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三角形三條邊的關(guān)系

三角形三條邊的關(guān)系


1、教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是三角形三邊關(guān)系定理及推論.這個定理與推論不僅給出了三角形的三邊之間的大小關(guān)系,更重要的是提供了判斷三條線段能否組成三角形的標(biāo)準(zhǔn);熟練靈活地運(yùn)用三角形的兩邊之和大于第三邊,是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的一個體現(xiàn);同時也有助于提高學(xué)生全面思考數(shù)學(xué)問題的能力;它還將在以后的學(xué)習(xí)中起著重要作用.

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)一是三角形按邊分類,很多學(xué)生常常把等腰三角形與等邊三角形看成獨(dú)立的兩類,而在解題中產(chǎn)生錯誤.二是利用三角形三邊之間的關(guān)系解題,在學(xué)習(xí)和應(yīng)用這個定理時,“兩邊之和大于第三邊”指的是“任何兩邊的和”都“大于第三邊”而學(xué)生的錯誤就在于以偏概全;分類討論在解題中也是學(xué)生感到困難的一個地方.

2、教法建議

沒有學(xué)生參與的教學(xué)是不成功的教學(xué),教師為了充分調(diào)動主體參與,必須在為學(xué)生提供必要的背景知識的前提下,與學(xué)生一道探索定理在結(jié)構(gòu)上、應(yīng)用上留給我們的啟示.具體說明如下:

(1)強(qiáng)化能力

新課引入,先讓學(xué)生閱讀教材第一部分,然后通過回答教師設(shè)計的幾個問題,使學(xué)生明確對三角形按邊分類,做到不重不漏,其中等腰三角形包括等邊三角形,反過來等邊三角形是等腰三角形的一種特例.

通過閱讀,使學(xué)生初步認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的含義,發(fā)現(xiàn)疑難;理解領(lǐng)會數(shù)學(xué)語言(文字語言、符號語言、圖形語言),促進(jìn)數(shù)學(xué)語言內(nèi)化,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語言水平、自學(xué)能力及交流能力

(2)主動獲取

在得出三角形三條邊關(guān)系定理過程中,針對基礎(chǔ)比較好的學(xué)生,讓學(xué)生考慮回憶第

一冊第一章中學(xué)過的這條公理并給出證明,在這個基礎(chǔ)上,讓學(xué)生把定理的內(nèi)容敘述出來.(3)激蕩思維

由定理獲得了:判斷三條線段構(gòu)成一個三角形的一種方法,除了這一種方法外,是否還有其它的判斷方法呢?從而激蕩起學(xué)生思維浪花:方法是什么呢?學(xué)生最初可能很快得到“推論”,此時瓜熟蒂落,順理成章地引出教材中的推論.在此基礎(chǔ)上,讓學(xué)生通過討論,簡化上述兩種方法,由此得到下面兩種方法.這里,學(xué)生若感到困難,教師可適當(dāng)做提示.方法3:已知線段 ),若第三條線段c滿足 - <c<a+ ,則線段 , ,c可組成一個三角形.方法4:已知線段 , ,c且 ,若 + >c則線段 , ,c可組成一個三角形.教學(xué)中采用這種教學(xué)方法可培養(yǎng)學(xué)生分析問題探索問題的能力,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)完整性的認(rèn)識.

(4)加深理解

進(jìn)行必要的例題講解和適當(dāng)?shù)慕忸}練習(xí),以達(dá)到熟練地運(yùn)用定理及推論.從過程中讓學(xué)生體味到數(shù)學(xué)造化之神奇.也可適當(dāng)指出,此定理及推論不僅提供了判定三條線段是否構(gòu)成三角形的根據(jù),也為今后解決字母取值范圍問題提供了有利的依據(jù).

整個教學(xué)過程 ,是學(xué)生主動參與,教師及時點(diǎn)撥,學(xué)生積極探索的過程,教學(xué)過程 跌宕起伏,問題逐步深化,學(xué)生思維逐步擴(kuò)展,使學(xué)生在愉快、主動中得到發(fā)展.
教學(xué)目標(biāo) 

(1)掌握三角形三邊關(guān)系定理及其推論,會根據(jù)三條線段的長度判斷他們能否構(gòu)成三角形;

(2)弄清三角形按邊的相等關(guān)系的分類;

(3)通過三角形的分類學(xué)習(xí),使學(xué)生知道分類的基本思想,提高學(xué)生歸納概括的能力;

(4)通過三角形三邊關(guān)系定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的能力;

(5)通過等邊三角形是等腰三角形的特例,滲透一般與特殊的辯證關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn):三角形三邊關(guān)系定理及推論

教學(xué)難點(diǎn) :三角形按邊分類及利用三角形三邊關(guān)系解題

教學(xué)用具:直尺、微機(jī)

教學(xué)方法:談話、探究式

教學(xué)過程 

1、閱讀新課,回答問題

先讓學(xué)生閱讀教材的第一部分,然后回答下列問題:

(1)這一部分教材中的數(shù)學(xué)概念有哪些?(指出來并給予解釋)

(2)等腰三角形與等邊三角形有什么關(guān)系?

