下學(xué)期 5.3實(shí)數(shù)與向量的積（通用2篇）
下學(xué)期 5.3實(shí)數(shù)與向量的積 篇1
�。ǖ谝徽n時(shí)）
一.教學(xué)目標(biāo)
1.理解并掌握實(shí)數(shù)與向量的積的意義.
2.理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個(gè)向量是否共線；
3.通過對(duì)實(shí)數(shù)與向量的積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運(yùn)動(dòng)變化的辯證思想.
二.教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量共線的充要條件；
教學(xué)難點(diǎn) ：理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量共線的充要條件；
三.教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺、投影儀.
四.教學(xué)過程
1.設(shè)置情境
我們知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而時(shí)間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)，如力與加速度的關(guān)系f=ma，位移與速度的關(guān)系s=vt.這些公式都是實(shí)數(shù)與向量間的關(guān)系.
師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請(qǐng)同學(xué)們作出 和 向量，（已知向量已作在投影片上），并請(qǐng)同學(xué)們指出相加后，和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？
生： 的長(zhǎng)度是 的長(zhǎng)度的3倍，其方向與 的方向相同， 的長(zhǎng)度是 長(zhǎng)度的3倍，其方向與 的方向相反.
師：很好！本節(jié)課我們就來討論實(shí)數(shù)與向量的乘積問題，（板書課題：實(shí)數(shù)與向量的乘積（一））
2.探索研究
師：請(qǐng)大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實(shí)數(shù)與向量的積？可結(jié)合教材思考.
生：我想這樣規(guī)定：實(shí)數(shù) 與向量 的積就是 ，它還是一個(gè)向量.
師：想法很好.不過我們要對(duì)實(shí)數(shù) 與向量 相乘的含義作一番解釋才行.
實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量，記作 ，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：
（1）
（2） 時(shí)， 的方向與 的方向相同；當(dāng) 時(shí)， 的方向與 的方向相反；特別地，當(dāng) 或 時(shí)，
下面我們討論作為數(shù)乘向量的基本運(yùn)算律：
師：求作向量 和 （ 為非零向量）并進(jìn)行比較，向量 與向量 相等嗎？（引導(dǎo)學(xué)生從模的大小與方向兩個(gè)方面進(jìn)行比較）
生： ，
師：設(shè) 、 為任意向量， ， 為任意實(shí)數(shù)，則有：
（1） （2） （3）
通常將（1）稱為結(jié)合律，（2）（3）稱為分配律，有時(shí)為了區(qū)別，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律.
請(qǐng)看例題
【例1】計(jì)算：（1） ， （2） .
（3）
解：（1）原式
�。�2）原式
�。�3）原式 .
下面我們研究共線向量與實(shí)乘向量的關(guān)系.
師：請(qǐng)同學(xué)們觀察 ， ，有什么關(guān)系.
生：因?yàn)?，所以 、 是共線向量.
師：若 、 是共線向量，能否得出 ？為什么，可得出 嗎？為什么？
生：可以！因?yàn)?、 共線，它們的方向相同或相反.
師：由此可得向量共線的充要條件.向量 與非零向量 共線的充分必要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得
此即教材中的定理.
對(duì)此定理的證明，是兩層來說明的.
其一，若存在實(shí)數(shù) ，使 ，則由實(shí)數(shù)與向量乘積定義中的第（2）條知 與 共線，即 與 共線.
其二，若 與 共線，且不妨令 ，設(shè) （這是實(shí)數(shù)概念）.接下來看 、 方向如何：① 、 同向，則 ，②若 、 反向，則記 ，總而言之，存在實(shí)數(shù) （ 或 ）使 .
【例2】如圖：已知 ， ，試判斷 與 是否共線.
解：∵
∴ 與 共線.
練習(xí)（投影儀）
設(shè) 、 是兩個(gè)不共線向量，已 ， ，若 、 、 三點(diǎn)共線，求 的值.
參考答案
∵ 、 、 三點(diǎn)共線.
∴ 、 共線 存在實(shí)數(shù) ，使
即
∴ ，
3.練習(xí)反饋（投影儀）
（1）若 為 的對(duì)角線交點(diǎn)， ， ，則 等于（ ）
A. B. C. D.
�。�2）在△ 中，點(diǎn) 、 、 分別是邊 、 、 的中點(diǎn)，那么 .
（3）如圖所示，在平行四邊形 中， 是 中點(diǎn)，點(diǎn) 是 上一點(diǎn)， 求證 、 、 三點(diǎn)共線.
