江西贛州會場一等獎：圓周率的歷史

【教學內容】新世紀小學數學六年級上冊第14－15頁“數學閱讀——圓周率的歷史” 【教材分析】 教材是在學生通過簡單試驗初步體驗了圓周率和利用圓周率計算圓的周長之后安排了這個數學閱讀內容，為學生展示了圓周率的研究簡史，介紹了相關的圓周率的研究方法，為學生打開了一扇窺視數學文化發展史的窗戶，為進一步理解圓周率的意義，及今后中學的相關數學學習，留下一片想象的空間。教材羅列了在圓周率研究歷史中最為重要的人物及方法，從古至今，涵蓋中外，以圓周率的探索過程為主線，以體現圓周率的文化價值為主格調，來滿足孩子們的好奇心，通過閱讀來挖掘圓周率蘊含的教育價值，感受數學的魅力，激發研究數學的興趣。 本閱讀內容信息量大、數學術語多、理解困難。涉及到圓的內接、外切正多邊形、割圓術、勾股定理、投針試驗等數學術語，在給學生帶來大量信息的同時，也為他們帶來了大量的疑問，但這些疑問并非本節課的重點，重點在于“閱讀——熏陶”。 【學生分析】 學生在接觸這部分內容之前，在“圓的周長”部分進行了簡單的圓周率的測量試驗研究時，部分同學已經了解了祖沖之的相關成就，然而對阿基米德和劉徽的成就知之甚少，對“投針試驗”基本上沒有聽說過；另外，學生的了解一般停留在簡單的知識常識上，對于圓周率的計算研究方法及其蘊含的數學思想很少涉及。（經過簡單調查，知道“祖沖之及其對圓周率的貢獻的大約占90%，然而直到劉徽的割圓術的只有大約8%，聽說過”投針試驗“的人數為零。） 作為六年級的學生，作為處在高度現代化的城市——深圳的學生，他們運用圖書、網絡搜集信息的能力非常強，對于這部分閱讀資料的興趣濃厚，許多學生都已經迫不及待的閱讀、查閱（已經提前閱讀的人數大約占85%）。因此，不妨把閱讀任務下放到課外，把搜集“圓周率的歷史”資料作為課前實踐作業，把課堂作為交流、釋疑的平臺。 【學習目標】 知識與技能：閱讀圓周率的發展簡史，感受數學知識的探索過程， 了解圓周率的研究史上的相關知識及做出重要貢獻的人物和研究方法。過程與方法：通過自主搜集圓周率的相關資料、交流體驗，培養收集信息、整合信息，提高質疑、理解的能力。在閱讀理解過程中，體驗數學研究方法發展的過程、極限思想、圓周率精確位數的現代價值等，為今后的數學學習提供一定的參考價值。情感態度價值觀：通過閱讀“圓周率的歷史”，體驗數學文化的魅力，激發研究數學的興趣，在閱讀劉徽、祖沖之的相關成就時激發民族自豪感。 【教學過程】 （一）讓我們來交流搜集到的信息 師：回憶一下，怎樣計算一個圓的周長？ 師：在計算圓的周長的時候，需要用到圓周率。說到圓周率，我們知道它是圓的周長和直徑之間固定的倍數關系，這是一個無限不循環小數，這么復雜的一個數，它是怎么來的呢？是一個人研究的結果嗎？都有哪些研究方法呢？人們什么時候就發現了圓周率？圓周率發展的歷史是怎么樣的呢？……許多同學早就閱讀了課本上的關于圓周率的歷史資料，昨天也回去搜集了關于圓周率歷史的信息，拿出來，讓我們來交流一下搜集到的信息吧！學生分小組交流信息，教師板書：圓周率的歷史 （二）讓我們這樣來分享信息 師：我們收集到的資料可能各不相同，讓我們來一同分享吧！ 師：圓周率的研究歷史經歷的時間是很長的，我們搜集到的信息也是很豐富的，老師建議讓我們這樣來分享這些信息吧：把圓周率的歷史分為三個時期——測量計算時期、推理計算時期、新方法時期，可以嗎？ 師：那大家先分小組商量一下怎么匯報，推薦代表，比一比，哪個小組匯報得清楚。學生分小組商量，教師板書：實際測量時期、推理計算時期、新方法時期 師：在匯報的時候請介紹清楚代表人物、基本方法、大約年代、主要結論。 1.測量計算時期 師：哪個小組來介紹第一個時期——測量計算時期？