22.2.1 直接開平方法（精選4篇）

22.2.1 直接開平方法 篇1

　　教學內容

　　運用直接開平方法，即根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.

　　教學目標

　　理解一元二次方程“降次”──轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題.

　　提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.

　　重難點關鍵

　　1.重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領會降次──轉化的數學思想.

　　2.難點與關鍵：通過根據平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程.

　　教學過程

　　一、復習引入

　　學生活動：請同學們完成下列各題

　　問題1.填空

　�。�1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2.

　　問題2.如圖，在△abc中，∠b=90°，點p從點b開始，沿ab邊向點b以1cm/s的速度移動，點q從點b開始，沿bc邊向點c以2cm/s的速度移動，如果ab=6cm，bc=12cm，p、q都從b點同時出發，幾秒后△pbq的面積等于8cm2？

　　老師點評：

　　問題1：根據完全平方公式可得：（1）16  4；（2）4  2；（3）（ ）2   .

　　問題2：設x秒后△pbq的面積等于8cm2

　　則pb=x，bq=2x

　　依題意，得： x·2x=8

　　x2=8

　　根據平方根的意義，得x=±2

　　即x1=2 ，x2=-2

　　可以驗證，2 和-2 都是方程 x·2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值.

　　所以2 秒后△pbq的面積等于8cm2.

　　二、探索新知

　　上面我們已經講了x2=8，根據平方根的意義，直接開平方得x=±2 ，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？

　　老師點評：回答是肯定的，把2t+1變為上面的x，那么2t+1=±2

　　即2t+1=2 ，2t+1=-2

　　方程的兩根為t1= - ，t2=- -

　　例1：解方程：x2+4x+4=1

　　分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為（x+2）2=1.

　　解：由已知，得：（x+2）2=1

　　直接開平方，得：x+2=±1

　　即x+2=1，x+2=-1

　　所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3

　　例2.市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率.

　　分析：設每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

　　解：設每年人均住房面積增長率為x，

　　則：10（1+x）2=14.4

　�。�1+x）2=1.44

　　直接開平方，得1+x=±1.2

　　即1+x=1.2，1+x=-1.2

　　所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

　　因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去.

　　所以，每年人均住房面積增長率應為20%.

　　解一元二次方程，它們的共同特點是什么？

　　共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.

　　三、應用拓展

　　例3.某公司一月份營業額為1萬元，第一季度總營業額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業額平均增長率是多少？

　　分析：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x，那么二月份的營業額就應該是（1+x），三月份的營業額是在二月份的基礎上再增長的，應是（1+x）2.

　　解：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x.

　　那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31

　　把（1+x）當成一個數，配方得：

　　（1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=2.56

　　x+ =±1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6

　　方程的根為x1=10%，x2=-3.1

　　因為增長率為正數，

　　所以該公司二、三月份營業額平均增長率為10%.

　　四、歸納小結

　　本節課應掌握：

　　由應用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=± 轉化為應用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± ，達到降次轉化之目的.

　　五、作業：

　　一、選擇題

　　1.若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（  ）.

　　a.p=4，q=2     b.p=4，q=-2     c.p=-4，q=2    d.p=-4，q=-2

　　2.方程3x2+9=0的根為（  ）.

　　a.3      b.-3      c.±3     d.無實數根

　　3.用配方法解方程x2- x+1=0正確的解法是（  ）.

　　a.（x- ）2= ，x= ±

　　b.（x- ）2=- ，原方程無解

　　c.（x- ）2= ，x1= + ，x2=

　　d.（x- ）2=1，x1= ，x2=-

　　二、填空題

　　1.若8x2-16=0，則x的值是_________.

　　2.如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是________.

　　3.如果a、b為實數，滿足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______.

　　三、綜合提高題

　　1.解關于x的方程（x+m）2=n.

　　2.某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊*墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m.

　�。�1）雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m嗎？

　�。�2）雞場的面積能達到210m2嗎？

　　3.在一次手工制作中，某同學準備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現在要制成一個矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學制成方框，并說明你制作的理由嗎？

　　答案:

　　    一、1.b  2.d  3.b

　　二、1.±   2.9或-3  3.-8

　　三、

　　1.當n≥0時，x+m=± ，x1= -m，x2=- -m.當n<0時，無解

　　2.

　　（1）都能達到.設寬為x，則長為40-2x，

　　依題意，得：x（40-2x）=180    

　　整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+ ，x2=10- ；

　　同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，長為40-20=20.