參考答案：
�。�1）B； （2） ；
�。�3）設(shè) ， 則 又 ，∴ ∴ 、 、 共線.
4.總結(jié)提煉
�。�1） 與 的積還是向量， 與 是共線的.
�。�2）一維空間向量的基本定理的內(nèi)容和證明思路，也是應(yīng)用該定理解決問題的思路.該定理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題.
�。�3）運(yùn)算律暗示我們，化簡(jiǎn)向量代數(shù)式就像計(jì)算多項(xiàng)式一樣去合并同類項(xiàng).
五.板書設(shè)計(jì)
1.實(shí)數(shù)與向量的積定義
2.運(yùn)算律
�、�
�、�
�、�
3.向量共線定理
例1
2
演練反饋
總結(jié)提煉
下學(xué)期 5.3實(shí)數(shù)與向量的積 篇2
（第二課時(shí)）
一.教學(xué)目標(biāo)
1.了解平面向量基本定理的證明.掌握平面向量基本定理及其應(yīng)用；
2.能夠在解題中適當(dāng)?shù)剡x擇基底，使其它向量能夠用選取的基底表示.
二.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理
教學(xué)難點(diǎn) ：理解平面向量基本定理.
三.教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺、投影儀.
四.教學(xué)過程
1.設(shè)置情境
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了共線向量的基本定理，通過它們判定兩個(gè)向量是否平行，而且共線向量可由該集合中的任一非零向量表示出來.這個(gè)非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有類似屬性呢？如果是這樣的話，對(duì)平面上任一向量的研究就可以化歸為對(duì)基向量的研究了.
2.探索研究
師：向量 與非零向量 共線的充要條件是什么？
生：有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得
師：如何作出向量 ？
生：在平面上任取一點(diǎn) ，作 ， ，則
師：對(duì)！我們知道向量 是向量 與 的合成， 、 也可以看做是由向量 的分解，是不是每一個(gè)向量都可以分解兩個(gè)不共線的向量呢？
平面向量基本定理：如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， 使
我們把不共線的向量 、 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
說明：①實(shí)數(shù) ， 的確定是由平面幾何作圖得到的，同時(shí)也應(yīng)用了上節(jié)課的共線向量基本定理.
�、趯�(duì)該定理重在使用.
下面看例題
【例1】已知向量 、 ，求作 .
【例2】如圖所示， 的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) ，且 ， ，用 、 表示 、 、 和 ？
解：在 中
∵
∴
說明：①這些表示方法很常用，要熟記
�、谟孟蛄糠ㄓ懻搸缀螁栴}，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)幕蛄勘硎酒渌蛄浚绢}的基底就是 、 ，由它可以“生”成 ， ，…….
【例3】如圖所示，已知 的兩條對(duì)角線 與 交于 ， 是任意一點(diǎn)，求證
證明：∵ 是對(duì)角線 和 的交點(diǎn)
∴ ， .在△ 中，
同理：
相加可得：
注：本題也可以取基本向量 ， ， ， ，利用三角形中線公式（向量），得 兩種表示方式：
①
�、�
�、伲诘� 證畢.
【例4】如圖所示 、 不共線， （ ），用 ， 表示 .
解 ∵
∴
說明：①本題是個(gè)重要題型：設(shè) 為平面上任一點(diǎn).
則： 、 、 三點(diǎn)共線
或令 ， 則 、 、 三點(diǎn)共線 （其中 ）
�、诋�(dāng) 時(shí)， 常稱為△ 的中線公式（向量式）.
3.演練反饋
�。�1）命題 ：向量 與 共線；命題 ：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使 ；則 是 的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.不充分不必要條件
（2）已知 和 不共線，若 與 共線，則實(shí)數(shù) 的值等于____________.
�。�3）如圖△ 中，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在邊 上，且 ， 與 相交于點(diǎn) ，求 的值.
參考答案：
�。�1）B （2）
（3）解：（如圖）設(shè) ， ，則 ，
，∵ 、 、 和 、 、 分別共線，∴存在 、 ，使 ， .
故 ，而 .
∴由基本定理得 ∴ ∴ ，即
4.總結(jié)提煉
（1）當(dāng)平面內(nèi)取定一組基底 ， 后，任一向量 都被 、 惟一確定，其含義是存在惟一這數(shù)對(duì) ，使 ，則必有 且 .
（2）三點(diǎn) 、 、 共線 （其中 且 ）
五.板書設(shè)計(jì)