正多邊形和圓（精選8篇）
正多邊形和圓 篇1
教學設計示例1
教學目標 ：
（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；
（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想.
教學重點：
正多邊形的概念與的關系的第一個定理.
教學難點 ：
對定理的理解以及定理的證明方法.
教學活動設計：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？
2.正方形的邊、角各有什么性質？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.
教師組織學生進行，并可以提問學生問題.
（二）正多邊形的概念：
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
（2）概念理解：
①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.
（三）分析、發現：
問題：正多邊形與圓有什么關系呢？
發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓.
分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分.要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；
(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
我們以n=5的情況進行證明.
已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線.
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.
證明：（略）
引導學生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形.
（五）初步應用
P157練習
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2.求證：正五邊形的對角線相等.
3.如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形.
（六）小結：
知識：（1）正多邊形的概念.（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業 教材P172習題A組2、3.
教學設計示例2
教學目標 ：
（1）理解正多邊形與圓的關系定理；
（2）理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質；
（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（4）通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學重點：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理.
教學難點 ：
對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解.
教學活動設計：
（一）提出問題：
問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢？
（二）實踐與探究：
組織學生自己完成以下活動.
實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點.)
（2）根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？
（3）正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？
（三）拓展、推理、歸納：
（1）拓展、推理：
過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD.
同理，點E在⊙O上.
所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O.
因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓.
（2）歸納：
正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上
它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑.
其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑.
正五邊形的各頂點共圓.
正五邊形有外接圓.
圓心到各邊的距離相等.
正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離.
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內切圓.
定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個中心角都等于 .
（3）鞏固練習：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______.
2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______.
3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______.
4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等.
（四）正多邊形的性質：
1、各邊都相等.
2、各角都相等.
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？
3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心.邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
4、邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
以上性質，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養學生的探究問題的能力、培養學生的研究意識，也培養學生的協作學習精神.
（五）總結
知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質.
能力：探索、推理、歸納等能力.
方法：證明點共圓的方法.
（六）作業 P159中練習1、2、3.
教學設計示例3
教學目標 ：
（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理；
（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；
（3）通過例題的研究，培養學生的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識.
教學重點：
綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸.
教學難點 ：綜合運用知識證題.
教學活動設計：
（一）知識回顧
1.什么叫做正多邊形？
2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3.正多邊形有哪些性質？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)
4.正n邊形的每個中心角都等于 .
5.正多邊形的有關的定理.
（二）例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可.
教師引導學生分析，學生動手證明.
證法1：連結OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O.
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.
∴∠BAO=∠OCB.
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.
∴五邊形ABCDE是正五邊形.
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.
∠B=∠C ∠1=∠2 =.
同理 ===，
即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點.所以五邊形ABCDE是正五邊形.
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點.由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”.
此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法.
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚.
例2、已知：正六邊形ABCDEF.
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓.
作法：1過A、B、C三點作⊙O.⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓.
2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓.
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓.
練習：P161
1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例.
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓.
（三）小結
知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法.
能力與方法：重點復習了正多邊形的判定.正多邊形的外接圓與內切圓的畫法.
（四）作業
教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4.
探究活動
折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形.
（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）
（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形.
（提示：可以.主要應用把一個直角三等分的原理.參考圖形如下：
①對折成小正方形ABCD；
②對折小正方形ABCD的中線；
③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形.）
探究問題：
（安徽省2002）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形.如圖一，△ABC是正三角形, 形， ==，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形.我想，邊數是7時，它可能也 是正多邊形.
(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等.
(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證).
(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明).
（1）[說明]
（2）[證明]
（3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對 .因為 =，而∠DAF對的 =+ =+ =.所以∠AFC=∠DAF.
同理可證，其余各角都等于∠AFC.所以，圖1中六邊形各內角相.
（2）因為∠A對 ，∠B對 ，又因為∠A=∠B，所以 =.所以 =.
同理 ======.所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形.
猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，……時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
正多邊形和圓 篇2
教學目標：1、使學生了解在任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓；正多邊形都是軸對稱圖形，有偶數條邊的正多邊形又是中心對稱圖形；邊數相同的正多邊形都相似.2、使學生理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.3、通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；4、通過正多邊形有關概念的教學，培養學生的閱讀理解能力.教學重點： 正多邊形的性質；正多邊形的有關概念.教學難點： 對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解.教學過程：一、新課引入：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.那么給定正多邊形能否得到圓呢？為解決此問題本堂課繼續研究正多邊形和圓.正多邊形是一種特殊的多邊形，它有一些類似于圓的性質.例如，圓有獨特的對稱性，它不僅是軸對稱圖形、中心對稱圖形，而且它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，繞圓心旋轉任意一個角度都能和原來的圖形重合.正多邊形也是軸對稱圖形，正n邊形就有n條對稱軸，當n為偶數時，它又是中心對稱圖形，而且繞中的聯系.根據“任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓”這個定理和圓的有關概念，得到了“正n邊形的半徑和邊心矩把正n邊形分成2n個全等的直角三角形”這個定理，從而使正多邊形的有關計算轉變為解直角三角形問題.二、新課講解：復習提問：1.作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？[安排記起來的學生回答].2.作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？[請回憶起來的學生回答].請兩名中上學生到黑板前一人畫不等邊三角形的外接圓與內切圓，另一人畫正三角形的外接圓與內切圓，其余學生在練習本上畫上述兩種三角形的外接圓與內切圓.教師引導：通過作圖不難發現，不等邊三角形都既有一個外接圓，又都有一個內切圓.大家觀察黑板上兩種三角形的外接圓與內切圓，結合你畫的圖，你發現正三角形的外接圓與內切有什么特殊之處？(學生思考、回答：正三角形的外接圓與內切圓是同心圓.)教師引導：正方形是不是既有一個外接圓又有一個內切圓，并且兩圓同心呢？[學生討論]在學生討論的基礎上，教師依次提問如下問題：1.正方形外接圓的圓心在哪？(安排中上生回答：正方形對角線的交點.)2.根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？(安排中上生回答)3.正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？(安排中上生回答).引導：通過大家畫圖實踐與理論探討發現正方形既有一個外接圓又有一個內切圓并且兩圓同心.大家再看看矩形、菱形是否具有這條性質？(學生在練習本上畫、前后左右討論得出矩形只有外接圓，菱形只有內切圓結論)引導：我們發現正三角形既有外接圓又有內切圓且兩圓同心，發現正方形也是如此，我們猜想正多形是否都具備這個性質呢？掛出預先畫好一個正五邊形abcde的小黑板.講解：如果正五邊形abcde有外接圓，則a、b、c、d、e五點應都在同一個圓上，且它們到圓心的距離相等.大家知道不在同一直線上的三點確定一個圓，不妨過正五邊形abcde的頂點a、b、c作⊙o，連結oa、ob、oc、od、oe.oa=ob=oc；證od=oa、oe=oa即可.板書：過正五邊形abcde的頂點a、b、c、作⊙o連結oa、ob、oc、od.分析、啟發、提問：1.證點d在⊙o上就是證od=oa，你打算證哪兩個三角形全等？(安排中下生回答).2.要證△aob≌△cod已具備了哪些全等條件？(安排中下生回答).3.要證△aob≌cod還缺少什么條件？(安排中下生回答).4.誰能證∠3=∠4？(安排中上生完成)
板書：△oab≌△odcabcde有一個外接圓⊙o.講授：照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形不都應當有一個外接⊙o嗎？分析、啟發、提問：既然正五邊形有一個外接⊙o，那么正五邊形的五條邊也就應是⊙o的五條等弦.根據弦等、弦心距相等，可知點o到五邊的距離相等.那么正五邊形有無內切圓呢？圓心是誰？半徑是誰？(按中等生回答).同樣，正n邊形也應有一個內切⊙o，且兩圓同心.哪位同學能敘述一下正多邊形的這個性質定理？(安排中上生回答)板書：定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.引導，正n邊形既有一個外接圓又有一個內切圓，而且兩圓同心就給正多邊形帶來了一系列的有關概念，請閱讀教材p.158下數第2自然段.學生看書，教師板書：1.正多邊形中心；2.正多邊形半徑；3.正多邊形的邊心距；4.正多邊形的中心角.幻燈顯示練習題，教師提問：1.o是正△abc的中心，它是正△abc的______圓與______圓的圓心；2.ob叫正△abc的______它是正△abc的______圓的半徑；
3.od叫作正△abc的______，它是正△abc的______圓的半徑.4.正方形abcd的外接圓圓心o叫做正方形abcd的______.5.正方形abcd的內切圓⊙o的半徑oe叫做正方形abcd的______.6.⊙o是正五邊形abcde的外接圓，弦ab的弦心距of叫正五邊形abcde的______，它是正五邊形abcde的圓的半徑.7.∠aob叫做正五邊形abcde的______角，它的度數是______.8.圖中正六邊形abcdef的中心角是______，它的度數是______.