　�。�2）不能達到.同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，

　　b2-4ac=400-410=-10<0，無解，即不能達到.

　　3.因要制矩形方框，面積盡可能大，所以，應是正方形，即每邊長為1米的正方形.

22.2.1 直接開平方法 篇2

　　教學目標

　　1. 理解直接開平方法與平方根運算的聯系，學會用直接開平方法解特殊的一元二次方程；培養基本的運算能力；

　　2.知道形如（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接開平方法解.培養觀察、比較、分析、綜合等能力，會應用學過的知識去解決新的問題；

　　3. 鼓勵學生積極主動的參與“教”與“學”的整個過程，體會解方程過程中所蘊涵的化歸思想、整體思想和降次策略.

　　教學重點及難點

　　1、 用直接開平方法解一元二次方程；

　　2、理解直接開平方法中的整體思想，懂得（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接開平方法解

　　教學過程設計

　　一、情景引入，理解方法

　　看一看：特殊奧林匹克運動會的會標

　　想一想：

　　在XX年的特殊奧林匹克運動會的籌備過程中制玩具節舉辦的更加隆重，xx學校將在運動場搭建一個舞臺，其中一個方案是：在運動場正中間搭建一個面積為144平方米的正方形舞臺，那么請問這個舞臺的各邊邊長將會是多少米呢？

　　解：由題意得： x2=144

　　根據平方根的意義得：x=± 12

　　∴原方程的解是：x1=12 , x2=-12

　　∵邊長不能為負數

　　∴x＝12

　　了解方法：

　　上述解方程的方法叫做直接開平方法.通過直接將某一個數開平方，解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.

　　【說明】用開平方法解形如ax2+c=0（a≠0）的方程有三種可能性，學生歸納是難點，教師要在學生具體感知的基礎上進行具體概括.通過兩個階段聯系后的探究意在培養學生探究一般規律的能力..

　　第三階段：怎樣解方程（1+x）2=144?

　　請四人學習小組共同研究，并給出一個解題過程.可以參考課本或其他資料.小組長負責清楚的記錄解題過程.

　　第四階段：眾人齊心當考官！

　　請各四人小組試著編一個類似于(x+1)2=144 這樣能用直接開平方法解的一元二次方程.

　　1、分析學生所編的方程.

　　2、從學生的編題中挑出一個方程給學生練習.

　　3、出示：思考：下列方程又該如何應用直接開平方法求解呢？

　　4（x＋1）2－144＝0

　　歸納：形如（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接開平方法解.

　　【說明】在第三、四階段的講解和練習中教師需讓學生體會到其中蘊涵了整體思想.

　　三、鞏固方法，提高能力

　　請大家幫幫忙，挑一挑，揀一揀，下列一元二次方程中，哪些更適宜用直接開平方法來解呢？

　�、�  x2=3              ⑵  3t2-t=0

　�、�  3y2=27            ⑷  (y-1)2-4=0

　�、�  (2x+3)2=6         ⑹  x2=36x

　　四、自主小結

　　今天我們學會了什么方法解一元二次方程？適合用開平方法解的一元二次方程有什么特點？

22.2.1 直接開平方法 篇3

　　直接開平方法

　　理解一元二次方程“降次”——轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題.

　　提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2＋c＝0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程.

　　重點

　　運用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，領會降次——轉化的數學思想.

　　難點

　　通過根據平方根的意義解形如x2＝n的方程，將知識遷移到根據平方根的意義解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.

　　一、復習引入

　　學生活動：請同學們完成下列各題.

　　問題1：填空

　　(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.

　　解：根據完全平方公式可得：(1)16　4；(2)4　2；(3)(p2)2　p2.

　　問題2：目前我們都學過哪些方程？二元怎樣轉化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉化成一次？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？

　　二、探索新知

　　上面我們已經講了x2＝9，根據平方根的意義，直接開平方得x＝±3，如果x換元為2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接開平方的方法求解呢？

　　(學生分組討論)

　　老師點評：回答是肯定的，把2t＋1變為上面的x，那么2t＋1＝±3

　　即2t＋1＝3，2t＋1＝－3

　　方程的兩根為t1＝1，t2＝－2

　　例1　解方程：(1)x2＋4x＋4＝1　(2)x2＋6x＋9＝2

　　分析：(1)x2＋4x＋4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(x＋2)2＝1.

