正多邊形的有關計算
教學設計示例1
教學目標：
（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；
（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；
（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.
教學重點:
把問題轉化為解直角三角形的問題.
教學難點:
正確地將問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.
教學活動設計:
（一）創設情境、觀察、分析、歸納結論
1、情境一：給出圖形.
問題1：正n邊形內角的規律.
觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論.
教師組織學生自主觀察，學生回答.（正n邊形的每個內角都等于 .）
2、情境二：給出圖形.
問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？
教師引導學生觀察，學生回答.
觀察：三角形的形狀，三角形的個數.
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.
3、情境三：給出圖形.
問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？
觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.
（二）定理、理解、應用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.
2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.
由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.
3、應用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.
教師引導學生分析解題思路：
n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.
學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.
解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB.
∵∠GOB=，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=，
∴ .
歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=Pn rn.
4、研究：（應用例1的方法進一步研究）
問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.
學生以小組進行研究，并初步歸納：
； ； ； ；
； .
上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.
通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.
（三）小節
知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.
思想：轉化思想.
能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力.
（四）作業
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.
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