9.你發現正六邊形abcdef的半徑與邊長具有什么數量關系？為什么？10.正三角形的一個外角度數是______；正方形的一個外角度數是______；正五邊形的一個外角度數是______；正六邊形的一個外角度數是______；正n邊形的一個外角度數是______.11.正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等.
教師引導：下面我們研究正多邊形都具有哪些性質？教師提問：根據正多邊形的定義，你想到它應具有什么性質？(安排中下生回答)板書：正多邊形性質：1.各邊都相等；2.各角都相等.教師提問：1.什么叫軸對稱圖形？(安排記起來的學生回答).2.正三角形是不是軸對稱圖形？(讓中下生答).3.它有幾條對稱軸？(中等生回答).4.正方形是不是軸對稱圖形？(中下生回答).5.它有幾條對稱軸？(中等生回答)
幻燈演示：觀察圖中正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？(學生思考、討論)引導：以此類推，對正n邊形又該有什么結論？(讓中下生回答)板書：性質3.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心.教師提問：1.什么叫中心對稱圖形？(讓記起來的學生回答).2.正三角形是不是中心對稱圖形？正方形呢？正五邊形呢？正六邊形呢？3.什么樣的正多邊形是中心對稱圖形？(安排中等學生回答).板書：續性質3 邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.教師提問：1.所有的等邊三角形都相似嗎？為什么？(安排中上生回答).2.所有的正方形都相似嗎？為什么？(安排中等生回答).3.所有的邊數相同的正多邊形都相似嗎？為什么？(由中下生回答).板書：性質4.邊數相同的正多邊形相似.(教師講解)：大家都記得相似多邊形的周長比等于相似比.面積的比等于相似比平方，不難證明，相似正多邊形的邊心距、半徑的比都等于相似比.板書：續性質4，它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.性質5：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.三、課堂小結：本堂課主要學習了正多邊形的兩部分有關內容：1.概念；2.性質.教師提問：1.你學習了正多邊形的哪些有關概念？2.正多邊形有哪些性質？四、布置作業教材p.172中4；p.159中練習1、2、3.
正多邊形和圓 篇3
教學設計示例1
教學目標 ：
（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；
（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想.
教學重點：
正多邊形的概念與的關系的第一個定理.
教學難點 ：
對定理的理解以及定理的證明方法.
教學活動設計：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？
2.正方形的邊、角各有什么性質？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.
教師組織學生進行，并可以提問學生問題.
（二）正多邊形的概念：
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
（2）概念理解：
①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.
（三）分析、發現：
問題：正多邊形與圓有什么關系呢？
發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓.
分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分.要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；
(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
我們以n=5的情況進行證明.
已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線.
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.
證明：（略）
引導學生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形.
（五）初步應用
P157練習
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2.求證：正五邊形的對角線相等.
3.如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形.