　　(2)由已知，得：(x＋3)2＝2

　　直接開平方，得：x＋3＝±2

　　即x＋3＝2，x＋3＝－2

　　所以，方程的兩根x1＝－3＋2，x2＝－3－2

　　解：略.

　　例2　市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率.

　　分析：設每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應該是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面積就應該是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2

　　解：設每年人均住房面積增長率為x，

　　則：10(1＋x)2＝14.4

　　(1＋x)2＝1.44

　　直接開平方，得1＋x＝±1.2

　　即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2

　　所以，方程的兩根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2

　　因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2＝－2.2應舍去.

　　所以，每年人均住房面積增長率應為20%.

　　(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？

　　共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.

　　三、鞏固練習

　　教材第6頁　練習.

　　四、課堂小結

　　本節課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p轉化為應用直接開平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，達到降次轉化之目的.若p＜0則方程無解.

　　五、作業布置

22.2.1 直接開平方法 篇4

　　[課    題]  §12.2  一元二次方程的解法（1）——直接開平方法[教學目的]  使學生掌握直接開平方法，并會解某些一元二次方程；使學生會解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，為進一步學習公式法作好準備。[教學重點]  掌握直接開平方法，并會解某些一元二次方程。[教學難點 ]  會解（x－a）2=b（b≥0）型的方程。[教學關鍵]  會解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，為進一步學習公式法作好準備。[教學用具]  [教學形式]  講練結合法。[教學用時]  45′×1 [教學過程 ][復習提問]  1、什么叫做整式方程？（方程兩邊都是關于未知數的整式，叫做整式方程。）2、什么樣的方程叫做一元一次方程？什么樣的方程叫做一元二次方程？（在整式方程中，只含一個未知數，并且未知數的最高次數是1，這樣的方程叫做一元一次方程；在整式方程中，只含一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的方程叫做一元二次方程。）3、說明一元一次方程與一元二次方程的相同點和不同點？（都是整式方程，并且都含有一個未知數，這是它們的相同點；它們的不同點是未知數的次數，一個是一次，一個是二次。）4、一元二次方程的一般形式是什么？其中a應具備什么條件？（一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0，其中a應不等于零。因為a=0，則方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。）5、x2－4=0是一元二次方程嗎？其中二次項的系數、一次項的系數、常數項各是什么？（是。二次項系數是1、一次項系數是0、常數項是－4。）[講解新課]我們來解方程：x2－4=0。先移項，得：x2=4。（這里，一個數x的平方等于4，這個數x叫做4的什么？——這個數x叫做4的平方根或二次方根；一個正數有幾個平方根？——一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；求一個數的平方根的運算叫做什么？——叫做開平方。）上面的x2=4，實際上就是求4的平方根。因此，x=± 即，x1=2，x2=－2。講（或提問）到此，指出 ：這種解某些一元二次方程的方法叫做直接開平方法。提問：用直接開平方法解下列方程：1、x2－144=0；           2、x2－3=0；3、x2+16=0；             4、x2=0。（1、x1=12，x2=－12；2、x1=，x2=－ ；3、無解——負數沒有平方根；4、x=0——0有一個平方根，它是0本身）。例2  解方程：（x+3）2=2。說明與分析：此例要求解出方程的根，同時通過此例的學習也為進一步解公式法作準備。實際上，我們將用此例以及類似的題目推導出一元二次方程的另一解法——配方法�？梢钥闯�，原方程中x+3是2的平方根，解：x+3=± 即：x1=－3+ ，或x2=－3－ 。∴  x1=－3+ ，x2=－3－ 。提問：解下列方程：1、（x+4）2=3；        2、（3x+1）2=－3。（1、x1=－4+ ，x2=－4－ 。2、無解。）[課堂練習]教科書第7頁練習1，2題。[課堂小結]直接開平方法可解下列類型的一元二次方程：x2=b（b≥0）；（x－a）2=b（b≥0）。根據平方根的定義，要特別注意：由于負數沒有平方根，所以，上列兩式中的b≥0，當b＜0時，方程無解。[課外作業 ]教科書第15習題12.1A組第1，2題。對學有余力的學生可做B組第1題。 [板書設計 ]課題：      例題：輔助板書： [課后記]

　　通過本節課的學習，學生已掌握了一元二次方程的解法之一——直接開平方法，并能熟練地求出能應用直接開平方法解的一元二次方程的兩個根，同時掌握了一元二次方程的解題步驟及書寫格式。