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等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的性質(zhì)

知識(shí)結(jié)構(gòu)

重點(diǎn)與難點(diǎn)分析:

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是及其推論。等腰三角形兩底角相等(等邊對(duì)等角)是證明同一三角形中兩角相等的重要依據(jù);而在推論中提到的等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一這條重要性質(zhì)也是證明兩線段相等,兩個(gè)角相等及兩直線互相垂直的重要依據(jù)。為證明線段相等,角相等或垂直平提供了方法,在選擇時(shí)注意靈活運(yùn)用。

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是文字題的證明。對(duì)文字題的證明,首先分析出命題的題設(shè)和結(jié)論,結(jié)合題意畫出草圖形,然后根據(jù)圖形寫出已知、求證,做到不重不漏,從而轉(zhuǎn)化為一般證明題。這些環(huán)節(jié)是學(xué)生感到困難的。

教法建議:

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”.根據(jù)這一指導(dǎo)思想,本節(jié)課教學(xué)可通過(guò)精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題鏈,激發(fā)學(xué)生的求知欲,最終在老師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí),本課教學(xué)擬用啟發(fā)式問題教學(xué)法.具體說(shuō)明如下:

(1)發(fā)現(xiàn)問題

本節(jié)課開始,先投影顯示圖形及問題,讓學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)結(jié)論。提出問題讓學(xué)生思考,創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和要求.

(2)解決問題

對(duì)所得到的結(jié)論通過(guò)教師啟發(fā),讓學(xué)生完成證明.指導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié),從而順其自然得到本節(jié)課的一個(gè)定理及其兩個(gè)推論. 多讓學(xué)生親自實(shí)踐,參與探索發(fā)現(xiàn),領(lǐng)略知識(shí)形成過(guò)程,這是課堂教學(xué)的基本思想和教學(xué)理念.

(3)加深理解

學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程是對(duì)知識(shí)的消化和理解的過(guò)程,通過(guò)例題的解決,提高和完善對(duì)定理及其推論理解。這一過(guò)程采用講練結(jié)合、適時(shí)點(diǎn)撥的教學(xué)方法,把學(xué)生的注意力緊緊吸引在解決問題身上,讓學(xué)生的思維活動(dòng)在老師的引導(dǎo)下層層展開,讓學(xué)生大膽參與課堂教學(xué),使他們“聽”有所“思”、“練”有所“獲”,使傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力融為一體。一.教學(xué)目標(biāo)

1.掌握定理的證明及這個(gè)定理的兩個(gè)推論;

2.會(huì)運(yùn)用證明線段相等;

3.使學(xué)生掌握一般文字題的證明;

4.通過(guò)文字題的證明,提高學(xué)生幾何三種語(yǔ)言的互譯能力;

5.逐步培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及分析實(shí)際問題解決問題的能力;

6.滲透對(duì)稱的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的觀點(diǎn);

二.教學(xué)重點(diǎn):及其推論

三.教學(xué)難點(diǎn):文字題的證明

四.教學(xué)用具:直尺,微機(jī)

五.教學(xué)方法:?jiǎn)栴}探究法

六.教學(xué)過(guò)程

1、  性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明

(1)投影顯示:

一般學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(若有其它發(fā)現(xiàn)也要給予肯定),

(2)提醒學(xué)生:憑觀察作出的判斷準(zhǔn)確嗎?怎樣證明你的判斷?

師生討論后,確定用全等三角形證明,學(xué)生親自動(dòng)手作出證明.證明略.

教師指出:定理提示了三角形邊與角的轉(zhuǎn)化關(guān)系,由兩邊相等轉(zhuǎn)化為兩角相等,這是今后證明兩角相等常用的依據(jù),其功效不亞于利用全等三角形證明兩角相等.

2、推論1的發(fā)現(xiàn)與證明

投影顯示:

由學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn),等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊.

啟發(fā)學(xué)生自己歸納得出:頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

學(xué)生口述證明過(guò)程.

教師指出:等腰三角形的頂角的平分線,底邊上的中線、底邊上的高這“三線合一”的性質(zhì)有多重功能,可以證明兩線段相等,兩個(gè)角相等以及兩條直線的互相垂直,也可證線段成角的倍分問題。

3、推論2的發(fā)現(xiàn)與證明

投影顯示:

一般學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都為 .然后啟發(fā)學(xué)生與等腰三角形的“三線合一”作類比,自己得出等邊三角形的“三線合一”.

4、定理及其推論的應(yīng)用

解:(1) (2)另外兩內(nèi)角分別為: (3)

小結(jié):滲透分類思想,培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性.

例2、已知:如圖,點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE

求證:BD=CE

證明:作AF⊥BC,,垂足為F,則AF⊥DE

∵AB=AC,AD=AE(已知)

AF⊥BC,AF⊥DE(輔助線作法)

∴BF=CF,DF=EF(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合)

∴BD=CE

強(qiáng)調(diào)說(shuō)明:等腰三角形中的“三線合一”常常作為解決等腰三角形問題的輔助線,添加輔助線時(shí),有時(shí)作頂角的平分線,有時(shí)作底邊中線,有時(shí)作底邊的高,有時(shí)作哪條線都可以,有時(shí)卻不能,還要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)定.


例3、已知:如圖,D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),DB=DA,BP=AB, DBP= DBC

求證: P=

證明:連結(jié)OC

在△BPD和△BCD中

在△ADC和△BCD中

因此, P=

例4 求證:等腰三角形兩腰上中線的交點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等

已知:如圖,AB=AC,BD、CE分別為AC邊、AB邊的中線,它們相交于F點(diǎn)

求證:BF=CF

證明:∵BD、CE是△ABC的兩條中線,AB=AC

∴AD=AE,BE=CD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴ 1= 2
在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED
∴BF=FC

設(shè)想:例1到例4,由易到難地安排學(xué)生對(duì)新授內(nèi)容的練習(xí)和鞏固.在以上教學(xué)中,特別注意“一般解題方法”的運(yùn)用.

在四個(gè)例題的教學(xué)中,充分發(fā)揮學(xué)生與學(xué)生之間的互補(bǔ)性,從而提高認(rèn)識(shí),完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),使課堂成為學(xué)生發(fā)揮想象力和創(chuàng)造性的“學(xué)堂”

5、反饋練習(xí):

出示圖形及題目:

將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力。

6、課堂小結(jié):

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)

(1)、

(2)、等邊三角形的性質(zhì)

(3)、文字證明題的書寫步驟

7、布置作業(yè) :

a、  書面作業(yè) P96#1、2

b、  上交作業(yè) P96#4、7、8

c、  思考題:

已知:如圖:在△ABC中,AB=AC,E在CA的延長(zhǎng)線上,∠AEF=∠AFE.

求證:EF⊥BC

證明 : 作BC邊上的高AM,M為垂足

∵AM⊥BC

∴∠BAM=∠CAM

又∵∠BAC為△AEF的外角

∴∠BAC =∠E+∠EFA

即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA

∵∠AEF=∠AFE

∴∠CAM=∠E

∴EF∥AM

∵AM⊥BC

∴EF⊥BC

七.板書設(shè)計(jì):


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