（六）小結：
知識：（1）正多邊形的概念.（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業 教材P172習題A組2、3.
教學設計示例2
教學目標 ：
（1）理解正多邊形與圓的關系定理；
（2）理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質；
（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（4）通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學重點：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理.
教學難點 ：
對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解.
教學活動設計：
（一）提出問題：
問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢？
（二）實踐與探究：
組織學生自己完成以下活動.
實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點.)
（2）根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？
（3）正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？
（三）拓展、推理、歸納：
（1）拓展、推理：
過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD.
同理，點E在⊙O上.
所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O.
因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓.
（2）歸納：
正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上
它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑.
其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑.
正五邊形的各頂點共圓.
正五邊形有外接圓.
圓心到各邊的距離相等.
正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離.
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內切圓.
定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個中心角都等于 .
（3）鞏固練習：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______.
2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______.
3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______.
4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等.
（四）正多邊形的性質：
1、各邊都相等.
2、各角都相等.
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？
3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心.邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
4、邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
以上性質，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養學生的探究問題的能力、培養學生的研究意識，也培養學生的協作學習精神.
（五）總結
知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質.
能力：探索、推理、歸納等能力.
方法：證明點共圓的方法.
（六）作業 P159中練習1、2、3.
教學設計示例3
教學目標 ：
（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理；
（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；
（3）通過例題的研究，培養學生的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識.
教學重點：
綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸.
教學難點 ：綜合運用知識證題.
教學活動設計：
（一）知識回顧
1.什么叫做正多邊形？
2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3.正多邊形有哪些性質？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)
4.正n邊形的每個中心角都等于 .
5.正多邊形的有關的定理.
（二）例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可.
教師引導學生分析，學生動手證明.
證法1：連結OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O.
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.
∴∠BAO=∠OCB.
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.
∴五邊形ABCDE是正五邊形.
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.
∠B=∠C ∠1=∠2 = .
同理 = = = ，
即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點.所以五邊形ABCDE是正五邊形.
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點.由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”.
此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法.
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚.
例2、已知：正六邊形ABCDEF.
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓.
作法：1過A、B、C三點作⊙O.⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓.
2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓.
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓.
練習：P161
1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例.
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓.
（三）小結
知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法.
能力與方法：重點復習了正多邊形的判定.正多邊形的外接圓與內切圓的畫法.
（四）作業
教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4.
探究活動
折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形.
（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）
（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形.
（提示：可以.主要應用把一個直角三等分的原理.參考圖形如下：
①對折成小正方形ABCD；
②對折小正方形ABCD的中線；
③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形.）
探究問題：
（安徽省2002）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形.如圖一，△ABC是正三角形, 形， = = ，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形.我想，邊數是7時，它可能也 是正多邊形.
(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等.
(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證).
(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明).
（1）[說明]
（2）[證明]
（3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對 .因為 = ，而∠DAF對的 = + = + = .所以∠AFC=∠DAF.
同理可證，其余各角都等于∠AFC.所以，圖1中六邊形各內角相.
（2）因為∠A對 ，∠B對 ，又因為∠A=∠B，所以 = .所以 = .
同理 = = = = = = .所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形.
猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，……時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
正多邊形和圓 篇4
教學設計示例1
教學目標：
（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；
（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想.
教學重點：
正多邊形的概念與的關系的第一個定理.
教學難點：
對定理的理解以及定理的證明方法.
教學活動設計：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？
2.正方形的邊、角各有什么性質？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.
教師組織學生進行，并可以提問學生問題.
（二）正多邊形的概念：
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
（2）概念理解：
①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.
（三）分析、發現：
問題：正多邊形與圓有什么關系呢？
發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓.
分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分.要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；
(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
我們以n=5的情況進行證明.
已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線.
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.
證明：（略）
引導學生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形.
（五）初步應用
P157練習
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2.求證：正五邊形的對角線相等.
3.如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形.
（六）小結：
知識：（1）正多邊形的概念.（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業 教材P172習題A組2、3.
