復(fù)數(shù)的乘法與除法
教學(xué)目標(biāo)(1)把握復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則,并能熟練地進(jìn)行乘、除法的運(yùn)算;
(2)能應(yīng)用i和 的周期性、共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進(jìn)行解題;
(3)讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法;
(4)通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則,培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘,與加減法一樣,可以按多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行,但必須在所得的結(jié)果中把 換成-1,并且把實(shí)部與虛部分合并.很明顯,兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù),即在復(fù)數(shù)集內(nèi),乘法是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的,同時(shí)它滿足并換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律.規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算,它同多項(xiàng)式除法類似,當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式相除,可以寫成分式,若分母含有理式時(shí),要進(jìn)行分母有理化,而兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí),要使分母實(shí)數(shù)化,即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),使分母變成實(shí)數(shù).
三、教學(xué)建議
1.在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘時(shí),復(fù)數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進(jìn)行.設(shè) 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積:
也就是說.復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的,注重有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把 換成一1,再把實(shí)部,虛部分別合并,而不必去記公式.
2.復(fù)數(shù)的乘法不僅滿足交換律與結(jié)合律,實(shí)數(shù)集r中整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律,在復(fù)數(shù)集c中仍然成立,即對任何 , , 及 ,有:
, , ;
對于復(fù)數(shù) 只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)才能成立.由于我們尚未對復(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行定義,因此假如把上述法則擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪內(nèi)運(yùn)用,就會得到荒謬的結(jié)果。如 ,若由 ,就會得到 的錯(cuò)誤結(jié)論,對此一定要重視。
3.講解復(fù)數(shù)的除法,可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運(yùn)算,即求一個(gè)復(fù)數(shù) ,使它滿足 (這里 , 是已知的復(fù)數(shù)).列出上式后,由乘法法則及兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件得:
,
由此
,
于是
得出商以后,還應(yīng)當(dāng)著重向?qū)W生指出:假如根據(jù)除法的定義,每次都按上述做來法逆運(yùn)算的辦法來求商,這將是很麻煩的.分析一下商的結(jié)構(gòu),從形式上可以得出兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的較為簡捷的求商方法,就是先把它們的商寫成分式的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再把結(jié)果化簡即可.
4.這道例題的目的之一是練習(xí)我們對于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、乘方運(yùn)算及乘法公式的操作,要求我們做到熟練和準(zhǔn)確。從這道例題的運(yùn)算結(jié)果,我們應(yīng)該看出, 也是1的一個(gè)立方根。因此,我們應(yīng)該修正過去關(guān)于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少還有一個(gè)虛數(shù)根 。然后再回顧例2的解題過程,發(fā)現(xiàn)其中所有的號都可以改成“±”。這樣就能找出1的另一個(gè)虛數(shù)根 。所以1在復(fù)數(shù)集c內(nèi)至少有三個(gè)根:1, , 。以上對于一道例題或練習(xí)題的反思過程,看起來并不難,但對我們學(xué)習(xí)知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維,拓寬和加深我們的知識,使我們對一個(gè)問題的熟悉更加全面。