不等式的證實2
(證實:因為 ,所以 ,即 .)
[點評]
①利用某些已知證實過的不等式(例如平均值定理)和不等式的性質推導出所要證實的不等式成立,這種證實方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法:由已知推出結論.這里已知可以是已知的重要不等式,也可以是已知的不等式性質.
設計意圖:探索解決問題的新方法,建立新知識,構建用綜合法證實不等式的方法原理.
例題示范、學會應用
(教師活動)教師板書例題,引導學生研究問題,構思證題方法,學會用綜合法證實不等式,并點評用綜合法證實不等式必須注重的問題.
(學生活動)學生在教師誘導下,研究問題,與教師一道完成問題的論證.
例1已知 ,求證
[分析]由于不等式左邊是和的形式,右邊為常數,可用平均值定理作為已知不等式推證.
證實:因為 ,則 ,所以 .故
[點評]此題的證實方法是綜合法,在證實過程中,把平均值定理作為已知不等式,而平均值定理是有條件限制的,所以要用重要不等式作為已知不等式,注重要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征.
例2 已知a,b,c是不全相等的正數,求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式,左邊是和的形式,可知由 出發可證.
證實一(見課本)
證實二:
因為a,b,c是不全相等的正數.所以 , , ,且三式不能全取“=”號.
所以
即
[點評]
①綜合法的思維特點是:由已知推出結論.用綜合法證實不等式中常用的重要不等式有:
; ( ); ( ); (a,b同號), ( )。
②此例中條件a,b,c是不全相等的正數,所以最后所證不等式取不到等號.
③由于作為綜合法證實依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出
的,所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證實.
我們在證實不等式時,選擇方法要適當,不要對某種方法抱定不放,要善于觀察,根據題目的特征選擇證題方法.
設計意圖:鞏固用綜合法證實不等式的知識,把握用綜合法證實不等式中,常用的重要不等式,理解綜合法證實不等式與比較法證實不等式的內在聯系.
課堂練習
(教師活動)打出字幕(練習),請甲、乙兩位同學板演,巡視學生的解題情況,對正確的證法給予肯定,對偏差及時糾正,點評練習中存在的問題.
(學生活動)在筆記本上完成練習.甲、乙兩位同學板演.
[字幕]練習1 已知,求證
2.已知 ,求證
設計意圖:把握用綜合法證實不等式,并會靈活運用重要不等式作為證實中的已知不等式.反饋課堂效果,調節課堂教學.
分析歸納,小結解法