教學設計示例2
教學目標：
（1）理解正多邊形與圓的關系定理；
（2）理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質；
（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（4）通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學重點：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理.
教學難點：
對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解.
教學活動設計：
（一）提出問題：
問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢？
（二）實踐與探究：
組織學生自己完成以下活動.
實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點.)
（2）根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？
（3）正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？
（三）拓展、推理、歸納：
（1）拓展、推理：
過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD.
同理，點E在⊙O上.
所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O.
因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓.
（2）歸納：
正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上
它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑.
其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑.
正五邊形的各頂點共圓.
正五邊形有外接圓.
圓心到各邊的距離相等.
正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離.
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內切圓.
定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個中心角都等于 .
（3）鞏固練習：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______.
2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______.
3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______.
4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等.
（四）正多邊形的性質：
1、各邊都相等.
2、各角都相等.
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？
3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心.邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
4、邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
以上性質，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養學生的探究問題的能力、培養學生的研究意識，也培養學生的協作學習精神.
（五）總結
知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質.
能力：探索、推理、歸納等能力.
方法：證明點共圓的方法.
（六）作業 P159中練習1、2、3.
教學設計示例3
教學目標：
（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理；
（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；
（3）通過例題的研究，培養學生的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識.
教學重點：
綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸.
教學難點：綜合運用知識證題.
教學活動設計：
（一）知識回顧
1.什么叫做正多邊形？
2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3.正多邊形有哪些性質？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)
4.正n邊形的每個中心角都等于 .
5.正多邊形的有關的定理.
（二）例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可.
教師引導學生分析，學生動手證明.
證法1：連結OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O.
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.
∴∠BAO=∠OCB.
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.
∴五邊形ABCDE是正五邊形.
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.
∠B=∠C ∠1=∠2 =.
同理 ===，
即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點.所以五邊形ABCDE是正五邊形.
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點.由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”.
此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法.
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚.
例2、已知：正六邊形ABCDEF.
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓.
作法：1過A、B、C三點作⊙O.⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓.
2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓.
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓.
練習：P161
1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例.
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓.
（三）小結
知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法.
能力與方法：重點復習了正多邊形的判定.正多邊形的外接圓與內切圓的畫法.
（四）作業
教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4.
探究活動
折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形.
（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）
（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形.
（提示：可以.主要應用把一個直角三等分的原理.參考圖形如下：
①對折成小正方形ABCD；
②對折小正方形ABCD的中線；
③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形.）
探究問題：
（安徽省2002）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形.如圖一，△ABC是正三角形, 形， ==，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形.我想，邊數是7時，它可能也 是正多邊形.
(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等.
(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證).
(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明).
（1）[說明]
（2）[證明]
（3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對 .因為 =，而∠DAF對的 =+ =+ =.所以∠AFC=∠DAF.
同理可證，其余各角都等于∠AFC.所以，圖1中六邊形各內角相.
（2）因為∠A對 ，∠B對 ，又因為∠A=∠B，所以 =.所以 =.
同理 ======.所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形.
猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，……時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
正多邊形和圓 篇5
教學設計示例1
教學目標 ：
（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；
（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想.
教學重點：
正多邊形的概念與的關系的第一個定理.
教學難點 ：
對定理的理解以及定理的證明方法.
教學活動設計：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？
2.正方形的邊、角各有什么性質？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.
教師組織學生進行，并可以提問學生問題.
（二）正多邊形的概念：
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
（2）概念理解：
①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.
（三）分析、發現：
問題：正多邊形與圓有什么關系呢？
發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓.
分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分.要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；
(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
我們以n=5的情況進行證明.
已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線.
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.
證明：（略）
引導學生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形.
（五）初步應用
P157練習
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2.求證：正五邊形的對角線相等.
3.如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形.
（六）小結：
知識：（1）正多邊形的概念.（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業 教材P172習題A組2、3.
