)與探究。它是繼傳播問題、百分率問題、長寬比例問題這幾個(gè)基本問題的學(xué)習(xí)后的探索活動(dòng)課，對(duì)于本節(jié)課我將從教材分析與學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析、教學(xué)目標(biāo)分析，教法的確定與學(xué)法指導(dǎo)，教學(xué)過程這四個(gè)方面加以闡述。

　　(一)教材分析與學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析

　　一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，其中一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中極具代表性，它是一元一次方程應(yīng)用的繼續(xù)，又是二次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，它是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型。本節(jié)課以一元二次方程解決的實(shí)際問題為載體，通過對(duì)它的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的過程幫助學(xué)生增強(qiáng)應(yīng)用認(rèn)識(shí)。

　　一元二次方程解實(shí)際問題的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，在幾何、物理及其它學(xué)科中都有應(yīng)用，因此它成為了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。這種應(yīng)用的廣泛性能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，能讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的快樂。本節(jié)課主要側(cè)重于一元二次方程在幾何方面的應(yīng)用

　　大量事實(shí)表明,學(xué)生解應(yīng)用題最大的難點(diǎn)是不會(huì)將實(shí)際問題提煉為數(shù)學(xué)問題，而列一元二次方程解決實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系比可以用一元一次方程解實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系要復(fù)雜一些。對(duì)于初中學(xué)生來說他們比較缺乏社會(huì)生活經(jīng)歷，收集信息處理信息的能力較弱，這就構(gòu)成了本節(jié)課的難點(diǎn)。

　　（二）數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：

　　人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

　　我根據(jù)新課標(biāo)對(duì)方程的具體要求和初三學(xué)生的認(rèn)知的特點(diǎn)，確定了如下教學(xué)目標(biāo)的:

　　1、知識(shí)與技能：能根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界某些問題的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。以一元二次方程解決實(shí)際問題為載體，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的基本方法的掌握。

　　2、過程與方法：經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述。

　　3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過用一元二次解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的價(jià)值，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的作用。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)做數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

　　教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決措施：

　　重點(diǎn)：列一元二次方程解實(shí)際問題。

　　難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系。

　　教師引導(dǎo)，學(xué)生自主探索、合作交流。

　　(三)教法的確定與學(xué)法指導(dǎo)

　　我們學(xué)校在去年實(shí)行了杜郎口中學(xué)的三三六的教學(xué)模式立體式、大容量、快節(jié)奏;自主學(xué)習(xí)三模塊：預(yù)習(xí)、展示、反饋;課堂展示六環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)交流、明確目標(biāo)、分組合作、展現(xiàn)提升、穿插鞏固、達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)。對(duì)于每個(gè)專題都要經(jīng)歷預(yù)習(xí)、展示和達(dá)標(biāo)檢測(cè)三個(gè)環(huán)節(jié)，經(jīng)過一年的訓(xùn)練，學(xué)生們已經(jīng)有較好的自學(xué)能力和小組合作能力，實(shí)踐表明，學(xué)生給學(xué)生講題，同學(xué)們會(huì)更有興趣，也更容易接受，學(xué)生通過自我展示不但能激發(fā)他們的表現(xiàn)欲，還能提高語言表達(dá)能力和競爭意識(shí)。我們讓各個(gè)小組輪流來當(dāng)課堂“小老師”，以提高他們的合作水平和對(duì)試題的閱讀理解能力，同學(xué)們和教師也會(huì)根據(jù)每個(gè)“小老師”講解的具體情況來進(jìn)行修正和補(bǔ)充，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律。為了鼓勵(lì)學(xué)生勤于思考，善于發(fā)問，我在課堂上引入“獎(jiǎng)勵(lì)分”制度，對(duì)于獨(dú)特解法或有提出創(chuàng)造性問題的同學(xué)和小組給予1——3分的獎(jiǎng)勵(lì)。本節(jié)課是對(duì)一元二次方程應(yīng)用的基本問題的學(xué)習(xí)后的探索活動(dòng)課，在預(yù)習(xí)課上我已經(jīng)下發(fā)了試題學(xué)案，并給每個(gè)小組分配了展示任務(wù)。學(xué)案上我選用了了四道實(shí)際問題，要求同學(xué)們找出試題特點(diǎn)和關(guān)鍵詞語以及易錯(cuò)點(diǎn)，并用硬紙板和鐵絲做出相應(yīng)的試題模型。預(yù)習(xí)課上學(xué)生先做題再合作，同學(xué)們之間有充分的交流和討論。

　　(四)教學(xué)過程分析

　　心理學(xué)研究表明，當(dāng)外部刺激喚起主體的情感活動(dòng)時(shí)，就更容易成為注意的中心，由此我選了這樣的幾道題：

　　1、在信息時(shí)代，郵政特快專遞越來越受到廣大用戶的青睞。我們同學(xué)要給“希望小學(xué)”郵寄一些學(xué)習(xí)用具，為了保證學(xué)習(xí)用具不受潮損壞，同學(xué)們決定自己制作一個(gè)包裝盒，為此，選用長80厘米，寬60厘米的紙板，在四個(gè)角截出四個(gè)大小相同的正方形，然后把四邊折起，做成一個(gè)底面積為1500平方厘米的無蓋長方體盒子，并配上相應(yīng)的蓋子，同學(xué)們想一想怎樣求出盒子的高?

