正多邊形的有關計算（精選7篇）

正多邊形的有關計算 篇1

　　教學目標：1、復習正多邊形的基本計算圖，并會通過解一般直角三角形來完成正多邊形的計算，解決實際應用問題；2、通過正十邊形的邊長a10與半徑r的關系的證明，學習邊計算邊推理的數學方法；3、在基本計算圖的基礎上，能將同圓內接正n邊形與外切正n邊形的有關計算數據進行相互轉化.4、在解應用題時，使學生學會把實際問題抽象為數學問題，把實物抽象為幾何圖形的抽象能力；5、根據條件進行正確迅速計算的運算能力；6、用代數計算的結果作證明依據的綜合、分析問題，解決問題的能力；7、通過研究同圓內接正n邊形與外切正n邊形的關系，培養學生的觀察能力.教學重點：  (1)應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題；(2)用 邊形與外切正n邊形已知條件與未知元素的相互轉化.教學難點：    例3的證明教學過程：一、新課引入：上節課我們根據正多邊形的定義及其概念，運用將正多邊形分割成三角形的方法，得到了化正多邊形有關計算為解直角三角形問題基本計算圖，并應用基本計算圖解決諸如正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，即解決了含特殊角的正多邊形的有關計算問題，本節課我們繼續研究正多邊形的有關計算問題.正多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義，為此本堂課講解了幾個正多邊形有關計算的實例，借以培養學生用數學意識.二、新課講解：展示正多邊形的一般計算圖7-144，提問以下問題讓學生回憶并作答：1.在rt△aod中，斜邊r是正n邊形的______；(安排中下生回答：半徑)2.直角邊rn是正n邊形的______；(安排中下生回答：邊心距)

　　3.圖中的an表示正多邊形的什么？(安排中下生回答：邊長)4.圖中的an表示正多邊形的什么？(安排中下生回答：中心角)哪位同學記得解這類題的一般步驟？(安排中下生回答：先畫計算度數是多少？(安排中下生回答：45°)分析完后，安排學生計算出結果.(幻燈給出應用題)：在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑r和邊心距r5(精確到0.1cm).

　　解：設正五邊形為abcde，它的中心為點o，連接oa，作of⊥ab，垂足為f，(問：這一步目的是什么？)則oa=r，of=r5，∠aof=？(安排學生回答：36°)∴r5=24·ctg36°=24×1.3764≈33.0(cm).答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm.正多邊形的有關計算，在生產和生活中常常會用到，但將實際問題歸結為正多邊形的有關計算后，解題的步驟方法就依然如故了，本題撥禾輪問題與前題正方形的計算不是同出一轍嗎？鞏固練習：教材p.173中7，要用圓形鐵片截出邊長a的正方形鐵片，選用的圓鐵片的直徑最小要多長？啟發，提出下列問題：1.要截出邊長為a的正方形鐵片與選用的直徑最小的圓鐵片它們之間是什么關系？(安排中等生回答：正方形是圓的內接正方形)2.這題實質是給出了正方形的什么元素，求什么元素？(安排中下生回答：給出正方形邊長求半徑.)請同學們以最快的速度，求出答案.幻燈給出頂角36°的等腰三角形，作如下啟發思考的提問：

　　1.如圖7-146，已知△abc中ab=ac，∠a=36°，哪位同學知道∠b與∠c的度數？(安排中下生回答)2.如果bd平分∠abc交ac于d，你發現圖形中與bc相等的線段有哪些？(安排中下生回答)3.你發現圖形中哪兩個三角形相似？(安排中等生回答)4.如果ac=a，bc應是多少？怎么計算？(安排學生討論、研究)(繼續啟發思考提問)：大家觀察證明中bc2=deac這一步，因bc=ad，所以前等式變為ad2=dc·ac，也就是說點d將線段ac分為兩部分，其中較長的線段ad是較小線段cd與全線段ac的比例中項，哪位同學記得點d應叫做線段ac的什么點？(安排回憶起來的學生回答：黃金分割點)由上面的證明我們知道ad應是ac的黃金分割線段，由于bc與ad相等，觀察發現bc是頂角36°角的等腰三角形的底，ac是這等腰三角形的腰？通過上面證明哪位同學能說一下你所得的結論？(安排中上學生回答：頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段)若腰長為a則底邊長應是多少？(安排中等生回答：1.哪位同學知道正十邊形的中心角的度數是多少？(安排中下生回答：36°)2.大家想想看，正十邊形的夾36°中心角的半徑與邊長組成一個什么圖形？(安排中等生回答：頂角36°的等腰三角形)3.如果一個正十邊形的半徑為r，那么這個正十邊形的邊長a10應該等于多少？幻燈供題：已知⊙o的內接正六邊形的邊長為2，求⊙o的外切正三角形的邊長.大家觀察⊙o的半徑oc，它與內接正六邊形abcdef、外切正△mnp有什么聯系？(安排中上學生回答：oc是內接正六邊形的半徑，它又是外切正△mnp的弦心距)由于正六邊形的邊長等于半徑，知邊長為2即知⊙o的半徑r=2，而半徑oc又是⊙o外切

