等腰三角形的判定

知識結構：

重點與難點分析：

本節內容的重點是定理.本定理是證明兩條線段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據，此定理為證明線段相等提供了又一種方法，這是本節的重點.推論1、2提供證明等邊三角形的方法，推論3是直角三角形的一條重要性質，在直角三角形中找邊和角的等量關系經常用到此推論.

本節內容的難點是性質與判定的區別。等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理，題設與結論正好相反.學生在應用它們的時候，經常混淆，幫助學生認識判定與性質的區別，這是本節的難點.另外本節的文字敘述題也是難點之一，和上節結合讓學生逐步掌握解題的思路方法.由于知識點的增加，題目的復雜程度也提高，一定要學生真正理解定理和推論，才能在解題時從條件得到用哪個定理及如何用.

教法建議:

本節課教學方法主要是“以學生為主體的討論探索法”。在數學教學中要避免過多告訴學生現成結論。提倡教師鼓勵學生討論解決問題的方法，引導他們探索數學的內在規律。具體說明如下：

（1）參與探索發現，領略知識形成過程

學生學習過互逆命題和互逆定理的概念，首先提出問題：等腰三角形性質定理的逆命題的什么？找一名學生口述完了，接下來問：此命題是否為真命？等同學們證明完了，找一名學生代表發言.最后找一名學生用文字口述定理的內容。這樣很自然就得到了定理.這樣讓學生親自動手實踐，積極參與發現，滿打滿算了學生的認識沖突，使學生克服思維和探求的惰性，獲得鍛煉機會，對定理的產生過程，真正做到心領神會。

（2）采用“類比”的學習方法，獲取知識。

由性質定理的學習，我們得到了幾個推論，自然想到：根據定理，我們能得到哪些特殊的結論或者說哪些推論呢？這里先讓學生發表意見，然后大家共同分析討論，把一些有價值的、甚至就是教材中的推論板書出來。如果學生提到的不完整，教師可以做適當的點撥引導。

（3）總結，形成知識結構

為了使學生對本節課有一個完整的認識，便于今后的應用，教師提出如下問題，讓學生思考回答：（1）怎樣判定一個三角形是等腰三角形？有哪些定理依據？（2）怎樣判定一個三角形是等邊三角形？

一.教學目標 ：

1.使學生掌握定理及其推論；

2.掌握等腰三角形判定定理的運用；

3.通過例題的學習，提高學生的邏輯思維能力及分析問題解決問題的能力；

4.通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

5.通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征.

二.教學重點：定理

三.教學難點 ：性質與判定的區別

四.教學用具：直尺，微機

五.教學方法：以學生為主體的討論探索法

六.教學過程 ：

1、新課背景知識復習

（1）請同學們說出互逆命題和互逆定理的概念

估計學生能用自己的語言說出，這里重點復習怎樣分清題設和結論。

（2）等腰三角形的性質定理的內容是什么？并檢驗它的逆命題是否為真命題？

啟發學生用自己的語言敘述上述結論，教師稍加整理后給出規范敘述：

1.定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.

(簡稱“等角對等邊”).

由學生說出已知、求證，使學生進一步熟悉文字轉化為數學語言的方法.

已知：如圖，△ABC中，∠B=∠C.

求證：AB=AC.

教師可引導學生分析：

聯想證有關線段相等的知識知道，先需構成以AB、AC為對應邊的全等三角形.因為已知∠B=∠C，沒有對應相等邊，所以需添輔助線為兩個三角形的公共邊，因此輔助線應從A點引起.再讓學生回想等腰三角形中常添的輔助線，學生可找出作∠BAC的平分線AD或作BC邊上的高AD等證三角形全等的不同方法，從而推出AB=AC.

注意：(1)要弄清判定定理的條件和結論，不要與性質定理混淆.

（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形.

（3）判定定理得到的結論是三角形是等腰三角形，性質定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊邊和角角關系.

2.推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

要讓學生自己推證這兩條推論.

小結：證明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定義；②等腰三角形判定定理.

證明三角形是等邊三角形的方法：①等邊三角形定義；②推論1；③推論2.

3.應用舉例

例1.求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.

分析:讓學生畫圖，寫出已知求證，啟發學生遇到已知中有外角時，常常考慮應用外角的兩個特性①它與相鄰的內角互補；②它等于與它不相鄰的兩個內角的和.要證AB=AC，可先證明∠B=∠C，因為已知∠1=∠2，所以可以設法找出∠B、∠C與∠1、∠2的關系.

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.

求證：AB=AC.

證明：(略)由學生板演即可.

補充例題：(投影展示)

1.已知：如圖，AB=AD，∠B=∠D.

求證：CB=CD.

分析：解具體問題時要突出邊角轉換環節，要證CB=CD，需構造一個以 CB、CD為腰的等腰三角形，連結BD，需證∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可證∠ABD=∠ADB，從而證得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.

證明：連結BD，在 中， （已知）

（等邊對等角）

（已知）

即

（等教對等邊）

小結：求線段相等一般在三角形中求解，添加適當的輔助線構造三角形，找出邊角關系.

2.已知，在 中， 的平分線與 的外角平分線交于D，過D作DE//BC交AC與F，交AB于E，求證：EF=BE-CF.

分析：對于三個線段間關系，盡量轉化為等量關系，由于本題有兩個角平分線和平行線，可以通過角找邊的關系，BE=DE,DF=CF即可證明結論.

證明： DE//BC（已知）

，  

BE=DE,同理DF=CF.

EF=DE-DF

EF=BE-CF

小結：

(1)等腰三角形判定定理及推論.

(2)等腰三角形和等邊三角形的證法.

七.練習

教材 P.75中1、2、3.

八.作業 

教材 P.83 中 1.1)、2)、3)；2、3、4、5.

九.板書設計