22.2.1 直接開平方法(精選4篇)
22.2.1 直接開平方法 篇1
教學內容
運用直接開平方法,即根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.
教學目標
理解一元二次方程“降次”──轉化的數學思想,并能應用它解決一些具體問題.
提出問題,列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據平方根的意義解出這個方程,然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重難點關鍵
1.重點:運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;領會降次──轉化的數學思想.
2.難點與關鍵:通過根據平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教學過程
一、復習引入
學生活動:請同學們完成下列各題
問題1.填空
。1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
問題2.如圖,在△abc中,∠b=90°,點p從點b開始,沿ab邊向點b以1cm/s的速度移動,點q從點b開始,沿bc邊向點c以2cm/s的速度移動,如果ab=6cm,bc=12cm,p、q都從b點同時出發,幾秒后△pbq的面積等于8cm2?
老師點評:
問題1:根據完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( )2 .
問題2:設x秒后△pbq的面積等于8cm2
則pb=x,bq=2x
依題意,得: x·2x=8
x2=8
根據平方根的意義,得x=±2
即x1=2 ,x2=-2
可以驗證,2 和-2 都是方程 x·2x=8的兩根,但是移動時間不能是負值.
所以2 秒后△pbq的面積等于8cm2.
二、探索新知
上面我們已經講了x2=8,根據平方根的意義,直接開平方得x=±2 ,如果x換元為2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接開平方的方法求解呢?
老師點評:回答是肯定的,把2t+1變為上面的x,那么2t+1=±2
即2t+1=2 ,2t+1=-2
方程的兩根為t1= - ,t2=- -
例1:解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一個完全平方公式,那么原方程就轉化為(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接開平方,得:x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的兩根x1=-1,x2=-3
例2.市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面積增長率.
分析:設每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:設每年人均住房面積增長率為x,
則:10(1+x)2=14.4
。1+x)2=1.44
直接開平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因為每年人均住房面積的增長率應為正的,因此,x2=-2.2應舍去.
所以,每年人均住房面積增長率應為20%.
解一元二次方程,它們的共同特點是什么?
共同特點:把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.
三、應用拓展
例3.某公司一月份營業額為1萬元,第一季度總營業額為3.31萬元,求該公司二、三月份營業額平均增長率是多少?
分析:設該公司二、三月份營業額平均增長率為x,那么二月份的營業額就應該是(1+x),三月份的營業額是在二月份的基礎上再增長的,應是(1+x)2.
解:設該公司二、三月份營業額平均增長率為x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)當成一個數,配方得:
(1+x+ )2=2.56,即(x+ )2=2.56
x+ =±1.6,即x+ =1.6,x+ =-1.6
方程的根為x1=10%,x2=-3.1
因為增長率為正數,
所以該公司二、三月份營業額平均增長率為10%.
四、歸納小結
本節課應掌握:
由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=± 轉化為應用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=± ,達到降次轉化之目的.
五、作業:
一、選擇題
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分別是( ).
a.p=4,q=2 b.p=4,q=-2 c.p=-4,q=2 d.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根為( ).
a.3 b.-3 c.±3 d.無實數根
3.用配方法解方程x2- x+1=0正確的解法是( ).
a.(x- )2= ,x= ±
b.(x- )2=- ,原方程無解
c.(x- )2= ,x1= + ,x2=
d.(x- )2=1,x1= ,x2=-
二、填空題
1.若8x2-16=0,則x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,這個一元二次方程的兩根是________.
3.如果a、b為實數,滿足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、綜合提高題
1.解關于x的方程(x+m)2=n.
2.某農場要建一個長方形的養雞場,雞場的一邊*墻(墻長25m),另三邊用木欄圍成,木欄長40m.
。1)雞場的面積能達到180m2嗎?能達到200m嗎?
。2)雞場的面積能達到210m2嗎?
3.在一次手工制作中,某同學準備了一根長4米的鐵絲,由于需要,現在要制成一個矩形方框,并且要使面積盡可能大,你能幫助這名同學制成方框,并說明你制作的理由嗎?
答案:
一、1.b 2.d 3.b
二、1.± 2.9或-3 3.-8
三、
1.當n≥0時,x+m=± ,x1= -m,x2=- -m.當n<0時,無解
2.