　　通過這題你發現連接圓內接正n邊形與圓外切正多邊形的橋梁是什么？(安排中等學生回答：這個圓的半徑r)這r是內接正n邊形的半徑又是同圓外切正多邊形的邊心距，所以解這類題的關鍵在于根據已知條件首先求出r，再將r轉化求出未知元素.三、課堂小結：哪位同學能說一下，這堂課我們都學習了什么知識？(安排上等生歸納)1.應用正多邊形的有關計算解決實際問題.3.明確了連接圓內接正n邊形與同圓外切正多邊形的橋梁是這個圓的半徑，即它是內接正n邊形的半徑又是同圓外切正多邊形的邊心距，因此解決此類問題首先要求它.四、布置作業教材p.165中練習1；p.173中8；p.173中12(此題改為：求5孔心所在圓的半徑)；p.173中8、9、10、11.

正多邊形的有關計算 篇2

　　教學設計示例1

　　教學目標 ：

　　（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；

　　（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；

　　（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.

　　教學重點:

　　把問題轉化為解直角三角形的問題.

　　教學難點 :

　　正確地將問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.

　　教學活動設計:

　　（一）創設情境、觀察、分析、歸納結論

　　1、情境一：給出圖形.

　　問題1：正n邊形內角的規律.

　　觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論.

　　教師組織學生自主觀察，學生回答.（正n邊形的每個內角都等于 .）

　　2、情境二：給出圖形.

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？

　　教師引導學生觀察，學生回答.

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數.

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.

　　3、情境三：給出圖形.

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、應用：

　　1、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.

　　3、應用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.

　　教師引導學生分析解題思路：

　　n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.

　　學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.

　　解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB= ，

　　∴a6 =2·Rsin30°=R，

　　∴P6=6·a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°= ，

　　∴ .

　　歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6= Pn rn.

　　4、研究：（應用例1的方法進一步研究）

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.

　　學生以小組進行研究，并初步歸納：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.

　　（三）小節

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.

　　思想：轉化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力.

　　（四）作業 

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.

　　教學設計示例2

　　教學目標 ：

　　（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；

　　（2）通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數學方法；

　　（3）通過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力；

　　（4）培養學生用數學意識，滲透理論聯系實際、實踐論的觀點.

　　教學重點:

　　應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數計算的證明方法.

　　教學難點 :

　　例3的證明方法.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題.

　　（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.

　　（二）正多邊形的應用

　　正多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義.

　　例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).

　　解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF= .

　　∵AF= （cm），∴R5= （cm）.

　　r5= （cm）.

　　答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

　　建議：①組織學生，使學生主動參與教學；②滲透簡單的數學建模思想和實際應用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養.

　　以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流.

　　例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 .

　　教師引導學生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發現圖形中相等的線段有哪些？你發現圖中三角形有什么關系？

　　（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？

　　解：如圖，設AB=a10.作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的結論可得 .

　　回顧：黃金分割線段.AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.

　　反思：解決方法.在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識.

　　練習P.165中練習1

　　(三)總結

　　（1）應用解決實際問題；

　　（2）綜合代數列方程的方法證明了 .

　　（四）作業 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活動

　　已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大小.

　　探究它們存在什么規律？你能證明嗎？

　　（提示： .）

正多邊形的有關計算 篇3

　　教學設計示例1

　　教學目標：

　　（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；

　　（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；

　　（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.

　　教學重點:

　　把問題轉化為解直角三角形的問題.

　　教學難點:

　　正確地將問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.

　　教學活動設計:

　　（一）創設情境、觀察、分析、歸納結論

　　1、情境一：給出圖形.

　　問題1：正n邊形內角的規律.

　　觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論.

　　教師組織學生自主觀察，學生回答.（正n邊形的每個內角都等于 .）

　　2、情境二：給出圖形.

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？

　　教師引導學生觀察，學生回答.

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數.

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.

　　3、情境三：給出圖形.

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、應用：

　　1、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.

　　3、應用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.

　　教師引導學生分析解題思路：

　　n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.

　　學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.

　　解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB=，

　　∴a6 =2·Rsin30°=R，

　　∴P6=6·a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=，

　　∴ .

