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等腰三角形的判定

等腰三角形的判定


知識結構:

重點與難點分析:

本節內容的重點是定理.本定理是證明兩條線段相等的重要定理,它是把三角形中角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據,此定理為證明線段相等提供了又一種方法,這是本節的重點.推論1、2提供證明等邊三角形的方法,推論3是直角三角形的一條重要性質,在直角三角形中找邊和角的等量關系經常用到此推論.

本節內容的難點是性質與判定的區別。等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理,題設與結論正好相反.學生在應用它們的時候,經常混淆,幫助學生認識判定與性質的區別,這是本節的難點.另外本節的文字敘述題也是難點之一,和上節結合讓學生逐步掌握解題的思路方法.由于知識點的增加,題目的復雜程度也提高,一定要學生真正理解定理和推論,才能在解題時從條件得到用哪個定理及如何用.

教法建議:

本節課教學方法主要是“以學生為主體的討論探索法”。在數學教學中要避免過多告訴學生現成結論。提倡教師鼓勵學生討論解決問題的方法,引導他們探索數學的內在規律。具體說明如下:

(1)參與探索發現,領略知識形成過程

學生學習過互逆命題和互逆定理的概念,首先提出問題:等腰三角形性質定理的逆命題的什么?找一名學生口述完了,接下來問:此命題是否為真命?等同學們證明完了,找一名學生代表發言.最后找一名學生用文字口述定理的內容。這樣很自然就得到了定理.這樣讓學生親自動手實踐,積極參與發現,滿打滿算了學生的認識沖突,使學生克服思維和探求的惰性,獲得鍛煉機會,對定理的產生過程,真正做到心領神會。

(2)采用“類比”的學習方法,獲取知識。

由性質定理的學習,我們得到了幾個推論,自然想到:根據定理,我們能得到哪些特殊的結論或者說哪些推論呢?這里先讓學生發表意見,然后大家共同分析討論,把一些有價值的、甚至就是教材中的推論板書出來。如果學生提到的不完整,教師可以做適當的點撥引導。

(3)總結,形成知識結構

為了使學生對本節課有一個完整的認識,便于今后的應用,教師提出如下問題,讓學生思考回答:(1)怎樣判定一個三角形是等腰三角形?有哪些定理依據?(2)怎樣判定一個三角形是等邊三角形?

一.教學目標 

1.使學生掌握定理及其推論;

2.掌握等腰三角形判定定理的運用;

3.通過例題的學習,提高學生的邏輯思維能力及分析問題解決問題的能力;

4.通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受;

5.通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征.

二.教學重點定理

三.教學難點 性質與判定的區別

四.教學用具:直尺,微機

五.教學方法:以學生為主體的討論探索法

六.教學過程 

1、新課背景知識復習

(1)請同學們說出互逆命題和互逆定理的概念

估計學生能用自己的語言說出,這里重點復習怎樣分清題設和結論。

(2)等腰三角形的性質定理的內容是什么?并檢驗它的逆命題是否為真命題?

啟發學生用自己的語言敘述上述結論,教師稍加整理后給出規范敘述:

1.定理如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.

(簡稱“等角對等邊”).

由學生說出已知、求證,使學生進一步熟悉文字轉化為數學語言的方法.

已知:如圖,△ABC中,∠B=∠C.

求證:AB=AC.

教師可引導學生分析:

聯想證有關線段相等的知識知道,先需構成以AB、AC為對應邊的全等三角形.因為已知∠B=∠C,沒有對應相等邊,所以需添輔助線為兩個三角形的公共邊,因此輔助線應從A點引起.再讓學生回想等腰三角形中常添的輔助線,學生可找出作∠BAC的平分線AD或作BC邊上的高AD等證三角形全等的不同方法,從而推出AB=AC.

注意:(1)要弄清判定定理的條件和結論,不要與性質定理混淆.

(2)不能說“一個三角形兩底角相等,那么兩腰邊相等”,因為還未判定它是一個等腰三角形.

(3)判定定理得到的結論是三角形是等腰三角形,性質定理是已知三角形是等腰三角形,得到邊邊和角角關系.

2.推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形.

推論2:有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

要讓學生自己推證這兩條推論.

小結:證明三角形是等腰三角形的方法:①等腰三角形定義;②等腰三角形判定定理.

證明三角形是等邊三角形的方法:①等邊三角形定義;②推論1;③推論2.

3.應用舉例

例1.求證:如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊,那么這個三角形是等腰三角形.

分析:讓學生畫圖,寫出已知求證,啟發學生遇到已知中有外角時,常常考慮應用外角的兩個特性①它與相鄰的內角互補;②它等于與它不相鄰的兩個內角的和.要證AB=AC,可先證明∠B=∠C,因為已知∠1=∠2,所以可以設法找出∠B、∠C與∠1、∠2的關系.

已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.

求證:AB=AC.

證明:(略)由學生板演即可.

補充例題:(投影展示)

1.已知:如圖,AB=AD,∠B=∠D.

求證:CB=CD.

分析:解具體問題時要突出邊角轉換環節,要證CB=CD,需構造一個以 CB、CD為腰的等腰三角形,連結BD,需證∠CBD=∠CDB,但已知∠B=∠D,由AB=AD可證∠ABD=∠ADB,從而證得∠CDB=∠CBD,推出CB=CD.

證明:連結BD,在 中, (已知)

(等邊對等角)

(已知)

(等教對等邊)

小結:求線段相等一般在三角形中求解,添加適當的輔助線構造三角形,找出邊角關系.

2.已知,在 中, 的平分線與 的外角平分線交于D,過D作DE//BC交AC與F,交AB于E,求證:EF=BE-CF.

分析:對于三個線段間關系,盡量轉化為等量關系,由于本題有兩個角平分線和平行線,可以通過角找邊的關系,BE=DE,DF=CF即可證明結論.

證明: DE//BC(已知)

,  

BE=DE,同理DF=CF.

EF=DE-DF

EF=BE-CF

小結:

(1)等腰三角形判定定理及推論.

(2)等腰三角形和等邊三角形的證法.

七.練習

教材 P.75中1、2、3.

八.作業 

教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.

九.板書設計 


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