教學設計示例2
教學目標 ：
（1）理解正多邊形與圓的關系定理；
（2）理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質；
（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（4）通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學重點：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理.
教學難點 ：
對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解.
教學活動設計：
（一）提出問題：
問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢？
（二）實踐與探究：
組織學生自己完成以下活動.
實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點.)
（2）根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？
（3）正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？
（三）拓展、推理、歸納：
（1）拓展、推理：
過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD.
同理，點E在⊙O上.
所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O.
因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓.
（2）歸納：
正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上
它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑.
其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑.
正五邊形的各頂點共圓.
正五邊形有外接圓.
圓心到各邊的距離相等.
正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離.
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內切圓.
定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個中心角都等于 .
（3）鞏固練習：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______.
2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______.
3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______.
4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等.
（四）正多邊形的性質：
1、各邊都相等.
2、各角都相等.
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？
3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心.邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
4、邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
以上性質，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養學生的探究問題的能力、培養學生的研究意識，也培養學生的協作學習精神.
（五）總結
知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質.
能力：探索、推理、歸納等能力.
方法：證明點共圓的方法.
（六）作業 P159中練習1、2、3.
教學設計示例3
教學目標 ：
（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理；
（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；
（3）通過例題的研究，培養學生的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識.
教學重點：
綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸.
教學難點 ：綜合運用知識證題.
教學活動設計：
（一）知識回顧
1.什么叫做正多邊形？
2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3.正多邊形有哪些性質？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)
4.正n邊形的每個中心角都等于 .
5.正多邊形的有關的定理.
（二）例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可.
教師引導學生分析，學生動手證明.
證法1：連結OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O.
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.
∴∠BAO=∠OCB.
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.
∴五邊形ABCDE是正五邊形.
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.
∠B=∠C ∠1=∠2 = .
同理 = = = ，
即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點.所以五邊形ABCDE是正五邊形.
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點.由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”.
此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法.
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚.
例2、已知：正六邊形ABCDEF.
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓.
作法：1過A、B、C三點作⊙O.⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓.
2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓.
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓.
練習：P161
1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例.
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓.
（三）小結
知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法.
能力與方法：重點復習了正多邊形的判定.正多邊形的外接圓與內切圓的畫法.
（四）作業
教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4.
探究活動
折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形.
（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）
（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形.
（提示：可以.主要應用把一個直角三等分的原理.參考圖形如下：
①對折成小正方形ABCD；
②對折小正方形ABCD的中線；
③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形.）
探究問題：
（安徽省2002）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形.如圖一，△ABC是正三角形, 形， = = ，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形.我想，邊數是7時，它可能也 是正多邊形.
(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等.
(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證).
(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明).
（1）[說明]
（2）[證明]
（3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對 .因為 = ，而∠DAF對的 = + = + = .所以∠AFC=∠DAF.
同理可證，其余各角都等于∠AFC.所以，圖1中六邊形各內角相.
（2）因為∠A對 ，∠B對 ，又因為∠A=∠B，所以 = .所以 = .
同理 = = = = = = .所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形.
猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，……時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
正多邊形和圓 篇6
教學目標：
1、使學生理解正多邊形概念；
2、使學生了解依次連結圓的n等分點所得的多邊形是正多邊形；過圓的n等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是正多邊形.
3、通過正多邊形定義教學培養學生歸納能力；
4、通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力.
教學重點：
(1)正多邊形的定義；
(2)n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
教學難點：
對正n邊形中泛指“n”的理解.
教學過程：
一、新課引入：
同學們思考以下問題：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？2.正方形的邊、角各有什么性質？[安排中下生回答] 3.等邊三角形與正方形的邊、角性質有什么共同點？[安排中上生回答：各邊相等、各角相等].
各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形.這就是我們今天學習的內容“7.15正多邊形和圓”.