　　我先讓每一個(gè)小組展示用硬紙板制作的模型，相互比較形狀各異的長方體的紙盒，談一談?dòng)惺裁窗l(fā)現(xiàn)，同學(xué)們會(huì)說：截出正方形的邊長不同，盒子的高，底面積也不同，還有正方形的邊長就是盒子的高。展示小組再將問題具體解答，不難列出方程并解出方程的解，教師追問展示小組請(qǐng)說出解這道題需要注意

22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 篇6

　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　1.內(nèi)容

　　用一元二次方程解決“封面設(shè)計(jì)問題”.

　　2.內(nèi)容解析

　　本節(jié)課是21.3 實(shí)際問題與一元二次方程的最后一課，設(shè)置這一探究的目的不僅是解決這個(gè)具體問題，而且是通過這個(gè)問題的解決讓學(xué)生再次經(jīng)歷建立和求解一元二次方程模型的完整過程，從而把模型思想、應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)落在實(shí)處.

　　在現(xiàn)實(shí)世界中，有許多可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型分析解決幾何圖形的問題原型.探究3以封面設(shè)計(jì)為問題背景，討論邊襯的寬度.在探究過程中正確建立方程模型依然是本節(jié)課的重點(diǎn).

　　二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

　　1.教學(xué)目標(biāo)

　　（1）會(huì)用一元二次方程解決“封面設(shè)計(jì)問題”；

　　（2）經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的基本能力.

　　2.目標(biāo)解析

　　（1）能根據(jù)具體的“圖形面積問題”正確設(shè)“元”，找出可以作為列方程依據(jù)的主要等量關(guān)系，并根據(jù)它列出一元二次方程，正確求解一元二次方程，能根據(jù)實(shí)際問題檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，進(jìn)而找出合乎實(shí)際的結(jié)果；

　　（2）完整地經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)模型思想，會(huì)用一元二次方程解決簡單的“圖形面積問題”.

　　三、教學(xué)問題診斷分析

　　探究3與以前的實(shí)際問題相比，它在分析數(shù)量關(guān)系方面更復(fù)雜，問題情境與實(shí)際情況也更接近，對(duì)于這樣的綜合性問題，學(xué)生缺乏解決問題的經(jīng)驗(yàn)，而且探究3的問題中沒有明確求什么，學(xué)生感覺無從下手.學(xué)生一般可以意識(shí)到要“設(shè)元”用方程解決問題，但如何設(shè)元，如何與幾何知識(shí)結(jié)合，挖掘題目圖形中隱蔽的相等關(guān)系，構(gòu)造方程模型對(duì)學(xué)生來說存在不同程度的困難，這也是本節(jié)課的難點(diǎn)所在.由于探究3的問題中，方程的兩個(gè)根都是正數(shù)，但它們并不都是問題的解，因此由數(shù)學(xué)問題的解得到實(shí)際問題的答案對(duì)于學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn).

　　四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

　　1.弄清題意

　　問題1　怎么理解“應(yīng)如何設(shè)計(jì)邊襯的寬度”這句話？

　　師生活動(dòng)　教師提問，學(xué)生思考、回答.

　　根據(jù)學(xué)生的回答情況，教師可通過追問：“設(shè)計(jì)邊襯的寬度要求幾個(gè)未知數(shù)？哪幾個(gè)，為什么？”加以引導(dǎo).

　　一般情況下，學(xué)生都能根據(jù)“上下邊襯等寬，左右邊襯等寬”得出“設(shè)計(jì)邊襯的寬度要求兩個(gè)未知數(shù)（上面的邊襯寬度和左面的邊襯寬度）”.

　　【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生明確“封面設(shè)計(jì)問題”中求的是什么，初步體會(huì)未知之間、已知與未知之間的聯(lián)系.

　　問題2　題目中還有哪些已知量、未知量，它們之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

　　師生活動(dòng)　學(xué)生讀題，思考，可以適當(dāng)討論.根據(jù)學(xué)生的回答情況，教師可通過追問加以引導(dǎo).如：如何理解“正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長度比例相同的矩形”這句話？“四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一”能告訴我們什么？

　　學(xué)生經(jīng)過思考、討論不難得出：中央長方形的長寬之比是9:7 ，長寬之積為.

　　【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生讀題、審題能力.

　　2.實(shí)現(xiàn)由文字語言、圖形語言到數(shù)學(xué)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換

　　問題3　如何把文字語言、圖形語言翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言？

　　師生活動(dòng)　學(xué)生思考并回答問題.這里要讓學(xué)生充分表達(dá)自己的觀點(diǎn)，教師可根據(jù)學(xué)生的回答，適時(shí)提示學(xué)生關(guān)注題目中的未知量、未知量之間的關(guān)系，以及它們與已知量的關(guān)系.

