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三角形相似的判定

三角形相似的判定

教學(xué)建議

知識(shí)結(jié)構(gòu)

重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

相似三角形的判定及應(yīng)用是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn).

它是本章的主要內(nèi)容之一,是在學(xué)完相似三角形的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究相似三角形的本質(zhì),以完成對相似三角形的定義、判定全面研究.相似三角形的判定還是研究相似三角形性質(zhì)的基礎(chǔ),是今后研究圓中線段關(guān)系的工具.

它的難度較大,是因?yàn)榍懊嫠鶎W(xué)的知識(shí)主要用來證明兩條線段相等,兩個(gè)角相等,兩條直線平行、垂直等.借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形.但是到了相似形,主要是研究線段之間的比例關(guān)系,借助于圖形進(jìn)行觀察比較困難,主要是借助于邏輯的體系進(jìn)行分析、探求,難度較大.

釋疑解難

(1)全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比為1時(shí)的特殊情況,判定兩個(gè)三角形全等的3個(gè)定理和判定兩個(gè)三角形相似的3個(gè)定理之間有內(nèi)在的聯(lián)系,不同之處僅在于前者是后者相似比為1的情況.

(2)相似三角形的判定定理的選擇:①已知有一角相等時(shí),可選擇判定定理1與判定定理2;②已知有二邊對應(yīng)成比例時(shí),可選擇判定定理2與判定定理3;③判定直角三角形相似時(shí),首先看是否可以用判定直角三角形的方法來判定,如果不能,再考慮用判定一般三角形相似的方法來判定.

(3)相似三角形的判定定理的作用:①可以用來判定兩個(gè)三角形相似;②間接證明角相等、線段域比例;③間接地為計(jì)算線段的長度及角的大小創(chuàng)造條件.

(4)三角形相似的基本圖形:①平行型:如圖1,“A”型即公共角對的邊平行,“×”型即對頂角對的邊平行,都可推出兩個(gè)三角形相似;②相交線型:如圖2,公共角對的邊不平行,即相交或延長線相交或?qū)斀撬鶎呇娱L相交.圖中幾種情況只要配上一對角相等,或夾公共角(或?qū)斀牵┑膬蛇叧杀壤,就可以判定兩個(gè)三角形相似。

 

 

 

(第1課時(shí))

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.使學(xué)生了解判定定理1及直角三角形相似定理的證明方法并會(huì)應(yīng)用,掌握例2的結(jié)論.

2.繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學(xué)生對類比數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和理解.

3.通過了解定理的證明方法,培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)證明新命題的能力.

4.通過學(xué)習(xí),了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點(diǎn).

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

類比學(xué)習(xí),探討發(fā)現(xiàn)

三、重點(diǎn)及難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn):是判定定理l及直角三角形相似定理的應(yīng)用,以及例2的結(jié)論.

2.教學(xué)難點(diǎn) :是了解判定定理1的證題方法與思路.

四、課時(shí)安排

1課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

多媒體、常用畫圖工具、

六、教學(xué)步驟 

[復(fù)習(xí)提問]

1.什么叫相似三角形?什么叫相似比?

2.敘述預(yù)備定理.由預(yù)備定理的題所構(gòu)成的三角形是哪兩種情況.

[講解新課]

我們知道,用相似三角形的定義可以判定兩個(gè)三角形相似,但涉及的條件較多,需要有

三對對應(yīng)角相等,三條對應(yīng)邊的比也都相等,顯然用起來很不方便.那么從本節(jié)課開始我們

來研究能不能用較少的幾個(gè)條件就能判定三角形相似呢?

上節(jié)課講的預(yù)備定理實(shí)際上就是一個(gè)判定三角形相似的方法,現(xiàn)在再來學(xué)習(xí)幾種方法.

我們已經(jīng)知道,全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比為1時(shí)的特殊情況,判定兩個(gè)三角形

全等的三個(gè)公理和判定兩個(gè)三角形相似的三個(gè)定理之間有內(nèi)在的聯(lián)系,不同處僅在于前者是后者相似比等于1的情況,教學(xué)時(shí)可先指出全等三角形與相似三角形之間的關(guān)系,然后引導(dǎo)學(xué)生自己用類比的方法找出新的命題,如:

問:判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種?

答:SAS、ASA(AAS)、SSS、HL.

問:全等三角形判定中的“對應(yīng)角相等”及“對應(yīng)邊相等”的語句,用到中應(yīng)如何說?

答:“對應(yīng)角相等”不變,“對應(yīng)邊相等”說成“對應(yīng)邊成比例”.

問:我們知道,一條邊是寫不出比的,那么你能否由“ASA”或“AAS”,采用類比的方法,引出一個(gè)關(guān)于三角形相似判定的新的命題呢?

答:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

強(qiáng)調(diào):(1)學(xué)生在回答中,如出現(xiàn)問題,教師要予以啟發(fā)、引導(dǎo)、糾正.

(2)用類比方法找出的新命題一定要加以證明.

如圖5-53,在△ABC和△ 中, , .

問:△ABC和△ 是否相似?

分析:可采用問答式以啟發(fā)學(xué)生了解證明方法.

問:我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾個(gè)判定三角形相似的方法?

答:①三角形的定義,②上一節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理.

問:根據(jù)本命題條件,探討時(shí)應(yīng)采用哪種方法?為什么?

答:預(yù)備定理,因?yàn)橛枚x條件明顯不夠.

問:采用預(yù)備定理,必須構(gòu)造出怎樣的圖形?

答: 或 .

問:應(yīng)如何添加輔助線,才能構(gòu)造出上一問的圖形?

此問學(xué)生回答如有困難,教師可領(lǐng)學(xué)生共同探討,注意告訴學(xué)生作輔助線一定要合理.

(1)在△ABC邊AB(或延長線)上,截取 ,過D作DE∥BC交AC于E.

“作相似.證全等”.

(2)在△ABC邊AB(或延長線上)上,截取 ,在邊AC(或延長線上)截取AE= ,連結(jié)DE,“作全等,證相似”.

(教師向?qū)W生解釋清楚“或延長線”的情況)

雖然定理的證明不作要求,但通過剛才的分析讓學(xué)生了解定理的證明思路與方法,這樣有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)證明新命題的能力.

判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

簡單說成:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似.

, ,

∽ .

例1  已知 和 中 , , , .

求證: ∽ .

此例題是判定定理的直拉應(yīng)用,應(yīng)使學(xué)生熟練掌握.

例2 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.

已知:如圖5-54,在 中,CD是斜邊上的高.

求證: ∽ ∽ .

該例題很重要,它一方面可以起到鞏固、掌握判定定理1的作用;另一方面它的應(yīng)用很廣泛,并且可以直接用它判定直角三角形相似,教材上排了黑體字,所以可以當(dāng)作定理直接使用.

即 ∽△∽△.

[小結(jié)]

1判定定理1的引出及證明思路與方法的分析,要求學(xué)生掌握兩種輔助線作法的思路.

2.判定定理1的應(yīng)用以及記住例2的結(jié)論并會(huì)應(yīng)用.

七、布置作業(yè) 

教材P238中A組3、4.

八、板書設(shè)計(jì) 

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