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22.2.1 直接開平方法

發布時間:2022-11-15

22.2.1 直接開平方法(精選4篇)

22.2.1 直接開平方法 篇1

  教學內容

  運用直接開平方法,即根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.

  教學目標

  理解一元二次方程“降次”──轉化的數學思想,并能應用它解決一些具體問題.

  提出問題,列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據平方根的意義解出這個方程,然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

  重難點關鍵

  1.重點:運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;領會降次──轉化的數學思想.

  2.難點與關鍵:通過根據平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

  教學過程

  一、復習引入

  學生活動:請同學們完成下列各題

  問題1.填空

 。1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.

  問題2.如圖,在△abc中,∠b=90°,點p從點b開始,沿ab邊向點b以1cm/s的速度移動,點q從點b開始,沿bc邊向點c以2cm/s的速度移動,如果ab=6cm,bc=12cm,p、q都從b點同時出發,幾秒后△pbq的面積等于8cm2?

  老師點評:

  問題1:根據完全平方公式可得:(1)16  4;(2)4  2;(3)( )2   .

  問題2:設x秒后△pbq的面積等于8cm2

  則pb=x,bq=2x

  依題意,得: x·2x=8

  x2=8

  根據平方根的意義,得x=±2

  即x1=2 ,x2=-2

  可以驗證,2 和-2 都是方程 x·2x=8的兩根,但是移動時間不能是負值.

  所以2 秒后△pbq的面積等于8cm2.

  二、探索新知

  上面我們已經講了x2=8,根據平方根的意義,直接開平方得x=±2 ,如果x換元為2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接開平方的方法求解呢?

  老師點評:回答是肯定的,把2t+1變為上面的x,那么2t+1=±2

  即2t+1=2 ,2t+1=-2

  方程的兩根為t1= - ,t2=- -

  例1:解方程:x2+4x+4=1

  分析:很清楚,x2+4x+4是一個完全平方公式,那么原方程就轉化為(x+2)2=1.

  解:由已知,得:(x+2)2=1

  直接開平方,得:x+2=±1

  即x+2=1,x+2=-1

  所以,方程的兩根x1=-1,x2=-3

  例2.市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面積增長率.

  分析:設每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

  解:設每年人均住房面積增長率為x,

  則:10(1+x)2=14.4

 。1+x)2=1.44

  直接開平方,得1+x=±1.2

  即1+x=1.2,1+x=-1.2

  所以,方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

  因為每年人均住房面積的增長率應為正的,因此,x2=-2.2應舍去.

  所以,每年人均住房面積增長率應為20%.

  解一元二次方程,它們的共同特點是什么?

  共同特點:把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.

  三、應用拓展

  例3.某公司一月份營業額為1萬元,第一季度總營業額為3.31萬元,求該公司二、三月份營業額平均增長率是多少?

  分析:設該公司二、三月份營業額平均增長率為x,那么二月份的營業額就應該是(1+x),三月份的營業額是在二月份的基礎上再增長的,應是(1+x)2.

  解:設該公司二、三月份營業額平均增長率為x.

  那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

  把(1+x)當成一個數,配方得:

  (1+x+ )2=2.56,即(x+ )2=2.56

  x+ =±1.6,即x+ =1.6,x+ =-1.6

  方程的根為x1=10%,x2=-3.1

  因為增長率為正數,

  所以該公司二、三月份營業額平均增長率為10%.

  四、歸納小結

  本節課應掌握:

  由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=± 轉化為應用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=± ,達到降次轉化之目的.

  五、作業:

  一、選擇題

  1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分別是(  ).

  a.p=4,q=2     b.p=4,q=-2     c.p=-4,q=2    d.p=-4,q=-2

  2.方程3x2+9=0的根為(  ).

  a.3      b.-3      c.±3     d.無實數根

  3.用配方法解方程x2- x+1=0正確的解法是(  ).

  a.(x- )2= ,x= ±

  b.(x- )2=- ,原方程無解

  c.(x- )2= ,x1= + ,x2=

  d.(x- )2=1,x1= ,x2=-

  二、填空題

  1.若8x2-16=0,則x的值是_________.

  2.如果方程2(x-3)2=72,那么,這個一元二次方程的兩根是________.

  3.如果a、b為實數,滿足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.

  三、綜合提高題

  1.解關于x的方程(x+m)2=n.

  2.某農場要建一個長方形的養雞場,雞場的一邊*墻(墻長25m),另三邊用木欄圍成,木欄長40m.

 。1)雞場的面積能達到180m2嗎?能達到200m嗎?

 。2)雞場的面積能達到210m2嗎?