小組代表1：人們很早就注意到了圓周率。大約在2000多年前，中國的《周髀算經》就有介紹。方法是通過輪子轉一圈的長度，觀察到圓的周長和直徑之間有一定的聯系，通過測量、計算出圓的周長總是直徑的3倍多。 掌聲響起。 師：還有補充嗎？ 生1：《周髀算經》中的記載是“周三徑一”。 生2：那時候的圓周率一般都采用3來計算圓的周長。 生3：基督教中的《圣經》也把圓周率取為3。 師：謝謝你們的及時補充，不過，什么叫“周三徑一”？搜集信息的時候考慮過嗎？ 生4：就是一個圓，“周”就是周長，“徑”指的是直徑，它的周長是3份的話，直徑就是1份。 生5：哦，也就是一個圓的周長大約是直徑的3倍。 師：我國的《周髀算經》比《圣經》要稍微早一些，不過在大約公元前950年，中國、印度、巴比倫幾乎都在使用3這個數值來表示圓周率，人們對于圓周率的研究真夠早的。 師：看看他們的研究方法，好像我們曾經用過。 生6：是的，我們在研究圓的周長的計算方法的時候，也是測量幾個圓的周長，再除以直徑，都是三倍多一些。 （教師板書：研究方法：觀察、測量、計算，研究結論：周三徑一） 2.推理計算時期 師：第二個時期。 小組代表2：我來匯報推理計算時期。我們收集到的信息是幾何法時期。代表人物有古希臘的阿基米德、中國的劉徽、祖沖之。阿基米德用的方法是利用圓內接正多邊形和圓的外切正多邊形進行研究；劉徽用的是“割圓術”；祖沖之用的方法已經不是很清楚了。師：能介紹一下，他們的成績或者是結論嗎？小組代表3：我們小組可以介紹！阿基米德在《圓的度量》，利用圓的外切與內接96邊形，求得圓周率π為： ＜π＜ ，這是數學史上最早的，明確指出誤差限度的π值；劉徽得到圓周率的近似值是3.14；祖沖之算出π的值在3.1415926到3.1415927之間，并且得到了π的兩個分數形式的近似值約率為，密率為。 師：他們的年代？ 小組代表5：我們小組來介紹，阿基米德和劉徽大約是同時代的人，不過阿基米德研究圓周率的時間比劉徽稍微早一些，但劉徽運用的方法和他不同。祖沖之大約在1500多年前。 師：他們三個人對于圓周率的貢獻是很大的，在數學的歷史上書寫了濃墨重彩的一筆，劉徽和祖沖之也是我們中國的驕傲，大家想一想，祖沖之把圓周率精確到小數點后7位，這一成就在世界上領先了約1000年！ 師：讓我們來看看書上對于他們的介紹吧。 學生閱讀教材第14頁至15頁關于阿基米德、劉徽和祖沖之的介紹。 師：在分享知識的同時，有問題一起分享、一起思考嗎？ 生7：祖沖之的成就中有一個名詞叫“約率”，還有，什么叫“密率”？ 師：祖沖之的成就雖然在1500多年前，但在現在仍然值得我們去慢慢推敲，讓我們和這位同學一起看看祖沖之的這兩個名詞吧。 學生閱讀。 生8：老師，我想“約率”應該是粗略的圓周率的意思吧，“密率”就是比較精確的圓周率。 同學們紛紛表示同意。 師：和真的都接近圓周率嗎？讓我們算一算，好嗎？ 男生計算、女生計算的小數值。通過計算發現確實非常接近。 師：能寫出一個特別接近圓周率的分數，是一件非常有意思的事。 生9：不是很理解他們用的方法。 師：是啊，他們究竟用什么樣的方法，能不需要測量就能計算圓周率呢? 教師展示多媒體課件： 阿基米德的方法：出示圓的內接六邊形、外切正六邊形圖形；接著出示圓的內接正十二邊形、外切正十二邊形圖形。 師：圓的周長處于內外兩個正六邊形之間，同樣，也會處在內外兩個正十二邊形之間，這樣，越來越接近圓的周長。 劉徽的方法：他由圓內接正六邊形算起，逐漸把邊數加倍，算出正12邊形、正24邊形、正48邊形、正96邊形……的面積，這些面積會逐漸地接近圓面積。這是一種非常重要的數學思想。