(1)都能達到.設寬為x,則長為40-2x,
依題意,得:x(40-2x)=180
整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+ ,x2=10- ;
同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,長為40-20=20.
。2)不能達到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,
b2-4ac=400-410=-10<0,無解,即不能達到.
3.因要制矩形方框,面積盡可能大,所以,應是正方形,即每邊長為1米的正方形.
22.2.1 直接開平方法 篇2
教學目標
1. 理解直接開平方法與平方根運算的聯系,學會用直接開平方法解特殊的一元二次方程;培養基本的運算能力;
2.知道形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接開平方法解.培養觀察、比較、分析、綜合等能力,會應用學過的知識去解決新的問題;
3. 鼓勵學生積極主動的參與“教”與“學”的整個過程,體會解方程過程中所蘊涵的化歸思想、整體思想和降次策略.
教學重點及難點
1、 用直接開平方法解一元二次方程;
2、理解直接開平方法中的整體思想,懂得(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接開平方法解
教學過程設計
一、情景引入,理解方法
看一看:特殊奧林匹克運動會的會標
想一想:
在XX年的特殊奧林匹克運動會的籌備過程中制玩具節舉辦的更加隆重,xx學校將在運動場搭建一個舞臺,其中一個方案是:在運動場正中間搭建一個面積為144平方米的正方形舞臺,那么請問這個舞臺的各邊邊長將會是多少米呢?
解:由題意得: x2=144
根據平方根的意義得:x=± 12
∴原方程的解是:x1=12 , x2=-12
∵邊長不能為負數
∴x=12
了解方法:
上述解方程的方法叫做直接開平方法.通過直接將某一個數開平方,解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.
【說明】用開平方法解形如ax2+c=0(a≠0)的方程有三種可能性,學生歸納是難點,教師要在學生具體感知的基礎上進行具體概括.通過兩個階段聯系后的探究意在培養學生探究一般規律的能力..
第三階段:怎樣解方程(1+x)2=144?
請四人學習小組共同研究,并給出一個解題過程.可以參考課本或其他資料.小組長負責清楚的記錄解題過程.
第四階段:眾人齊心當考官!
請各四人小組試著編一個類似于(x+1)2=144 這樣能用直接開平方法解的一元二次方程.
1、分析學生所編的方程.
2、從學生的編題中挑出一個方程給學生練習.
3、出示:思考:下列方程又該如何應用直接開平方法求解呢?
4(x+1)2-144=0
歸納:形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接開平方法解.
【說明】在第三、四階段的講解和練習中教師需讓學生體會到其中蘊涵了整體思想.
三、鞏固方法,提高能力
請大家幫幫忙,挑一挑,揀一揀,下列一元二次方程中,哪些更適宜用直接開平方法來解呢?
、 x2=3 ⑵ 3t2-t=0
、 3y2=27 ⑷ (y-1)2-4=0
、 (2x+3)2=6 ⑹ x2=36x
四、自主小結
今天我們學會了什么方法解一元二次方程?適合用開平方法解的一元二次方程有什么特點?
22.2.1 直接開平方法 篇3
直接開平方法
理解一元二次方程“降次”——轉化的數學思想,并能應用它解決一些具體問題.
提出問題,列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據平方根的意義解出這個方程,然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重點
運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,領會降次——轉化的數學思想.
難點
通過根據平方根的意義解形如x2=n的方程,將知識遷移到根據平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
一、復習引入
學生活動:請同學們完成下列各題.
問題1:填空
(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.
解:根據完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.
問題2:目前我們都學過哪些方程?二元怎樣轉化成一元?一元二次方程與一元一次方程有什么不同?二次如何轉化成一次?怎樣降次?以前學過哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我們已經講了x2=9,根據平方根的意義,直接開平方得x=±3,如果x換元為2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接開平方的方法求解呢?
(學生分組討論)
老師點評:回答是肯定的,把2t+1變為上面的x,那么2t+1=±3
即2t+1=3,2t+1=-3
方程的兩根為t1=1,t2=-2
例1 解方程:(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2
分析:(1)x2+4x+4是一個完全平方公式,那么原方程就轉化為(x+2)2=1.
(2)由已知,得:(x+3)2=2
直接開平方,得:x+3=±2
即x+3=2,x+3=-2
所以,方程的兩根x1=-3+2,x2=-3-2
解:略.