　　設(shè)上面邊襯寬度和左面邊襯寬度分別為 cm和cm，中央長方形的長和寬分別為x cm和y cm.

　　把“正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長度比例相同的矩形，四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一”翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言可得：.

　　教師追問： 四個(gè)未知數(shù)、，它們之間還存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

　　這是這節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，要給學(xué)生充分的時(shí)間獨(dú)立思考，如學(xué)生確有困難，教師可適時(shí)提示：探究3的問題中還有一個(gè)重要的條件“圖形”，同學(xué)們看看“圖形”告訴了我們什么？

　　把“圖形語言”翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言可得： .

　　【設(shè)計(jì)意圖】把“探究3”符號(hào)化，為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題創(chuàng)造條件.

　　3.解決問題

　　問題4　怎么解決“封面設(shè)計(jì)問題”？

　　師生活動(dòng)　教師與學(xué)生一起梳理，看看通過前面的分析都得到了哪些結(jié)論.

　　前面我們?cè)O(shè)了4個(gè)“元”和、和，它們分別代表中央長方形的長和寬 、上面邊襯寬度和左面邊襯寬度，它們之間存在如下的數(shù)量關(guān)系：

　　，.

　　教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這就是一個(gè)以、為未知數(shù)的四元方程組，找到這個(gè)方程組中的a、b的值，“封面設(shè)計(jì)問題”就迎刃而解了.

　　【設(shè)計(jì)意圖】樹立方程意識(shí)，滲透方程思想.

　　問題5　請(qǐng)你解這個(gè)方程組，并與同學(xué)交流一下你的解法.

　　師生活動(dòng)　學(xué)生獨(dú)立思考、解題，并與同學(xué)交流.教師請(qǐng)同學(xué)展示解法并進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

　　學(xué)生可能的解法：

　　（1），（2），（3），（4）.

　　方法一：由（1）、（2）求出x、y的值，分別代入（3）、（4）求出a、b的值.

　　說明1：在由（1）、（2）求、的過程中，可以依據(jù)，設(shè)簡化計(jì)算.

　　說明2：實(shí)際解題時(shí)，可以簡化“設(shè)元”部分，只設(shè)中央長方形的長和寬分別為 cm和cm，解方程求出的值，進(jìn)而求出中央長方形的長和寬，再用算術(shù)方法就可求出上面邊襯寬度和左面邊襯寬度.

　　方法二：由（3）、（4）變形得，把（5）、（6）分別代入（1）、（2）可得關(guān)于、的二元方程組，解這個(gè)方程組求出、的值.

　　說明：把（5）、（6）代入（2）化簡可得，可以依據(jù)，設(shè)，把代入（5）、（6）得到，再把（7）、（8）代入（1）求出值，進(jìn)而求出、的值.

　　【設(shè)計(jì)意圖】在體驗(yàn)解法多樣性的基礎(chǔ)上，樹立優(yōu)化意識(shí)，簡化計(jì)算，優(yōu)化解題形式.

　　問題6　你求出的、的值都是實(shí)際問題的解嗎？

　　師生活動(dòng)　教師提出問題，學(xué)生通過計(jì)算得出結(jié)論.

　　【設(shè)計(jì)意圖】與實(shí)際問題結(jié)合，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的解是否為實(shí)際問題的解.

　　4.回顧反思

　　問題7　通過這節(jié)課，你對(duì)“封面設(shè)計(jì)問題”有什么新的認(rèn)識(shí)，有何收獲和體會(huì)？

　　師生活動(dòng)　請(qǐng)學(xué)生回顧“封面設(shè)計(jì)問題”的探究過程，回答以下問題：

　　（1）探究解題的過程大致包含哪幾個(gè)步驟？

　　（2）在 “封面設(shè)計(jì)問題”的探究過程中，你遇到了哪些困難，是如何解決的？

　　【設(shè)計(jì)意圖】更好地體會(huì)建模思想，理解建模的一般步驟和方法.

　　5.布置作業(yè)

　　教科書習(xí)題21.3第5，8，9題.

　　五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

　　1.如圖，寬為50cm的矩形圖案由10個(gè)全等的小長方形拼成，則每個(gè)小長方形的面積為（　    ）.

　　a.　　　  b.　　　　c.　　　 d.

　　【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)現(xiàn)幾何圖形中隱蔽的相等關(guān)系.

　　2.(XX年,鎮(zhèn)江)學(xué)校為了美化校園環(huán)境，在一塊長40米、寬20米的長方形空地上計(jì)劃新建一塊長9米、寬7米的長方形花圃.

　　（1）若請(qǐng)你在這塊空地上設(shè)計(jì)一個(gè)長方形花圃，使它的面積比學(xué)校計(jì)劃新建的長方形花圃的面積多1平方米，請(qǐng)你給出你認(rèn)為合適的三種不同的方案。

　　（2）在學(xué)校計(jì)劃新建的長方形花圃周長不變的情況下，長方形花圃的面積能否增加2平方米？如果能，請(qǐng)求出長方形花圃的長和寬；如果不能，請(qǐng)說明理由。

　　【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生的審題能力及用一元二次方程模型解決簡單的圖形面積問題。