一元二次方程根與系數關系

一元二次方程（一）

一、素質教育目標

（一）知識教學點：1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項.

（二）能力訓練點：1.通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；2.通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性.

（三）德育滲透點：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識.

二、教學重點、難點

1.教學重點：一元二次方程的意義及一般形式.

2.教學難點 ：正確識別一般式中的“項”及“系數”.

三、教學步驟 

（一）明確目標

1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼并用的能力.

2.現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm²的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？

教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x²-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題.

板書：“第十二章一元二次方程”.教師恰當的語言，激發學生的求知欲和學習興趣.

（二）整體感知

通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1.復習提問

（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？

（3）什么叫做分式方程？

問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊.

2.引例：剪一塊面積為150cm²的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？

引導，啟發學生設未知數列方程，并整理得方程x²+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x²＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念.

整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程.

一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的.一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數”，“二次”指的是“未知數的最高次數是2”.“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎.一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的.這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進行合并同類項整理，再按定義進行判斷.

3.練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x²；

（2）7x²＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x²＝x；

（5）2x²＝5y；

（6）-x²＝0

4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式.

一元二次方程的一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0）.ax²稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項系數，b稱一次項系數.

一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax²+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解.

5.例1  把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數，一次項系數及常數項？

教師邊提問邊引導，板書并規范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.

6.練習1：教材P.5中1，2.要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價.題目答案不唯一，最好二次項系數化為正數.

練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數、一次項系數、常數項.

8mx-2m-1＝0；（4）（b²＋1）x²-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.

教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化.

（四）總結、擴展

引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區別和聯系？

1.將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.

2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項.歸納所學過的整式方程.

3.一元二次方程的意義與一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.

四、布置作業 

1.教材P.6 練習2.

2.思考題：

1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x²項的方程叫做一元二次方程？”

2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）.

五、板書設計 

12.6  一元二次方程的應用（二）

一、素質教育目標

（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用問題.

（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養用數學的意識.

（三）德育滲透點：進一步使學生深刻體會轉化以及方程的思想方法、滲透數形結合的思想.

二、教學重點、難點

1.教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用題.

2.教學難點 ：找等量關系.列一元二次方程解應用題時，應注意是方程的解，但不一定符合題意，因此求解后一定要檢驗，以確定適合題意的解.例如線段的長度不為負值，人的個數不能為分數等.

三、教學步驟 

（一）明確目標

初一學過一元一次方程的應用，實際上是據實際題意，設未知數，列出一元一次方程求解，從而得到問題的解決，但有的實際問題，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，這就是我們本節課要研究的一元二次方程的應用——有關面積和體積方面的實際問題.

（二）整體感知

本小節是“一元一次方程的應用”的繼續和發展.由于能用一元一次方程（或一次方程組）解的應用題，一般都可以用算術方法解，而需用一元二次方程來解的應用題，一般說是不能用算術法來解的，所以，講解本小節可以使學生認識到用代數方法解應用題的優越性和必要性.

從列方程解應用題的方法來說，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題類似，都是根據問題中的相等關系列出方程、解方程、判斷根是否適合題意，作出正確的答案.列出一元二次方程，其應用相當廣泛，如在幾何、物理及其他學科中都有大量問題存在；本節課的內容是關于面積、體積的實際問題.

通過本節課學習，培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力以及用數學的意識，滲透轉化的思想、方程的思想及數形結合的思想.

（三）重點、難點的學習和目標完成過程

1.復習提問

（1）列方程解應用題的步驟？

（2）長方形的周長、面積？長方體的體積？

2.例1  現有長方形紙片一張，長19cm，寬15cm，需要剪去邊長是多少的小正方形才能做成底面積為77cm²的無蓋長方體型的紙盒？

解：設需要剪去的小正方形邊長為xcm，則盒底面長方形的長為（19-2x）cm，寬為（15-2x）cm，

據題意：（19-2x）（15-2x）=77.

整理后，得x²-17x+52=0，

解得x₁=4，x₂=13.

∴  當x=13時，15-2x=-11（不合題意，舍去.）

答：截取的小正方形邊長應為4cm，可制成符合要求的無蓋盒子.

本題教師啟發、引導、學生回答，注意以下幾個問題.

（1）因為要做成底面積為77cm²的無蓋的長方體形的盒子，如果底面的長和寬分別能用含未知數的代數式表示，這樣依據長×寬=長方形面積，便可以找準等量關系，列出方程，這是解決本題的關鍵.

（2）求出的兩個根一定要進行實際題意的檢驗，本題如果截取的小正方形邊長為13時，得到底面的寬為-11，則不合題意，所以x=13舍去.（3）本題是一道典型的實際生活的問題，在學習本章之前，這個問題無法解決，但學了一元二次方程的知識之后，這個問題便可以解決.使學生深刻體會數學知識應用的價值，由此提高學生學習數學的興趣和用數學的意識.

練習1.章節前引例.

學生筆答、板書、評價.

練習2.教材P.42中4.

學生筆答、板書、評價.

注意：全面積=各部分面積之和.

剩余面積=原面積-截取面積.

例2  要做一個容積為750cm³，高是6cm，底面的長比寬多5cm的長方形匣子，底面的長及寬應該各是多少（精確到0.1cm）？

分析：底面的長和寬均可用含未知數的代數式表示，則長×寬×高=體積，這樣便可得到含有未知數的等式——方程.

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，

據題意，6x（x+5）=750，

整理后，得x²+5x-125=0.

解這個方程x₁=9.0，x₂=-14.0（不合題意，舍去）.

當x=9.0時，x+17=26.0，x+12=21.0.

答：可以選用寬為21cm，長為26cm的長方形鐵皮.

教師引導，學生板書，筆答，評價.

（四）總結、擴展

1.有關面積和體積的應用題均可借助圖示加以分析，便于理解題意，搞清已知量與未知量的相互關系.

2.要深刻理解題意中的已知條件，正確決定一元二次方程的取舍問題，例如線段的長不能為負.

3.進一步體會數字在實踐中的應用，培養學生分析問題、解決問題的能力.