直線的傾斜角和斜率1
導入
今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.
問題2
在坐標系中的一條直線,我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢?討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢?它不僅能解決我們的問題,同時還應該是簡單的、自然的.
學生:展開討論.
學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處,教師注重引導.
通過討論認為:應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識,表明一個方向可以有無窮多個角,這里只需一個角即可(開始時可能有學生認為有四個角或兩個角),當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
板書
定義:一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
(教師強調三點:(1)直線向上的方向,(2) 軸的正方向,(3)最小正角.)
非凡地,當 與 軸平行或重合時,規定傾斜角為0°.
由此定義,角的范圍如何?
0°≤α<180°或0≤α<π 如圖3
至此問題2已經解決了,回顧一下是怎么解決的.
(三)直線的斜率
問題3
下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線,并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考:
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的?
學生:在練習本上畫出直線,寫出方程.
30° ?à =
45° ?à =
135°?à =
(注:學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難,但對于傾斜角是30°可能有困難,此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.)
演示動畫
觀察直線變化,傾斜角變化,直線方程中 系數變化的關系
(1) 直線變化→α變化→ 中的 系數 變化 (同時注重 α的變化).
(2) 中的x系數k變化→直線變化→α變化 (同時注重 α的變化).
教師引導學生觀察,歸納,猜想出傾斜角與 的系數的關系:傾斜角不同,方程中 的系數不同,而且這個系數正是傾斜角的正切!
板書
定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ,即 .
這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸(正方向)傾斜程度的量——傾斜角,現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸(正方向)傾斜程度的量——斜率.
指出下列直線的傾斜角和斜率:
(1) = (2) = tg60° (3) = tg(30°)
學生思考后回答,師生一起訂正:(1)120°; (2)60°;(3)150°(為什么不是30°呢?)
畫圖,指出傾斜角和斜率.
結合圖3(也可以演示動畫),觀察傾斜角變化時,斜率的變化情況.