  3.在一次手工制作中,某同學準備了一根長4米的鐵絲,由于需要,現在要制成一個矩形方框,并且要使面積盡可能大,你能幫助這名同學制成方框,并說明你制作的理由嗎?

  答案:

      一、1.b  2.d  3.b

  二、1.±   2.9或-3  3.-8

  三、

  1.當n≥0時,x+m=± ,x1= -m,x2=- -m.當n<0時,無解

  2.

  (1)都能達到.設寬為x,則長為40-2x,

  依題意,得:x(40-2x)=180    

  整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+ ,x2=10- ;

  同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,長為40-20=20.

 。2)不能達到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,

  b2-4ac=400-410=-10<0,無解,即不能達到.

  3.因要制矩形方框,面積盡可能大,所以,應是正方形,即每邊長為1米的正方形.

22.2.1 直接開平方法 篇2

  教學目標

  1. 理解直接開平方法與平方根運算的聯系,學會用直接開平方法解特殊的一元二次方程;培養基本的運算能力;

  2.知道形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接開平方法解.培養觀察、比較、分析、綜合等能力,會應用學過的知識去解決新的問題;

  3. 鼓勵學生積極主動的參與“教”與“學”的整個過程,體會解方程過程中所蘊涵的化歸思想、整體思想和降次策略.

  教學重點及難點

  1、 用直接開平方法解一元二次方程;

  2、理解直接開平方法中的整體思想,懂得(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接開平方法解

  教學過程設計

  一、情景引入,理解方法

  看一看:特殊奧林匹克運動會的會標

  想一想:

  在XX年的特殊奧林匹克運動會的籌備過程中制玩具節舉辦的更加隆重,xx學校將在運動場搭建一個舞臺,其中一個方案是:在運動場正中間搭建一個面積為144平方米的正方形舞臺,那么請問這個舞臺的各邊邊長將會是多少米呢?

  解:由題意得: x2=144

  根據平方根的意義得:x=± 12

  ∴原方程的解是:x1=12 , x2=-12

  ∵邊長不能為負數

  ∴x=12

  了解方法:

  上述解方程的方法叫做直接開平方法.通過直接將某一個數開平方,解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.

  【說明】用開平方法解形如ax2+c=0(a≠0)的方程有三種可能性,學生歸納是難點,教師要在學生具體感知的基礎上進行具體概括.通過兩個階段聯系后的探究意在培養學生探究一般規律的能力..

  第三階段:怎樣解方程(1+x)2=144?

  請四人學習小組共同研究,并給出一個解題過程.可以參考課本或其他資料.小組長負責清楚的記錄解題過程.

  第四階段:眾人齊心當考官!

  請各四人小組試著編一個類似于(x+1)2=144 這樣能用直接開平方法解的一元二次方程.

  1、分析學生所編的方程.

  2、從學生的編題中挑出一個方程給學生練習.

  3、出示:思考:下列方程又該如何應用直接開平方法求解呢?

  4(x+1)2-144=0

  歸納:形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接開平方法解.

  【說明】在第三、四階段的講解和練習中教師需讓學生體會到其中蘊涵了整體思想.

  三、鞏固方法,提高能力

  請大家幫幫忙,挑一挑,揀一揀,下列一元二次方程中,哪些更適宜用直接開平方法來解呢?

 、  x2=3              ⑵  3t2-t=0

 、  3y2=27            ⑷  (y-1)2-4=0

 、  (2x+3)2=6         ⑹  x2=36x

  四、自主小結

  今天我們學會了什么方法解一元二次方程?適合用開平方法解的一元二次方程有什么特點?

22.2.1 直接開平方法 篇3

  直接開平方法

  理解一元二次方程“降次”——轉化的數學思想,并能應用它解決一些具體問題.

  提出問題,列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據平方根的意義解出這個方程,然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

  重點

  運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,領會降次——轉化的數學思想.

  難點

  通過根據平方根的意義解形如x2=n的方程,將知識遷移到根據平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

  一、復習引入

  學生活動:請同學們完成下列各題.

  問題1:填空

  (1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.

  解:根據完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.

  問題2:目前我們都學過哪些方程?二元怎樣轉化成一元?一元二次方程與一元一次方程有什么不同?二次如何轉化成一次?怎樣降次?以前學過哪些降次的方法?

  二、探索新知

  上面我們已經講了x2=9,根據平方根的意義,直接開平方得x=±3,如果x換元為2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接開平方的方法求解呢?

  (學生分組討論)

  老師點評:回答是肯定的,把2t+1變為上面的x,那么2t+1=±3

  即2t+1=3,2t+1=-3

  方程的兩根為t1=1,t2=-2

  例1 解方程:(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2

  分析:(1)x2+4x+4是一個完全平方公式,那么原方程就轉化為(x+2)2=1.