按照這樣的思路，劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率 為3.14和 3.1416這兩個近似數值。師：祖沖之用什么方法得到那么精確的圓周率，已經很難知道了，但可以肯定劉徽的方法給了他很大的啟發和影響。 3.新方法時期 師：劉徽和祖沖之的方法，是不是就可以這樣一直推下去呢？ 生10：應該可以。 生11：可能不行，不然為什么一千多年沒有再發展呢？ 師：由于計算工具的限制，可以說，祖沖之的成就已經把圓周率的精確程度推倒了極致，計算量太大了。但是，隨著電子計算機的出現，這個問題順利解決了，π小數點后面的精確數字發展到成千上萬、甚至幾萬億位。有些人還用圓周率來鍛煉記憶能力呢。師：另外，聰明的數學家還利用似乎與圓不相關“投針”的方法來計算圓周率，竟然和祖沖之的結果基本接近！讓我們來欣賞一下圓周率的新方法時期吧。學生看書第15頁，“投針試驗”和“電子計算機的革命”部分。 師：怎么樣？有什么想說的？ 生12：電子計算機給我們解決了復雜的計算問題，數學家們主要就負責方法就可以了。 生13：這“投針試驗”究竟是怎么回事？ 許多學生表示同樣的疑問。 多媒體課件演示布豐的“投針試驗”。 （三）讓我們來分享感受 師：我們還有許多感受沒有說出來，也還有許多信息沒有聽到，讓我們再次分享各自獲得的信息和感想吧！ 五、教學反思 《數學閱讀》在課程改革之前的教材中從未涉及，就是在課程改革之后的教材中也很少安排。在和學生對“圓周率的歷史”的共同解讀之后，有了許多收獲，也留下了一些思考： 1.豐富的內容，讓學生學會獲取 這部分內容豐富，他們也非常感興趣，同時，作為現代城市的孩子，他們也有能力利用網絡、書籍等自主獲取圓周率歷史的相關知識。事實證明，他們可以獲得相關的大部分資料。 2.大量的信息，讓學生學會分享 圓周率歷史的信息量非常大，一個人獲取的信息可能各有不同，此外，學生的獲取信息的能力也各有差異，他們需要分享。在本節課中，我把“分享”作為主線，給他們設計好分享的步驟，主持分享的過程。他們在分享中互相學習，了解圓周率的歷史、數學思想、民族自豪感…… 3.深奧的數學思想和知識，需要怎樣的引導和解釋 在圓周率的歷史中，涉及到許多深奧的數學思想和知識，有極限思想、概率思想、外切、內接、勾股定理等，雖然本節課的重點在感受圓周率的這一歷史文化，但這些深奧的數學思想和知識，他們不會熟視無睹，他們渴望了解。因此，我準備了多媒體資料，給他們適當了解的機會，但學生在接觸的過程中，似乎明白了一些，但也有一部分學生感覺疑問越來越多，怎樣的引導才更為適合他們？ 【案例點評】 本節課是類似于語文教學中的獨立閱讀課文，信息量大、涉及知識深，但張老師很好地把握了教學目標，沒有把數學閱讀課上為數學知識教學課。主要特點有： 1.精心準備資料，關注學學文化 每個學生只需要準備一部分關于圓周率歷史的相關信息就可以了，但教師可能要翻閱數倍的信息才可以把握好圓周率歷史的發展歷程，更要深入思考這一過程中深奧的數學思想和知識，而這里的數學知識對于小學數學教師來說，是由一定的難度的。從張老師準備的多媒體課件看出，他深刻地理解了圓周率推導的過程。學生的收獲的就不僅僅是簡單的數學知識，而是融和了數學概念、數學歷史和數學方法的數學文化。 2.注重收集信息、分享信息能力的培養 本節課根據教學內容的特點，讓學生自主收集信息、分享信息，在分享中獲得知識、獲得快樂、感受數學思想，目標定位非常準確。學生在圓周率的相關歷史的討論中，交流課前自己收集到的信息，傾聽別人了解到的知識，理解“割圓術”、“正多邊形”等數學概念，思考推導圓周率、“投針試驗”等思想、方法，充分享受收集信息與交流信息帶來的樂趣和價值。　　 （點評：陳清容 單位：深圳市南山區教研室）