　　歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=Pn rn.

　　4、研究：（應用例1的方法進一步研究）

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.

　　學生以小組進行研究，并初步歸納：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.

　　（三）小節

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.

　　思想：轉化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力.

　　（四）作業 

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.

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正多邊形的有關計算 篇4

　　教學設計示例1

　　教學目標 ：

　　（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；

　　（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；

　　（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.

　　教學重點:

　　把問題轉化為解直角三角形的問題.

　　教學難點 :

　　正確地將問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.

　　教學活動設計:

　　（一）創設情境、觀察、分析、歸納結論

　　1、情境一：給出圖形.

　　問題1：正n邊形內角的規律.

　　觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論.

　　教師組織學生自主觀察，學生回答.（正n邊形的每個內角都等于 .）

　　2、情境二：給出圖形.

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？

　　教師引導學生觀察，學生回答.

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數.

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.

　　3、情境三：給出圖形.

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、應用：

　　1、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.

　　3、應用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.

　　教師引導學生分析解題思路：

　　n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.

　　學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.

　　解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB=，

　　∴a6 =2·Rsin30°=R，

　　∴P6=6·a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=，

　　∴ .

　　歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=Pn rn.

　　4、研究：（應用例1的方法進一步研究）

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.

　　學生以小組進行研究，并初步歸納：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.

　　（三）小節

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.

　　思想：轉化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力.

　　（四）作業 

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.

　　教學設計示例2

　　教學目標 ：

　　（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；

　　（2）通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數學方法；

　　（3）通過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力；

　　（4）培養學生用數學意識，滲透理論聯系實際、實踐論的觀點.

　　教學重點:

　　應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數計算的證明方法.

　　教學難點 :

　　例3的證明方法.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題.

　　（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.

　　（二）正多邊形的應用

　　方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義.

　　例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).

　　解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF=.

　　∵AF=（cm），∴R5=（cm）.

　　r5=（cm）.

　　答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

　　建議：①組織學生，使學生主動參與教學；②滲透簡單的數學建模思想和實際應用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養.

　　以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流.

　　例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 .

　　教師引導學生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發現圖形中相等的線段有哪些？你發現圖中三角形有什么關系？

　　（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？

　　解：如圖，設AB=a10.作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的結論可得 .

　　回顧：黃金分割線段.AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.

　　反思：解決方法.在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識.

　　練習P.165中練習1

　　(三)總結

　　（1）應用解決實際問題；

　　（2）綜合代數列方程的方法證明了 .

　　（四）作業 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活動

　　已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大小.

　　探究它們存在什么規律？你能證明嗎？

　　（提示： .）

正多邊形的有關計算 篇5

　　教學設計示例1

　　教學目標：

　　（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；

　　（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；

　　（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.

　　教學重點:

　　把問題轉化為解直角三角形的問題.

　　教學難點:

　　正確地將問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.

　　教學活動設計:

　　（一）創設情境、觀察、分析、歸納結論

　　1、情境一：給出圖形.

　　問題1：正n邊形內角的規律.

　　觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論.

　　教師組織學生自主觀察，學生回答.（正n邊形的每個內角都等于 .）

　　2、情境二：給出圖形.

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？

　　教師引導學生觀察，學生回答.

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數.

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.

　　3、情境三：給出圖形.

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、應用：

　　1、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.

　　3、應用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.

　　教師引導學生分析解題思路：

　　n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.

　　學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.

　　解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB=，

　　∴a6 =2·Rsin30°=R，

　　∴P6=6·a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=，

　　∴ .

　　歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=Pn rn.

　　4、研究：（應用例1的方法進一步研究）

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.

　　學生以小組進行研究，并初步歸納：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.

　　（三）小節

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.

　　思想：轉化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力.

　　（四）作業 

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.

　　教學設計示例2

　　教學目標：

　　（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；

　　（2）通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數學方法；

　　（3）通過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力；

　　（4）培養學生用數學意識，滲透理論聯系實際、實踐論的觀點.

　　教學重點:

　　應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數計算的證明方法.

　　教學難點:

　　例3的證明方法.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題.

　　（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.

　　（二）正多邊形的應用

　　方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義.

　　例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).

　　解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF=.

　　∵AF=（cm），∴R5=（cm）.

　　r5=（cm）.

　　答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

　　建議：①組織學生，使學生主動參與教學；②滲透簡單的數學建模思想和實際應用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養.

　　以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流.

　　例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 .

　　教師引導學生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發現圖形中相等的線段有哪些？你發現圖中三角形有什么關系？

　　（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？

　　解：如圖，設AB=a10.作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的結論可得 .

