算術平均數與幾何平均數2
設計意圖:提出一個商品降價問題,要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉,可能感愛好,從而達到說明學習本節知識的必要,激發學生求知欲望,合理引出新課.
(二)新課講授
嘗試探索,建立新知
(教師活動)打出字幕(重要不等式),引導學生分析、思考,講解重要不等式的證實.點評有關問題.
(學生活動)參與研究重要不等式的證實,理解有關概念.
[字幕]假如 ,那么 (當且僅當 時取“=”號).
證實:見課本
[點評]
①強調 的充要條件是
②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式(“當”表示條件是充分的,“僅當”表示條件是必要的).
③幾何解釋,如圖。
[字幕]定理 假如a,b是正數,那么 (當且僅當 時取“=”號).
證實:學生運用“ ”自己證實.
[點評]
①強調;
②解釋“算術平均數”和“幾何平均數”的概念,并敘述它們之間的關系;
②比較上述兩個不等式的特征(強調它們的限制條件);
④幾何解釋(見課本);
@指出定理可推廣為“n個( )正數的算術平均數不小干它們的幾何平均數”.
設計意圖:加深對重要不等式的熟悉和理解;培養學生數形結合的思想方法和對比的數學思想,多方面思考問題的能力.
例題示范,學會應用
(教師活動)教師打出字幕(例題),引導學生分析,研究問題,點撥正確運用定理,構建證題思路.
(學生活動)與教師一道完成問題的論證.
[字幕]例題已知 a,b,c,d都是正數,求證:
[分析]
①應用定理證實;
②研究問題與定理之間的聯系;
③注重應用定理的條件和應用不等式的性質.
證實:見課本.
設計意圖:鞏固對定理的理解,學會應用定理解決某些數學問題.
課堂練習
(教師活動)打出字幕(練習),要求學生獨立思考,完成練習;巡視學生解題情況,對正確的解法給予肯定和鼓勵,對偏差給予糾正;請甲、乙兩學生板演;點評練習解法.
(學生活動)在筆記本上完成練習,甲、動兩位同學板演.
[字幕]練習:已知 都是正數,求證:
(1) ;
(2)
設計意圖:把握定理及應用,反饋課堂教學效果,調節課堂教學.
分析歸納、小結解法
(教師活動)分析歸納例題和練習的解題過程,小結應用定理解決有關數學問題的解題方法.
(學生活動)與教師一道分析歸納,小結解題方法,并記錄在筆記本上.
1.重要不等式可以用來證實某些不等式.
2.應用重要不等式證實不等式時要注重不等式的結構特征:①滿足定理的條件;②不等式一邊為和的形式,另一邊為積或常數的形式.