函數單調性與奇偶性
學生可類比剛才的方法,很快得出結論,再讓學生給出奇函數的定義.
(2) 奇函數的定義: 假如對于函數 的定義域內任意一個 ,都有 ,那么 就叫做奇函數.(板書)
(由于在定義形成時已經有了一定的熟悉,故可以先作判定,在判定中再加深熟悉)
例1. 判定下列函數的奇偶性(板書)
(1) ; (2) ;
(3) ; ;
(5) ; (6) .
(要求學生口答,選出12個題說過程)
解: (1) 是奇函數.(2) 是偶函數.
(3) , 是偶函數.
前三個題做完,教師做一次小結,判定奇偶性,只需驗證 與 之間的關系,但對你們的回答我不滿足,因為題目要求是判定奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數的問題呢?
學生經過思考可以解決問題,指出只要舉出一個反例說明 與 不等.如 即可說明它不是偶函數.(從這個問題的解決中讓學生再次熟悉到定義中任意性的重要)
從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的 = 不能經受任意性的考驗,當 時,由于 ,故 不存在,更談不上與 相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.
教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發現在判定中需要注重些什么?(若學生發現不了定義域的特征,教師可再從定義啟發,在定義域中有1,就必有1,有2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,從而發現定義域應關于原點對稱 ,再提出定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的什么條件?
可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結論.
(3) 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)
由學生小結判定奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數中有是奇函數不是偶函數,有是偶函數不是奇函數,也有既不是奇函數也不是偶函數,那么有沒有這樣的函數,它既是奇函數也是偶函數呢?若有,舉例說明.
經學生思考,可找到函數 .然后繼續提問:是不是具備這樣性質的函數的解析式都只能寫成這樣呢?能證實嗎?
例2. 已知函數 既是奇函數也是偶函數,求證: .(板書) (試由學生來完成)
證實: 既是奇函數也是偶函數,
= ,且 ,
= .
,即 .
證后,教師請學生記住結論的同時,追問這樣的函數應有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經教師提示可發現, 只是解析式的特征,若改變函數的定義域,如 , , , ,它們顯然是不同的函數,但它們都是既是奇函數也是偶函數.由上可知函數按其是否具有奇偶性可分為四類
(4) 函數按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)
例3. 判定下列函數的奇偶性(板書)
(1) ; (2) ; (3) .
由學生回答,不完整之處教師補充.