　　回顧：黃金分割線段.AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.

　　反思：解決方法.在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識.

　　練習P.165中練習1

　　(三)總結

　　（1）應用解決實際問題；

　　（2）綜合代數列方程的方法證明了 .

　　（四）作業 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活動

　　已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大小.

　　探究它們存在什么規律？你能證明嗎？

　　（提示： .）

正多邊形的有關計算 篇6

　　教學目的：1、使學生學會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題.2、通過定理的證明過程培養學生觀察能力、推理能力、概括能力；3、通過一定量的計算，培養學生正確迅速的運算能力；教學重點： 化正多邊形的有關計算為解直角三角形問題定理；正多邊形計算圖及其應用.教學難點：正確地將正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.教學過程：一、新課引入：前幾課我們學習了正多邊形的定義、概念、性質，今天我們來學習正多邊形的有關計算.大家知道正多邊形在生產和生活中有廣泛的應用性，伴隨而來的有關正多邊形計算問題必然擺在大家的面前，如何解決正多邊形的計算問題，正是本堂課研究的課題.二、新課講解：哪位同學回答，什么叫正多邊形.(安排中下生回答：各邊相等，各角相等的多邊形.)什么是正多形的邊心距、半徑？(安排中下生回答：正多邊形內切圓的半徑叫做邊心距.正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.)正多邊形的邊有什么性質、角有什么性質？(安排中下生回答：邊都相等，角都相等.)什么叫正多邊形的中心角？(安排中下生回答：正多邊形的一邊所對正多邊形外接圓的圓心角.)正n邊形的中心角度數如何計算？(安排中下生回答：中心角的度數正n邊形的一個外角度數如何計算？(安排中下生回答：一個外角度哪位同學有所發現？(安排舉手學生：正n邊形的中心角度數=正n邊形的一個外角度數.)哪位同學記得n邊形的內角和公式？(請回憶起來的學生回答).哪位同學能根據n邊形內角和定理和正n邊形的性質給出求正n邊形一個內角度數的公式？(安排中下生回答：正n邊形每個內角度數正n邊形的每個內角與它有共同頂點的外角有何數量關系？(安排中下生回答：互補).根據正n邊形的每個內角與它有共同頂點的外角的互補關系和正n邊形每個外角度數公式，正n邊形每個內角度數又可怎樣計算？(安排中(幻燈展示練習題，學生思考，回答)1.正五邊形的中心角度數是______；每個內角的度數是______；2.一個正n邊形的一個外角度數是360°，則它的邊數n=______，每個內角度數是______；3.一個正n邊形的一個內角的度數是140°，則它的邊數n=______，中心角度數是______.對于前2題安排中下生回答，對于第3題不僅要回答題目的答案而且要求回答思路.解此方程n=9.幻燈展示正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形.如圖7-138，讓學生邊觀察、邊回答老師依次提出的問題、邊思考.1.觀察每個圖形的半徑，分別將它們分割成多少個什么樣子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)

　　2.觀察每個圖形中所得的三角形具有什么關系？為什么？(安排中等生回答：全等，依據(s.s.s)或(s.a.s))3.將上述四個圖形的觀察與思考推而廣之，你得出了什么結論？哪位同學說說自己的想法(安排中上生回答：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.)套上幻燈片的復合片：作出各等腰三角形底邊上的高，如圖7-139，安排學生觀察、思考并回答以下問題：

　　1.這些等腰三角形的每一條高都將每個等腰三角形分割為兩個直角三角形，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？(安排中下生回答)2.這些等腰三角形的高在正多邊形中的名稱是什么？(安排中下生回答：邊心距)3.正n邊形的n條半徑、n條邊心距將正n邊形分割成全等直角三角形的個數是多少？(安排中等生回答：2n個)給出定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.

　　再套幻燈片的復合片，如圖7-140，安排學生觀察每個直角三角形都由正多邊形的哪些元素組成.安排中下生回答：直角三角形的斜邊是正多邊形的半徑r、一條直角邊是正多邊形的邊心距.另一直角邊是正多邊形邊長的一半(在此安排中等生回答：為什么？)半徑與邊心距的夾角是正多邊形一個中心角的一半.(安排中等生回答“為什么？”)講解：由于這個直角三角形融合了正多邊形諸多元素，所以就可將正多邊形有關半徑、邊心距、邊長、中心角的計算問題歸結為解直角三角形的問題來解決.幻燈給出正多邊形抽象的計算圖7-141，教師講解：

