導 數 的 概 念

導   數   的   概   念

人教社·普通高級中學教科書（選修ⅱ）

第三章第一節《導數的概念》（第三課時）導數是近代數學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲.《導數的概念》這一節內容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談談我的理解與設計，敬請各位專家斧正.一、教材分析1.1編者意圖 《導數的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數的概念；介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數的理解.從而充分借助直觀來引出導數的概念；用極限思想抽象出導數；用函數思想拓展、完善導數以及在應用中鞏固、反思導數，教材的顯著特點是從具體經驗出發，向抽象和普遍發展，使探究知識的過程簡單、經濟、有效. 1.2導數概念在教材的地位和作用  “導數的概念”是全章核心.不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用.導數的出現推動了人類事業向前發展.1.3 教材的內容剖析 知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：表1.  知識主體結構比較

對  象

內  容

本  質

符號語言

數學思想

現有

認知

結構

曲線

y=f(x)

切線的斜率

割線斜率的極限

極限思想

物體運動規律

s=s(t)

物體的瞬時

速度

平均速度的極限

極限思想

函數思想

最近

發展

區

函數

y=f(x)

導函數

（導數）

平均變化率的極限

極限思想

函數思想表2.  知識遷移類比（導數像速度）

已有認知結構

最近發展區

相似點

物體在t0時刻的速度

函數f(x)在x0處的導數

特指

常數

物體的任意時刻t的速度

函數f(x)在開區間內

泛指

是函數（變量）

瞬時速度

↓

一般說成速度

導函數

↓

一般說成導數

名稱對應

泛指

v=v(t)

關系對應

v0=v|t=t0

求法對應

位移對時間的變化率

函數對自變量的變化率

本質對應通過比較發現：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限.因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法.1.4 重、難點剖析重點：導數的概念的形成過程.難點：對導數概念的理解.為什么這樣確定呢？導數概念的形成分為三個的層次：f(x)在點x0可導→f(x)在開區間（ ，b）內可導→f(x)在開區間（ ，b）內的導函數→導數，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數概念的形成過程是重點；教材中出現了兩個“導數”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數到底是個什么東西？一個函數是不是有兩種導數呢？”，“導函數與導數是怎么統一的？”.事實上：（1）f(x)在點x0處的導數是這一點x0到x0+△x的變化率 的極限，是一個常數，區別于導函數. （2）f(x)的導數是對開區間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率 的極限,是f(x)在任意點的變化率，其中滲透了函數思想. （3）導函數就是導數！是特殊的函數：先定義f(x)在x0處可導、再定義f(x)在開區間（ ，b）內可導、最后定義f(x)在開區間的導函數. （4）y= f(x)在x0處的導數就是導函數 在x=x0處的函數值，表示為 這也是求f′(x0)的一種方法.初學者最難理解導數的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區別和聯系，會出現較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f(x)在點x0可導”、“f(x)在開區間的導函數”和“導數”之間的聯系，而要弄清這種聯系的最好方法就是類比！用“速度與導數”進行類比.