二、新課講解：
正多邊形在生產實踐中有廣泛的應用性，因此，正多邊形的知識對學生進一步學習和參加生產勞動都是必要的.因此本節課首先給出正多邊形的定義，然后根據正多邊形的定義和圓的有關知識推導出正多邊形與圓的第一個關系定理，即n等分圓周就可得到圓的內接或外切正n邊形，它是正多邊形畫圖的理論依據，因此也是本節課的重點之一.
同學回答：什么是正多邊形？[安排中下生回答：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.]
如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
幻燈展示圖形：
上面這些圖形都是正幾邊形？[安排中下生回答：正三角形，正四邊形，正五邊形，正六邊形.]
矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？[安排中下生回答：矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.]
哪位同學記得在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距關系定理？[安排記起來的學生回答：在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距有一組量相等，那么其余量都相等.]
要將圓三等分，那么其中一等份的弧所對圓心角度數是多少？要將圓四等分、五等分、六等分呢？[安排中下生回答：將圓三等分，其中每等份弧所對圓心角120°、將圓四等分，每等份弧所對圓心角90°、五等分，圓心角72°、六等分，圓心角60°]
哪位同學能用量角器將黑板上的圓三等分、四等分、五等分、六等分？[接排四名上等生上黑板完成，其余學生在下面練習本上用量角器等分圓周.]
大家依次連結各分點看所得的圓內接多邊形是什么樣的多邊形？[學生答：正多邊形.]
求證：五邊形abcde是⊙o的內接正五邊形.
以幻燈所示五邊形為例，哪位同學能證明這五邊形的五條邊相等？[安排中等生回答：]
哪位同學能證明這五邊形的五個角相等？[安排中等生回答：]
前面的證明說明“依次連結圓的五等分點所得的圓內接五邊形是正五邊形”的觀察后的猜想是正確的.如果n等分圓周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正確呢？[安排學生們充分討論].
因為在同圓中，弧等弦等，n等分圓就得到n條弦等，也就是n邊形的各邊都相等.又n邊形的每個內角對圓的(n-2)條弧，而每一內角所對的弧都相等，根據弧等、圓周角相等，證明了n邊形的各角都相等，因此圓內接正五邊形的證明具有代表性.
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；
為何要“依次”連結各分點呢？缺少“依次”二字會出現什么現象？大家討論討論看看.
經過圓的五等分點作圓的切線，大家觀察以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是不是正五邊形？
pq、qr、rs、st分別是經過分點a、b、c、d、e的⊙o的切線.
求證：五邊形pqrst是⊙o的外切正五邊形.
由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同學能說明五邊形pqrst的各角都相等？[安排中上生回答]哪位同學能證明五邊形pqrst的各邊都相等？[安排中等生回答.]
前面同學的證明，說明“經過圓的五等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正五邊形.”同樣根據弧等弦等、弦切角等就可證明經過圓的n等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的n個等腰三角形全等，從而證明了這個圓的以它n等分點為切點的外切n邊形是正n邊形.
(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
定理(2)中少“相鄰”兩字行不行？少“相鄰”兩字會出現什么現象？同學們相互間討論研究看看.
三、課堂小結：
本堂課我們學習的知識：
1.學習了正多邊形的定義.
2.n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
四、布置作業
教材p.147.練習2、3；p.172中2、3、4(1).
正多邊形和圓 篇7
教學設計示例1
教學目標：
（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；
（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想.
教學重點：
正多邊形的概念與的關系的第一個定理.
教學難點：
對定理的理解以及定理的證明方法.
教學活動設計：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？
2.正方形的邊、角各有什么性質？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.
教師組織學生進行，并可以提問學生問題.
（二）正多邊形的概念：
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
（2）概念理解：
①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.
（三）分析、發現：
問題：正多邊形與圓有什么關系呢？
發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓.
分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分.要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；
(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
我們以n=5的情況進行證明.
已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線.
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.
證明：（略）
引導學生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形.
（五）初步應用
P157練習
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2.求證：正五邊形的對角線相等.
3.如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形.
（六）小結：
知識：（1）正多邊形的概念.（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業 教材P172習題A組2、3.