　　由于正多邊形的有關計算都歸結為解直角三角形的問題來解決，所以我們只要畫出這個直角三角形就可以了，其余就不畫或略畫.圖中r表示半徑，rn表示正n邊形的邊心距，an表示正n邊形的邊長，an表示正n邊形的中心角.提問：對于給定具體邊數的正n邊形，你首先可以求出直角三角形(教師講解)：直角三角形中一銳角已知，所以只要再給直角三角形的r、rn、an其中一項賦值就可求出其它元素.例如：(幻燈展示題目)例1  已知：如圖7-142，正△abc的邊心距r3=2.求：r、a3.問：要解此題，首先要做什么？(找中等生回答：畫出基本計算圖)最后要做什么工作：(找中上生回答：選擇三角函數)

　　解：∵n=3又完成下列各題：(幻燈展示題目)1.已知，正方形abcd的邊長a4=2.求：r，r4.2.已知：正六邊形abcdef的半徑r=2，求：r6，a6.(對于計算正確且較快的學生，讓他們自擬試題進行計算，教師重點輔導需要幫助的學生)再回到例1，問：你會求這個正三角形的周長p3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：邊長×3，因為正三角形三邊相等).再問：你會求這個正三角形的面積s3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：直角△aoc的面積×6，由定理可知這樣的直角三角形的個數是邊數的2倍.或者，等腰△aob的面積×3，由定理可知選擇的等腰三角形的個數與邊數相同.)請同學們分別計算上述二題的周長和面積(計算快而準的學生讓其自擬題目再練習)(幻燈給出例2)：已知正六邊形abcdef的半徑為r，求這個正六邊形的邊長a6、周長p6和面積s6.

　　(提問)：1.首先要作什么？(安排中下生回答：畫基本計算圖)2.然么？(安排中下生回答：選擇三角函數)∴p6=9r.通過上面計算，你得出正六邊形的半徑與邊長有什么數量關系？(安排中下生回答：相等)希望大家記住這個結論：a6=r，因為它不僅有利于計算而且是尺規畫正六邊形的依據.三、課堂小結：哪位同學能說一下，這堂課我們都學習了什么知識？(安排中等生歸納)1.化正多邊形的有關計算為解直角三角形問題定理，2.運用正多角計算.四、布置作業教材p.163中1、2；p.165中2.學有余力者布置下題：已知正n邊形的半徑為r，求an、pn、rn、sn.

正多邊形的有關計算 篇7

　　教學設計示例1

　　教學目標 ：

　　（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；

　　（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；

　　（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.

　　教學重點:

　　把問題轉化為解直角三角形的問題.

　　教學難點 :

　　正確地將問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.

　　教學活動設計:

　　（一）創設情境、觀察、分析、歸納結論

　　1、情境一：給出圖形.

　　問題1：正n邊形內角的規律.

　　觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論.

　　教師組織學生自主觀察，學生回答.（正n邊形的每個內角都等于 .）

　　2、情境二：給出圖形.

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？

　　教師引導學生觀察，學生回答.

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數.

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.

　　3、情境三：給出圖形.

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、應用：

　　1、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.

　　3、應用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.

　　教師引導學生分析解題思路：

　　n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.

　　學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.

　　解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB= ，

　　∴a6 =2·Rsin30°=R，

　　∴P6=6·a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°= ，

　　∴ .

　　歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6= Pn rn.

　　4、研究：（應用例1的方法進一步研究）

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.

　　學生以小組進行研究，并初步歸納：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.

　　（三）小節

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.

　　思想：轉化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力.

　　（四）作業 

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.

　　教學設計示例2

　　教學目標 ：

　　（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；

　　（2）通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數學方法；

　　（3）通過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力；

　　（4）培養學生用數學意識，滲透理論聯系實際、實踐論的觀點.

　　教學重點:

　　應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數計算的證明方法.

　　教學難點 :

　　例3的證明方法.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題.

　　（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.

　　（二）正多邊形的應用

　　正多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義.

　　例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).

　　解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF= .

　　∵AF= （cm），∴R5= （cm）.

　　r5= （cm）.

　　答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

　　建議：①組織學生，使學生主動參與教學；②滲透簡單的數學建模思想和實際應用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養.

　　以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流.

　　例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 .

　　教師引導學生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發現圖形中相等的線段有哪些？你發現圖中三角形有什么關系？

　　（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？

　　解：如圖，設AB=a10.作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的結論可得 .

　　回顧：黃金分割線段.AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.

　　反思：解決方法.在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識.

　　練習P.165中練習1

　　(三)總結

　　（1）應用解決實際問題；

　　（2）綜合代數列方程的方法證明了 .

　　（四）作業 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活動

　　已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大小.

　　探究它們存在什么規律？你能證明嗎？

　　（提示： .）