估計有的學(xué)生可能把等腰三角形和等邊三角形看成獨(dú)立的兩類.

(3)寫出三角形按邊的相等關(guān)系分類的情況.

教師最后板書給出.

(要求學(xué)生之間可互相補(bǔ)充,從一開始就鼓勵雙邊交流與多邊交流)

2、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出三邊關(guān)系定理

問題1:用長度為4cm、 10cm 、16cm的線繩(課前準(zhǔn)備好的)能否搭建一個三角形?(讓學(xué)生動手操作)

問題2:你能解釋上述結(jié)果的原因嗎?

問題3:任何三條線段都能組成一個三角形嗎?滿足什么條件時,三條線段可組成一個三角形?

定理:三角形兩邊的和大于第三邊

(發(fā)現(xiàn)過程采用小步子原則,讓學(xué)生在不知不覺中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的真理)

3、導(dǎo)出三邊關(guān)系定理的推論及其它兩種方法

由前面得到了判斷所給三條線段能否組成三角形的一個依據(jù).那么是否還有其它方法呢?請同學(xué)們在定理的基礎(chǔ)上來找:

估計學(xué)生很容易得到推論,讓學(xué)生用自己的語言敘述,教師稍加整理后給出規(guī)范敘述.

推論:三角形兩邊的差小于第三邊

(給每一個學(xué)生表現(xiàn)個人數(shù)學(xué)語言表達(dá)才能的機(jī)會)

能否簡化上面定理及推論?從而得到如下兩種判定方法:

(1)、已知線段 ),若第三條線段c滿足 - <c<a+ ,則線段 , ,c可組成一個三角形.(2)、已知線段 , ,c且 ,若 + >c則線段 , ,c可組成一個三角形.

4、三角形三邊關(guān)系定理及推論的應(yīng)用

例1 判斷題:(出示投影)

(1)等邊三角形是等腰三角形

(2)三角形可分為不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形

(3)已知三線段 滿足 ,那么 為邊可構(gòu)成三角形

(4)等腰三角形的腰比底長

(本例主要考察學(xué)生對概念、定理及推論的理解程度,不要求做在本上,只需口答即可)

(本例要求學(xué)生說出解題思路,教師點(diǎn)到為止)

例3 一個等腰三角形的周長為18 .

(1) 已知腰長是底邊長的2倍,求各邊長.

(2) 其中一邊長4 ,求其他兩邊長.

這是一道有課堂練習(xí)性質(zhì)的例題,允許學(xué)生有3分鐘左右的獨(dú)立思考,允許想出來的同學(xué)表達(dá)自己的想法,其它同學(xué)補(bǔ)充完善.

數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)應(yīng)該是敢于放手,盡可能多地給學(xué)生創(chuàng)造展示自己的思維空間和時間)

例4 草原上有4口油井,位于四邊形abcd的4個頂點(diǎn),

如圖1現(xiàn)在要建一個維修站h,試問h建在何處,

才能使它到4口油井的距離ha+hb+hc+hd為最小,

說明理由.

本例有一定的難度,給出的方法是解決此類型問題常見的極為簡捷的方法,略微構(gòu)造就可以使用三角形三邊關(guān)系定理得出答案.

5、小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形三邊關(guān)系的定理和推論,還知道了定理和推論的一系列靈活運(yùn)用:

(1)判斷三條已知線段能否組成三角形

采用一種較為簡便的判法:若最短邊與較長邊的和大于最長邊,則可構(gòu)成三角形,否則不能.

(2)確定三角形第三邊的取值范圍

兩邊之差<第三邊<兩邊之和

若時間寬裕,讓學(xué)生經(jīng)討論后自由表述,其他同學(xué)補(bǔ)充,自己將知識系統(tǒng)化,以自己的方式進(jìn)行建構(gòu).

6、布置作業(yè) 

a. 書面作業(yè) p41#8、9

b. 思考題:1、在四邊形abcd中,ac與bd相交于p,求證:

(ab+bc+cd+ad)<ac+bd<ab+bc+cd+ad

2、用15根等長的火柴棒擺成的三角形中,最長邊最多可以由幾根火柴棒組成?(提示:由上面方法2,a+b+c>2a 又a+b+c<3a得出a的范圍,所以可知最多可以由7根火柴棒組成)

板書設(shè)計 


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