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正多邊形和圓 篇8
教學設計示例1
教學目標 ：
（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；
（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想.
教學重點：
正多邊形的概念與正多邊形和圓的關系的第一個定理.
教學難點 ：
對定理的理解以及定理的證明方法.
教學活動設計：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？
2.正方形的邊、角各有什么性質？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.
教師組織學生進行，并可以提問學生問題.
（二）正多邊形的概念：
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
（2）概念理解：
①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.
（三）分析、發現：
問題：正多邊形與圓有什么關系呢？
發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓.
分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分.要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；
(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
我們以n=5的情況進行證明.
已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線.
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.
證明：（略）
引導學生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形.
（五）初步應用
P157練習
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2.求證：正五邊形的對角線相等.
3.如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形.
（六）小結：
知識：（1）正多邊形的概念.（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業 教材P172習題A組2、3.
教學設計示例2
教學目標 ：
（1）理解正多邊形與圓的關系定理；
（2）理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質；
（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（4）通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學重點：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理.
教學難點 ：
對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解.
教學活動設計：
（一）提出問題：
問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢？
（二）實踐與探究：
組織學生自己完成以下活動.
實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點.)
（2）根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？
（3）正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？
（三）拓展、推理、歸納：
（1）拓展、推理：
過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD.
同理，點E在⊙O上.
所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O.
因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓.
（2）歸納：
正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上
它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑.
其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑.
正五邊形的各頂點共圓.
正五邊形有外接圓.
圓心到各邊的距離相等.
正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離.
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內切圓.
定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個中心角都等于 .
（3）鞏固練習：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______.
2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______.
3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______.
4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等.
（四）正多邊形的性質：
1、各邊都相等.
2、各角都相等.
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？
3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心.邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
4、邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
以上性質，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養學生的探究問題的能力、培養學生的研究意識，也培養學生的協作學習精神.
（五）總結
知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質.
能力：探索、推理、歸納等能力.
方法：證明點共圓的方法.
（六）作業 P159中練習1、2、3.
教學設計示例3
教學目標 ：
（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理；
（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；
（3）通過例題的研究，培養學生的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識.
教學重點：
綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸.
教學難點 ：綜合運用知識證題.
教學活動設計：
（一）知識回顧
1.什么叫做正多邊形？
2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3.正多邊形有哪些性質？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)
4.正n邊形的每個中心角都等于 .
5.正多邊形的有關的定理.
（二）例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可.
教師引導學生分析，學生動手證明.
證法1：連結OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O.
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.
∴∠BAO=∠OCB.
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.
∴五邊形ABCDE是正五邊形.
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.
∠B=∠C ∠1=∠2 =.
同理 ===，
即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點.所以五邊形ABCDE是正五邊形.
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點.由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”.
此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法.
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.（證明略）
學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚.
例2、已知：正六邊形ABCDEF.
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓.
作法：1過A、B、C三點作⊙O.⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓.
2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓.
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓.
練習：P161
1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例.
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形.
3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓.
（三）小結
知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法.
能力與方法：重點復習了正多邊形的判定.正多邊形的外接圓與內切圓的畫法.
（四）作業
教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4.
探究活動
折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形.
（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）
（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形.
（提示：可以.主要應用把一個直角三等分的原理.參考圖形如下：
①對折成小正方形ABCD；
②對折小正方形ABCD的中線；
③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形.）
探究問題：
（安徽省2002）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形.如圖一，△ABC是正三角形, 形， ==，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形.我想，邊數是7時，它可能也 是正多邊形.
(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等.
(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證).
(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明).
（1）[說明]
（2）[證明]
（3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對 .因為 =，而∠DAF對的 =+ =+ =.所以∠AFC=∠DAF.
同理可證，其余各角都等于∠AFC.所以，圖1中六邊形各內角相.
（2）因為∠A對 ，∠B對 ，又因為∠A=∠B，所以 =.所以 =.
同理 ======.所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形.
猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，……時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形.