例2 市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面積增長率.
分析:設每年人均住房面積增長率為x,一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:設每年人均住房面積增長率為x,
則:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接開平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因為每年人均住房面積的增長率應為正的,因此,x2=-2.2應舍去.
所以,每年人均住房面積增長率應為20%.
(學生小結)老師引導提問:解一元二次方程,它們的共同特點是什么?
共同特點:把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.
三、鞏固練習
教材第6頁 練習.
四、課堂小結
本節課應掌握:由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程,那么x=±p轉化為應用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程,那么mx+n=±p,達到降次轉化之目的.若p<0則方程無解.
五、作業布置
22.2.1 直接開平方法 篇4
[課 題] §12.2 一元二次方程的解法(1)——直接開平方法[教學目的] 使學生掌握直接開平方法,并會解某些一元二次方程;使學生會解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,為進一步學習公式法作好準備。[教學重點] 掌握直接開平方法,并會解某些一元二次方程。[教學難點 ] 會解(x-a)2=b(b≥0)型的方程。[教學關鍵] 會解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,為進一步學習公式法作好準備。[教學用具] [教學形式] 講練結合法。[教學用時] 45′×1 [教學過程 ][復習提問] 1、什么叫做整式方程?(方程兩邊都是關于未知數的整式,叫做整式方程。)2、什么樣的方程叫做一元一次方程?什么樣的方程叫做一元二次方程?(在整式方程中,只含一個未知數,并且未知數的最高次數是1,這樣的方程叫做一元一次方程;在整式方程中,只含一個未知數,并且未知數的最高次數是2,這樣的方程叫做一元二次方程。)3、說明一元一次方程與一元二次方程的相同點和不同點?(都是整式方程,并且都含有一個未知數,這是它們的相同點;它們的不同點是未知數的次數,一個是一次,一個是二次。)4、一元二次方程的一般形式是什么?其中a應具備什么條件?(一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0,其中a應不等于零。因為a=0,則方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。)5、x2-4=0是一元二次方程嗎?其中二次項的系數、一次項的系數、常數項各是什么?(是。二次項系數是1、一次項系數是0、常數項是-4。)[講解新課]我們來解方程:x2-4=0。先移項,得:x2=4。(這里,一個數x的平方等于4,這個數x叫做4的什么?——這個數x叫做4的平方根或二次方根;一個正數有幾個平方根?——一個正數有兩個平方根,它們互為相反數;求一個數的平方根的運算叫做什么?——叫做開平方。)上面的x2=4,實際上就是求4的平方根。因此,x=± 即,x1=2,x2=-2。講(或提問)到此,指出 :這種解某些一元二次方程的方法叫做直接開平方法。提問:用直接開平方法解下列方程:1、x2-144=0; 2、x2-3=0;3、x2+16=0; 4、x2=0。(1、x1=12,x2=-12;2、x1=,x2=- ;3、無解——負數沒有平方根;4、x=0——0有一個平方根,它是0本身)。例2 解方程:(x+3)2=2。說明與分析:此例要求解出方程的根,同時通過此例的學習也為進一步解公式法作準備。實際上,我們將用此例以及類似的題目推導出一元二次方程的另一解法——配方法?梢钥闯,原方程中x+3是2的平方根,解:x+3=± 即:x1=-3+ ,或x2=-3- 。∴ x1=-3+ ,x2=-3- 。提問:解下列方程:1、(x+4)2=3; 2、(3x+1)2=-3。(1、x1=-4+ ,x2=-4- 。2、無解。)[課堂練習]教科書第7頁練習1,2題。[課堂小結]直接開平方法可解下列類型的一元二次方程:x2=b(b≥0);(x-a)2=b(b≥0)。根據平方根的定義,要特別注意:由于負數沒有平方根,所以,上列兩式中的b≥0,當b<0時,方程無解。[課外作業 ]教科書第15習題12.1A組第1,2題。對學有余力的學生可做B組第1題。 [板書設計 ]課題: 例題:輔助板書: [課后記]
通過本節課的學習,學生已掌握了一元二次方程的解法之一——直接開平方法,并能熟練地求出能應用直接開平方法解的一元二次方程的兩個根,同時掌握了一元二次方程的解題步驟及書寫格式。