  (2)由已知,得:(x+3)2=2

  直接開平方,得:x+3=±2

  即x+3=2,x+3=-2

  所以,方程的兩根x1=-3+2,x2=-3-2

  解:略.

  例2 市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面積增長率.

  分析:設每年人均住房面積增長率為x,一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

  解:設每年人均住房面積增長率為x,

  則:10(1+x)2=14.4

  (1+x)2=1.44

  直接開平方,得1+x=±1.2

  即1+x=1.2,1+x=-1.2

  所以,方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

  因為每年人均住房面積的增長率應為正的,因此,x2=-2.2應舍去.

  所以,每年人均住房面積增長率應為20%.

  (學生小結)老師引導提問:解一元二次方程,它們的共同特點是什么?

  共同特點:把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.

  三、鞏固練習

  教材第6頁 練習.

  四、課堂小結

  本節課應掌握:由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程,那么x=±p轉化為應用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程,那么mx+n=±p,達到降次轉化之目的.若p<0則方程無解.

  五、作業布置

22.2.1 直接開平方法 篇4

  [課    題]  §12.2  一元二次方程的解法(1)——直接開平方法[教學目的]  使學生掌握直接開平方法,并會解某些一元二次方程;使學生會解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,為進一步學習公式法作好準備。[教學重點]  掌握直接開平方法,并會解某些一元二次方程。[教學難點 ]  會解(x-a)2=b(b≥0)型的方程。[教學關鍵]  會解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,為進一步學習公式法作好準備。[教學用具]  [教學形式]  講練結合法。[教學用時]  45′×1 [教學過程 ][復習提問1、什么叫做整式方程?(方程兩邊都是關于未知數的整式,叫做整式方程。)2、什么樣的方程叫做一元一次方程?什么樣的方程叫做一元二次方程?(在整式方程中,只含一個未知數,并且未知數的最高次數是1,這樣的方程叫做一元一次方程;在整式方程中,只含一個未知數,并且未知數的最高次數是2,這樣的方程叫做一元二次方程。)3、說明一元一次方程與一元二次方程的相同點和不同點?(都是整式方程,并且都含有一個未知數,這是它們的相同點;它們的不同點是未知數的次數,一個是一次,一個是二次。)4、一元二次方程的一般形式是什么?其中a應具備什么條件?(一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0,其中a應不等于零。因為a=0,則方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。)5、x2-4=0是一元二次方程嗎?其中二次項的系數、一次項的系數、常數項各是什么?(是。二次項系數是1、一次項系數是0、常數項是-4。)[講解新課]我們來解方程:x2-4=0。先移項,得:x2=4。(這里,一個數x的平方等于4,這個數x叫做4的什么?——這個數x叫做4的平方根或二次方根;一個正數有幾個平方根?——一個正數有兩個平方根,它們互為相反數;求一個數的平方根的運算叫做什么?——叫做開平方。)上面的x2=4,實際上就是求4的平方根。因此,x=± 即,x1=2,x2=-2。講(或提問)到此,指出 :這種解某些一元二次方程的方法叫做直接開平方法。提問:用直接開平方法解下列方程:1、x2-144=0;           2、x2-3=0;3、x2+16=0;             4、x2=0。(1、x1=12,x2=-12;2、x1=,x2=- ;3、無解——負數沒有平方根;4、x=0——0有一個平方根,它是0本身)。2  解方程:(x+3)2=2。說明與分析:此例要求解出方程的根,同時通過此例的學習也為進一步解公式法作準備。實際上,我們將用此例以及類似的題目推導出一元二次方程的另一解法——配方法?梢钥闯,原方程中x+3是2的平方根,解:x+3=± 即:x1=-3+ ,或x2=-3- 。∴  x1=-3+ ,x2=-3- 。提問:解下列方程:1、(x+4)2=3;        2、(3x+1)2=-3。(1、x1=-4+ ,x2=-4- 。2、無解。)[課堂練習]教科書第7頁練習1,2題。[課堂小結]直接開平方法可解下列類型的一元二次方程:x2=b(b≥0);(x-a)2=b(b≥0)。根據平方根的定義,要特別注意:由于負數沒有平方根,所以,上列兩式中的b≥0,當b<0時,方程無解。[課外作業 ]教科書第15習題12.1A組第1,2題。對學有余力的學生可做B組第1題。 [板書設計 ]課題:      例題:輔助板書: [課后記]

  通過本節課的學習,學生已掌握了一元二次方程的解法之一——直接開平方法,并能熟練地求出能應用直接開平方法解的一元二次方程的兩個根,同時掌握了一元二次方程的解題步驟及書寫格式。

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